Subgroups — #6468057

Order 512.

1850 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 410 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#35330	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#34208	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#29153	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#29152	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#29142	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#29140	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#23458	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#21201	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#21195	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#20765	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#1835	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#20652	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
13	C₄×#424	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂×#544	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#520	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#417	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#416	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2862	C₂²	1	2	yes	—
23	#2859	C₂²	1	2	yes	—
24	#2660	C₂²	1	4	yes	—
25	#2550	—	2	4	no	—
26	#2549	—	2	4	no	—
27	#2364	—	2	4	no	—
28	#2352	—	2	4	no	—
29	#2328	C₂²	1	2	yes	—
30	#2327	C₂²	1	2	yes	—
31	#2317	C₂²	1	2	yes	—
32	#2311	C₂²	1	2	yes	—
33	C₄×#124	C₂²	1	4	yes	—
34	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#2026	C₂²	1	8	yes	—
39	#2025	C₂²	1	8	yes	—
40	#2024	C₂²	1	8	yes	—
41	#2023	C₂²	1	8	yes	—
42	#1961	C₂²	1	2	yes	—
43	#1960	C₂²	1	2	yes	—
44	#1958	C₂²	1	2	yes	—
45	#1958	C₂²	1	2	yes	—
46	#1958	C₂²	1	4	yes	—
47	#1957	C₂²	1	2	yes	—
48	#1956	C₂²	1	2	yes	—
49	#1836	C₂²	1	4	yes	—
50	#1835	C₂²	1	4	yes	—
51	#1835	C₂²	1	4	yes	—
52	#1835	C₂²	1	2	yes	—
53	#1835	C₂²	1	2	yes	—
54	#1805	C₂²	1	8	yes	—
55	#1804	C₂²	1	8	yes	—
56	#1803	C₂²	1	8	yes	—
57	#1802	C₂²	1	8	yes	—
58	#1768	C₂²	1	4	yes	—
59	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
60	#1736	C₂²	1	4	yes	—
61	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
62	#1729	C₂²	1	2	yes	—
63	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
66	#544	—	4	8	no	—
67	#532	—	2	4	no	—
68	#532	Q₈	1	8	yes	complemented
69	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂×#125	—	2	2	no	—
74	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂×#124	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
77	C₂×#121	—	2	2	no	—
78	#520	—	2	16	no	—
79	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
81	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂×#117	—	2	2	no	—
84	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
88	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	#424	—	2	8	no	—
92	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
93	#417	—	4	8	no	—
94	#416	—	4	8	no	—
95	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
97	C₂×#103	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
100	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
101	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
102	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
104	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
107	#398	—	2	8	no	—
108	#395	—	2	8	no	—
109	#391	—	2	8	no	—
110	#391	C₂³	1	4	yes	—
111	#390	C₂³	1	4	yes	—
112	#389	—	2	4	no	—
113	#389	—	2	8	no	—
114	#388	—	2	8	no	—
115	#387	—	2	8	no	—
116	#386	—	2	4	no	—
117	#386	—	2	8	no	—
118	#385	—	2	4	no	—
119	#384	C₂³	1	4	yes	—
120	#384	C₂³	1	2	yes	—
121	#382	—	2	2	no	—
122	#382	—	2	2	no	—
123	#382	C₂³	1	4	yes	—
124	#382	C₂³	1	2	yes	—
125	#382	C₂³	1	2	yes	—
126	#382	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	#382	C₂³	1	2	yes	—
128	#382	C₂³	1	1	yes	characteristic
129	#382	C₂³	1	2	yes	—
130	#380	—	2	2	no	—
131	#380	—	2	4	no	—
132	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
134	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
135	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
136	#376	C₂³	1	2	yes	—
137	C₂×#95	—	2	2	no	—
138	C₂×#95	—	2	2	no	—
139	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
140	#340	C₂³	1	8	yes	—
141	#340	C₂³	1	8	yes	—
142	#340	C₂³	1	8	yes	—
143	#340	C₂³	1	8	yes	—
144	#336	C₂³	1	8	yes	—
145	C₂×#41	—	2	4	no	—
146	C₂×#41	—	2	8	no	—
147	C₂×#41	—	2	8	no	—
148	C₂×#41	C₂×Q₈	1	8	yes	—
149	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
150	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
151	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
152	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
153	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
154	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
156	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
158	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
160	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
161	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
162	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
166	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
167	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
168	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
169	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
170	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
171	C₄⋊Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
172	#127	—	2	2	no	—
173	#127	C₂×Q₈	1	4	yes	—
174	#125	—	4	8	no	—
175	#125	—	4	8	no	—
176	#124	—	2	4	no	—
177	#124	C₂×Q₈	1	8	yes	—
178	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
179	#121	—	2	16	no	—
180	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
181	C₄×D₄	—	2	16	no	—
182	C₄×D₄	—	2	16	no	—
183	C₄×D₄	—	4	16	no	—
184	#117	—	2	4	no	—
185	#117	—	2	8	no	—
186	#117	—	4	8	no	—
187	#117	#41	1	8	yes	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
201	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
202	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
203	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
204	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
205	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
206	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
212	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
213	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
214	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
215	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
216	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
217	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
218	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
219	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
222	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
223	#103	—	4	4	no	—
224	#103	—	4	4	no	—
225	#103	—	4	8	no	—
226	#102	—	4	4	no	—
227	#102	—	4	4	no	—
228	#102	—	4	8	no	—
229	#97	—	2	4	no	—
230	C₄×C₈	—	2	4	no	—
231	C₄×C₈	—	2	4	no	—
232	C₄×C₈	—	2	4	no	—
233	#95	—	2	4	no	—
234	#95	—	2	4	no	—
235	#95	—	2	4	no	—
236	#95	—	2	4	no	—
237	#95	—	2	8	no	—
238	#95	—	2	2	no	—
239	#95	—	2	2	no	—
240	#95	—	2	8	no	—
241	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
242	C₂⁴	—	2	2	no	—
243	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
244	#41	—	2	32	no	—
245	#41	—	4	16	no	—
246	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
247	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
248	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
249	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
250	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
251	C₂×Q₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
252	C₂×D₄	—	2	8	no	—
253	C₂×D₄	—	2	8	no	—
254	C₂×D₄	—	2	4	no	—
255	C₂×D₄	—	2	2	no	—
256	C₂×D₄	—	2	4	no	—
257	C₂×D₄	—	4	4	no	—
258	C₂×D₄	—	4	4	no	—
259	C₂×D₄	—	8	4	no	—
260	C₂×D₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
261	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
273	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
274	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
276	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
281	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
283	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
284	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
285	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
286	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
287	M₁₆	—	4	8	no	—
288	C₂×C₈	—	2	4	no	—
289	C₂×C₈	—	2	4	no	—
290	C₂×C₈	—	2	4	no	—
291	C₂×C₈	—	2	4	no	—
292	C₂×C₈	—	2	4	no	—
293	C₂×C₈	—	2	4	no	—
294	C₂×C₈	—	4	8	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
307	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
308	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
309	C₄⋊C₄	#124	1	8	yes	—
310	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
315	C₂²⋊C₄	#124	1	8	yes	—
316	C₄²	—	2	4	no	—
317	C₄²	—	4	8	no	—
318	C₄²	—	4	8	no	—
319	C₄²	—	4	4	no	—
320	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
321	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
322	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
323	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
324	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
325	C₄²	C₂×#41	1	8	yes	—
326	C₂³	—	2	4	no	—
327	C₂³	—	2	4	no	—
328	C₂³	—	4	4	no	—
329	C₂³	—	4	4	no	—
330	C₂³	—	4	2	no	—
331	C₂³	—	4	2	no	—
332	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
333	C₂³	C₂×#124	1	2	yes	—
334	C₂³	#535	1	2	yes	—
335	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
336	Q₈	—	2	8	no	—
337	Q₈	—	4	4	no	—
338	Q₈	—	16	8	no	—
339	D₄	—	2	8	no	—
340	D₄	—	4	16	no	—
341	D₄	—	4	4	no	—
342	D₄	—	8	8	no	—
343	C₂×C₄	—	2	4	no	—
344	C₂×C₄	—	2	8	no	—
345	C₂×C₄	—	2	4	no	—
346	C₂×C₄	—	2	8	no	—
347	C₂×C₄	—	2	4	no	—
348	C₂×C₄	—	2	4	no	—
349	C₂×C₄	—	4	8	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	2	no	—
352	C₂×C₄	—	4	16	no	—
353	C₂×C₄	—	4	8	no	—
354	C₂×C₄	—	4	4	no	—
355	C₂×C₄	—	4	8	no	—
356	C₂×C₄	—	4	4	no	—
357	C₂×C₄	—	4	4	no	—
358	C₂×C₄	—	4	2	no	—
359	C₂×C₄	—	4	2	no	—
360	C₂×C₄	—	4	4	no	—
361	C₂×C₄	—	16	8	no	—
362	C₂×C₄	—	16	4	no	—
363	C₂×C₄	—	16	4	no	—
364	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
365	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
366	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	C₂×#124	1	8	yes	—
368	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	#554	1	8	yes	—
371	C₂×C₄	#555	1	8	yes	—
372	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
376	C₈	—	4	4	no	—
377	C₈	—	4	4	no	—
378	C₂²	—	2	4	no	—
379	C₂²	—	2	4	no	—
380	C₂²	—	2	4	no	—
381	C₂²	—	4	8	no	—
382	C₂²	—	4	4	no	—
383	C₂²	—	8	4	no	—
384	C₂²	—	8	2	no	—
385	C₂²	—	8	2	no	—
386	C₂²	#2563	1	4	yes	—
387	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
388	C₂²	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
389	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
390	C₂²	#3584	1	4	yes	—
391	C₄	—	2	4	no	—
392	C₄	—	2	4	no	—
393	C₄	—	2	8	no	—
394	C₄	—	4	4	no	—
395	C₄	—	4	4	no	—
396	C₄	—	8	2	no	—
397	C₄	—	8	4	no	—
398	C₄	—	8	2	no	—
399	C₄	—	8	4	no	—
400	C₄	#2563	1	4	yes	—
401	C₄	C₂×#554	1	2	yes	—
402	C₄	C₂×#555	1	2	yes	—
403	C₂	—	2	4	no	—
404	C₂	—	8	4	no	—
405	C₂	C₂×#2563	1	1	yes	characteristic
406	C₂	#60489	1	2	yes	—
407	C₂	#60624	1	2	yes	—
408	C₂	#60823	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #35330	C₂	semidirect
3. #29153	C₂	semidirect
4. #29152	C₂	semidirect
5. #29142	C₂	semidirect
6. #29140	C₂	semidirect
7. #23458	C₂	semidirect
10. #20765	C₂	semidirect
11. C₂×#1835	C₂	semidirect
12. #20652	C₂	semidirect
13. C₄×#424	C₂	semidirect
68. #532	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#35330	2
#34208	2
#29153	2
#29152	2
#29142	2
#29140	2
#23458	2
#21201	2
#21195	2
#20765	2
C₂×#1835	2
#20652	2
C₄×#424	2