Subgroups — #6468053

Order 512.

2130 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 419 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#35275	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#34210	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#29152	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#29143	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#29139	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#23456	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#21203	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂×#1957	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#20764	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#20760	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#20650	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	C₄×#424	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂×#544	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#518	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂²×#102	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2868	C₂²	1	2	yes	complemented
22	#2859	C₂²	1	2	yes	complemented
23	#2660	C₂²	1	4	yes	complemented
24	#2552	—	2	2	no	—
25	#2551	—	2	2	no	—
26	#2440	—	2	4	no	—
27	#2366	—	2	2	no	—
28	#2366	—	2	2	no	—
29	D₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
30	#2328	C₂²	1	4	yes	—
31	#2317	C₂²	1	2	yes	—
32	#2309	C₂²	1	2	yes	—
33	C₄×#127	C₂²	1	4	yes	—
34	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#2025	C₂²	1	16	yes	complemented
39	#2023	C₂²	1	16	yes	complemented
40	#1961	C₂²	1	4	yes	—
41	#1957	C₂²	1	4	yes	—
42	#1957	C₂²	1	4	yes	—
43	#1957	C₂²	1	2	yes	—
44	#1957	C₂²	1	2	yes	—
45	#1836	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#1835	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#1834	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#1834	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#1834	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#1804	C₂²	1	16	yes	complemented
51	#1802	C₂²	1	16	yes	complemented
52	#1768	C₂²	1	4	yes	complemented
53	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#1736	C₂²	1	4	yes	—
55	#1735	C₂²	1	4	yes	—
56	#1729	C₂²	1	2	yes	—
57	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
58	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
61	#544	—	4	8	no	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂×#127	—	2	2	no	—
66	C₂×#127	—	2	4	no	—
67	C₂×#127	Q₈	1	8	yes	complemented
68	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×#125	—	2	2	no	—
71	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
73	#518	—	2	16	no	—
74	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
75	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
76	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
77	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	8	yes	—
78	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
83	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
85	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#424	—	2	8	no	—
87	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
88	#418	—	4	8	no	—
89	C₂×#102	—	4	8	no	—
90	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
91	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
92	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
93	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
94	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
99	#398	—	2	8	no	—
100	#395	—	2	8	no	—
101	#390	—	2	2	no	—
102	#390	—	2	2	no	—
103	#390	—	2	4	no	—
104	#390	—	2	4	no	—
105	#390	C₂³	1	8	yes	—
106	#389	—	2	4	no	—
107	#389	—	2	4	no	—
108	#389	—	2	4	no	—
109	#386	—	2	8	no	—
110	#386	—	2	8	no	—
111	#385	—	2	4	no	—
112	#384	—	2	4	no	—
113	#384	—	2	2	no	—
114	#384	C₂³	1	2	yes	—
115	#384	C₂³	1	4	yes	—
116	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	#384	C₂³	1	2	yes	—
118	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
119	#384	C₂³	1	2	yes	—
120	#382	C₂³	1	4	yes	—
121	#382	C₂³	1	2	yes	—
122	#382	C₂³	1	2	yes	—
123	#380	—	2	2	no	—
124	#380	—	2	2	no	—
125	#379	—	2	4	no	—
126	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
127	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
128	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
129	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
130	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
131	#376	C₂³	1	2	yes	—
132	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
133	#340	C₂³	1	8	yes	—
134	#340	C₂³	1	16	yes	—
135	#340	C₂³	1	8	yes	—
136	#336	C₂³	1	8	yes	—
137	C₂⁵	—	2	2	no	—
138	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
139	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
140	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
141	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
142	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
143	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
144	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
145	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
146	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
147	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
148	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
149	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
150	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
151	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
152	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
154	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
155	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
156	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
161	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
162	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
163	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
164	C₄⋊Q₈	—	8	8	no	—
165	#127	—	2	16	no	—
166	#127	—	2	4	no	—
167	#127	—	2	4	no	—
168	#127	C₂×Q₈	1	8	yes	—
169	#127	C₂×Q₈	1	8	yes	—
170	#125	—	4	8	no	—
171	#125	—	4	8	no	—
172	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
173	C₄×D₄	—	2	32	no	—
174	C₄×D₄	—	4	16	no	—
175	C₄×D₄	—	8	8	no	—
176	C₄×D₄	—	8	8	no	—
177	#117	—	2	4	no	—
178	#117	—	2	8	no	—
179	#117	—	2	8	no	—
180	#117	#41	1	8	yes	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
197	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
198	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
199	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
200	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
203	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
205	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
206	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
209	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
210	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
211	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
212	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
213	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
214	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
215	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
216	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
217	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
220	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
221	#102	—	4	16	no	—
222	#102	—	4	8	no	—
223	#102	—	4	8	no	—
224	#97	—	2	4	no	—
225	C₄×C₈	—	2	4	no	—
226	C₄×C₈	—	2	4	no	—
227	C₄×C₈	—	2	4	no	—
228	#95	—	2	4	no	—
229	#95	—	2	4	no	—
230	#95	—	2	8	no	—
231	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
232	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
233	C₂⁴	—	2	4	no	—
234	C₂⁴	—	2	8	no	—
235	C₂⁴	—	4	4	no	—
236	C₂⁴	—	4	4	no	—
237	C₂⁴	—	8	4	no	—
238	C₂⁴	—	8	4	no	—
239	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
241	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
242	C₂×D₄	—	2	8	no	—
243	C₂×D₄	—	2	16	no	—
244	C₂×D₄	—	2	16	no	—
245	C₂×D₄	—	2	32	no	—
246	C₂×D₄	—	2	8	no	—
247	C₂×D₄	—	2	4	no	—
248	C₂×D₄	—	2	8	no	—
249	C₂×D₄	—	4	4	no	—
250	C₂×D₄	—	4	4	no	—
251	C₂×D₄	—	4	16	no	—
252	C₂×D₄	—	4	8	no	—
253	C₂×D₄	—	4	8	no	—
254	C₂×D₄	—	8	32	no	—
255	C₂×D₄	—	8	4	no	—
256	C₂×D₄	—	8	4	no	—
257	C₂×D₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
258	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
266	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
267	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
268	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
269	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
279	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
281	M₁₆	—	4	8	no	—
282	C₂×C₈	—	2	4	no	—
283	C₂×C₈	—	2	4	no	—
284	C₂×C₈	—	2	4	no	—
285	C₂×C₈	—	2	4	no	—
286	C₂×C₈	—	2	4	no	—
287	C₂×C₈	—	2	4	no	—
288	C₂×C₈	—	4	8	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
304	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
305	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
306	C₄⋊C₄	#124	1	8	yes	—
307	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
313	C₂²⋊C₄	#124	1	8	yes	—
314	C₄²	—	2	8	no	—
315	C₄²	—	2	8	no	—
316	C₄²	—	2	4	no	—
317	C₄²	—	4	4	no	—
318	C₄²	—	4	4	no	—
319	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
320	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
321	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
322	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
323	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
324	C₄²	C₂×#41	1	8	yes	—
325	C₂³	—	2	2	no	—
326	C₂³	—	2	2	no	—
327	C₂³	—	2	8	no	—
328	C₂³	—	4	4	no	—
329	C₂³	—	4	4	no	—
330	C₂³	—	4	8	no	—
331	C₂³	—	4	8	no	—
332	C₂³	—	4	16	no	—
333	C₂³	—	8	16	no	—
334	C₂³	—	16	4	no	—
335	C₂³	—	16	4	no	—
336	C₂³	—	16	8	no	—
337	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
338	C₂³	C₂×#124	1	2	yes	—
339	C₂³	#535	1	2	yes	—
340	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
341	Q₈	—	16	8	no	—
342	D₄	—	2	16	no	—
343	D₄	—	4	16	no	—
344	D₄	—	4	32	no	—
345	D₄	—	4	8	no	—
346	D₄	—	8	16	no	—
347	C₂×C₄	—	2	4	no	—
348	C₂×C₄	—	2	2	no	—
349	C₂×C₄	—	2	4	no	—
350	C₂×C₄	—	2	2	no	—
351	C₂×C₄	—	2	16	no	—
352	C₂×C₄	—	2	2	no	—
353	C₂×C₄	—	2	2	no	—
354	C₂×C₄	—	2	4	no	—
355	C₂×C₄	—	2	4	no	—
356	C₂×C₄	—	4	4	no	—
357	C₂×C₄	—	4	2	no	—
358	C₂×C₄	—	4	2	no	—
359	C₂×C₄	—	4	4	no	—
360	C₂×C₄	—	4	4	no	—
361	C₂×C₄	—	4	8	no	—
362	C₂×C₄	—	4	4	no	—
363	C₂×C₄	—	4	4	no	—
364	C₂×C₄	—	4	4	no	—
365	C₂×C₄	—	16	16	no	—
366	C₂×C₄	—	16	4	no	—
367	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
368	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
370	C₂×C₄	C₂×#124	1	8	yes	—
371	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	#554	1	8	yes	—
374	C₂×C₄	#555	1	8	yes	—
375	C₂×C₄	#576	1	4	yes	—
376	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
377	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
381	C₈	—	4	4	no	—
382	C₈	—	4	4	no	—
383	C₂²	—	2	4	no	—
384	C₂²	—	2	2	no	—
385	C₂²	—	2	2	no	—
386	C₂²	—	2	4	no	—
387	C₂²	—	4	16	no	—
388	C₂²	—	4	8	no	—
389	C₂²	—	8	4	no	—
390	C₂²	—	8	4	no	—
391	C₂²	—	8	8	no	—
392	C₂²	—	16	16	no	—
393	C₂²	#2563	1	4	yes	—
394	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
395	C₂²	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
396	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
397	C₂²	C₂×#576	1	2	yes	—
398	C₂²	C₂×#577	1	2	yes	—
399	C₄	—	2	4	no	—
400	C₄	—	2	8	no	—
401	C₄	—	4	2	no	—
402	C₄	—	4	2	no	—
403	C₄	—	8	4	no	—
404	C₄	—	8	2	no	—
405	C₄	—	8	2	no	—
406	C₄	—	8	4	no	—
407	C₄	#2563	1	4	yes	—
408	C₄	#3081	1	8	yes	—
409	C₄	C₂×#554	1	2	yes	—
410	C₄	C₂×#555	1	2	yes	—
411	C₂	—	2	4	no	—
412	C₂	—	8	8	no	—
413	C₂	C₂×#2563	1	1	yes	characteristic
414	C₂	C₂×#3081	1	2	yes	—
415	C₂	#60622	1	2	yes	—
416	C₂	#60817	1	1	yes	characteristic
417	C₂	#60820	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #35275	C₂	semidirect
3. #29152	C₂	semidirect
4. #29143	C₂	semidirect
5. #29139	C₂	semidirect
6. #23456	C₂	semidirect
9. #20764	C₂	semidirect
10. #20760	C₂	semidirect
11. #20650	C₂	semidirect
12. C₄×#424	C₂	semidirect
21. #2868	C₂²	semidirect
22. #2859	C₂²	semidirect
23. #2660	C₂²	semidirect
38. #2025	C₂²	semidirect
39. #2023	C₂²	semidirect
45. #1836	C₂²	semidirect
46. #1835	C₂²	semidirect
47. #1834	C₂²	semidirect
48. #1834	C₂²	semidirect
49. #1834	C₂²	semidirect
50. #1804	C₂²	semidirect
51. #1802	C₂²	semidirect
52. #1768	C₂²	semidirect
53. C₄×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
67. C₂×#127	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#35275	2
#34210	2
#29152	2
#29143	2
#29139	2
#23456	2
#21203	2
C₂×#1957	2
#20764	2
#20760	2
#20650	2
C₄×#424	2