Subgroups — #6468054

Order 512.

1842 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 389 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#35275	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#34209	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#29153	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#29144	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#29141	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#23457	C₂	1	4	yes	maximal
7	#21202	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂×#1956	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#20764	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#20760	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	#20651	C₂	1	4	yes	maximal
12	C₄×#424	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
13	C₂×#544	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#519	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#419	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂²×#103	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2868	C₂²	1	2	yes	—
22	#2859	C₂²	1	2	yes	—
23	#2660	C₂²	1	4	yes	—
24	#2552	—	2	2	no	—
25	#2551	—	2	2	no	—
26	#2440	—	2	4	no	—
27	#2365	—	2	2	no	—
28	#2365	—	2	2	no	—
29	#2344	—	2	4	no	—
30	#2327	C₂²	1	4	yes	—
31	#2317	C₂²	1	2	yes	—
32	#2310	C₂²	1	2	yes	—
33	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
34	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#2026	C₂²	1	16	yes	—
39	#2024	C₂²	1	16	yes	—
40	#1960	C₂²	1	4	yes	—
41	#1956	C₂²	1	4	yes	—
42	#1956	C₂²	1	4	yes	—
43	#1956	C₂²	1	2	yes	—
44	#1956	C₂²	1	2	yes	—
45	#1836	C₂²	1	4	yes	—
46	#1835	C₂²	1	4	yes	—
47	#1834	C₂²	1	2	yes	—
48	#1834	C₂²	1	2	yes	—
49	#1834	C₂²	1	4	yes	—
50	#1805	C₂²	1	16	yes	—
51	#1803	C₂²	1	16	yes	—
52	#1768	C₂²	1	4	yes	—
53	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
54	#1736	C₂²	1	4	yes	—
55	#1735	C₂²	1	4	yes	—
56	#1729	C₂²	1	2	yes	—
57	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
60	#544	—	4	8	no	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	Q₈	1	8	yes	complemented
66	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂×#125	—	2	2	no	—
70	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
72	#519	—	2	16	no	—
73	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
74	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	8	yes	—
75	C₂×#117	—	2	4	no	—
76	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
81	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
82	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	#424	—	2	8	no	—
85	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
86	#419	—	4	8	no	—
87	C₂×#103	—	4	8	no	—
88	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
89	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
90	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
91	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
92	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
97	#398	—	2	8	no	—
98	#395	—	2	8	no	—
99	#391	—	2	2	no	—
100	#391	—	2	2	no	—
101	#391	C₂³	1	8	yes	—
102	#389	—	2	4	no	—
103	#389	—	2	4	no	—
104	#389	—	2	4	no	—
105	#389	—	2	4	no	—
106	#389	—	2	4	no	—
107	#387	—	2	8	no	—
108	#387	—	2	8	no	—
109	#385	—	2	4	no	—
110	#384	—	2	4	no	—
111	#384	—	2	2	no	—
112	#384	C₂³	1	2	yes	—
113	#384	C₂³	1	4	yes	—
114	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
115	#384	C₂³	1	2	yes	—
116	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	#384	C₂³	1	2	yes	—
118	#382	C₂³	1	4	yes	—
119	#382	C₂³	1	2	yes	—
120	#382	C₂³	1	2	yes	—
121	#381	—	2	4	no	—
122	#380	—	2	2	no	—
123	#380	—	2	2	no	—
124	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
125	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
127	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
128	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
129	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
130	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
131	#376	C₂³	1	2	yes	—
132	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
133	#340	C₂³	1	8	yes	—
134	#340	C₂³	1	16	yes	—
135	#340	C₂³	1	8	yes	—
136	#336	C₂³	1	8	yes	—
137	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
138	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
139	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
140	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
141	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
142	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
143	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
144	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
145	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
146	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
148	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
150	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
155	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
156	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
157	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
160	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
161	C₄⋊Q₈	—	8	8	no	—
162	C₄⋊Q₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
163	C₄⋊Q₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
164	#125	—	4	8	no	—
165	#125	—	4	8	no	—
166	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
167	C₄×Q₈	—	2	32	no	—
168	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
169	#117	—	2	4	no	—
170	#117	—	2	8	no	—
171	#117	—	2	8	no	—
172	#117	—	4	16	no	—
173	#117	#41	1	8	yes	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
196	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
197	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
202	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
203	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
204	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
205	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
206	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
207	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
208	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
209	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
210	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
211	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
212	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
214	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
215	#103	—	4	16	no	—
216	#103	—	4	8	no	—
217	#103	—	4	8	no	—
218	#97	—	2	4	no	—
219	C₄×C₈	—	2	4	no	—
220	C₄×C₈	—	2	4	no	—
221	C₄×C₈	—	2	4	no	—
222	#95	—	2	4	no	—
223	#95	—	2	4	no	—
224	#95	—	2	8	no	—
225	#95	—	2	8	no	—
226	#95	—	2	8	no	—
227	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
228	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
229	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
235	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
236	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
237	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
238	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
239	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
240	C₂×Q₈	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
253	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
263	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
265	M₁₆	—	4	8	no	—
266	C₂×C₈	—	2	4	no	—
267	C₂×C₈	—	2	4	no	—
268	C₂×C₈	—	2	4	no	—
269	C₂×C₈	—	2	4	no	—
270	C₂×C₈	—	2	4	no	—
271	C₂×C₈	—	2	4	no	—
272	C₂×C₈	—	4	8	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
281	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
293	C₄⋊C₄	#124	1	8	yes	—
294	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
297	C₂²⋊C₄	#124	1	8	yes	—
298	C₄²	—	2	8	no	—
299	C₄²	—	2	8	no	—
300	C₄²	—	2	4	no	—
301	C₄²	—	4	4	no	—
302	C₄²	—	4	16	no	—
303	C₄²	—	4	4	no	—
304	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
305	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
306	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
307	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
308	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
309	C₄²	C₂×#41	1	8	yes	—
310	C₂³	—	2	2	no	—
311	C₂³	—	2	2	no	—
312	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
313	C₂³	C₂×#124	1	2	yes	—
314	C₂³	#535	1	2	yes	—
315	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
316	Q₈	—	2	16	no	—
317	Q₈	—	4	16	no	—
318	Q₈	—	4	8	no	—
319	Q₈	—	16	8	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	16	no	—
325	C₂×C₄	—	2	8	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	4	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	4	16	no	—
331	C₂×C₄	—	4	4	no	—
332	C₂×C₄	—	4	4	no	—
333	C₂×C₄	—	4	4	no	—
334	C₂×C₄	—	4	2	no	—
335	C₂×C₄	—	4	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	4	no	—
337	C₂×C₄	—	4	8	no	—
338	C₂×C₄	—	4	4	no	—
339	C₂×C₄	—	4	4	no	—
340	C₂×C₄	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	4	4	no	—
342	C₂×C₄	—	16	4	no	—
343	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×#124	1	8	yes	—
347	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	#554	1	8	yes	—
350	C₂×C₄	#555	1	8	yes	—
351	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
352	C₂×C₄	#578	1	4	yes	—
353	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
357	C₈	—	4	4	no	—
358	C₈	—	4	4	no	—
359	C₂²	—	2	4	no	—
360	C₂²	—	2	2	no	—
361	C₂²	—	2	2	no	—
362	C₂²	—	2	4	no	—
363	C₂²	#2563	1	4	yes	—
364	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	C₂×#577	1	2	yes	—
368	C₂²	C₂×#578	1	2	yes	—
369	C₄	—	2	4	no	—
370	C₄	—	2	8	no	—
371	C₄	—	4	8	no	—
372	C₄	—	4	2	no	—
373	C₄	—	4	2	no	—
374	C₄	—	8	4	no	—
375	C₄	—	8	2	no	—
376	C₄	—	8	2	no	—
377	C₄	—	8	4	no	—
378	C₄	#2563	1	4	yes	—
379	C₄	#3082	1	8	yes	—
380	C₄	C₂×#554	1	2	yes	—
381	C₄	C₂×#555	1	2	yes	—
382	C₂	—	2	4	no	—
383	C₂	C₂×#2563	1	1	yes	characteristic
384	C₂	C₂×#3082	1	2	yes	—
385	C₂	#60623	1	2	yes	—
386	C₂	#60818	1	1	yes	characteristic
387	C₂	#60821	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #29153	C₂	semidirect
4. #29144	C₂	semidirect
5. #29141	C₂	semidirect
65. C₂×C₄⋊Q₈	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#35275	2
#34209	2
#29153	2
#29144	2
#29141	2
#23457	2
#21202	2
C₂×#1956	2
#20764	2
#20760	2
#20651	2
C₄×#424	2