Subgroups — #6468059

Order 512.

1786 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 354 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#35330	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#34209	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#29153	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#29150	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#29147	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#23457	C₂	1	4	yes	maximal
7	#21202	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂×#1960	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#20765	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#20762	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	#20651	C₂	1	4	yes	maximal
12	#20427	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
13	C₂×#544	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#519	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#419	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂²×#103	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2862	C₂²	1	2	yes	—
22	#2859	C₂²	1	2	yes	—
23	#2660	C₂²	1	4	yes	—
24	#2550	—	2	4	no	—
25	#2549	—	2	4	no	—
26	#2365	—	2	4	no	—
27	#2344	—	2	4	no	—
28	#2327	C₂²	1	4	yes	—
29	#2317	C₂²	1	2	yes	—
30	#2310	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
32	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#2026	C₂²	1	16	yes	—
37	#2024	C₂²	1	16	yes	—
38	#1960	C₂²	1	4	yes	—
39	#1960	C₂²	1	4	yes	—
40	#1960	C₂²	1	2	yes	—
41	#1960	C₂²	1	2	yes	—
42	#1956	C₂²	1	4	yes	—
43	#1836	C₂²	1	2	yes	—
44	#1836	C₂²	1	2	yes	—
45	#1836	C₂²	1	4	yes	—
46	#1836	C₂²	1	4	yes	—
47	#1835	C₂²	1	4	yes	—
48	#1805	C₂²	1	16	yes	—
49	#1803	C₂²	1	16	yes	—
50	#1768	C₂²	1	4	yes	—
51	#1767	C₂²	1	4	yes	—
52	#1736	C₂²	1	4	yes	—
53	#1735	C₂²	1	4	yes	—
54	#1729	C₂²	1	2	yes	—
55	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
58	#544	—	4	8	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	Q₈	1	8	yes	complemented
63	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂×#125	—	2	2	no	—
67	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
69	#519	—	2	16	no	—
70	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
71	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	8	yes	—
72	C₂×#117	—	2	4	no	—
73	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	#424	—	2	8	no	—
81	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
82	#419	—	4	8	no	—
83	C₂×#103	—	4	8	no	—
84	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
85	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
86	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
87	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
88	C₂×#97	—	2	4	no	—
89	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
93	#398	—	2	8	no	—
94	#395	—	2	8	no	—
95	#391	—	2	4	no	—
96	#391	—	2	8	no	—
97	#391	C₂³	1	8	yes	—
98	#389	—	2	4	no	—
99	#389	—	2	8	no	—
100	#389	—	2	8	no	—
101	#387	—	2	16	no	—
102	#385	—	2	4	no	—
103	#384	C₂³	1	2	yes	—
104	#384	C₂³	1	4	yes	—
105	#384	C₂³	1	2	yes	—
106	#382	—	2	2	no	—
107	#382	C₂³	1	4	yes	—
108	#382	C₂³	1	2	yes	—
109	#382	C₂³	1	2	yes	—
110	#382	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	#382	C₂³	1	2	yes	—
112	#382	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	#381	—	2	4	no	—
114	#380	—	2	2	no	—
115	#380	—	2	2	no	—
116	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
117	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
118	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
119	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
120	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
121	#376	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×#95	—	2	2	no	—
123	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
124	#340	C₂³	1	8	yes	—
125	#340	C₂³	1	16	yes	—
126	#340	C₂³	1	8	yes	—
127	#336	C₂³	1	8	yes	—
128	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
129	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
130	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
131	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
132	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
133	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
134	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
135	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
137	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
139	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
152	C₄⋊Q₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
153	C₄⋊Q₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
154	#125	—	4	8	no	—
155	#125	—	4	8	no	—
156	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
157	C₄×Q₈	—	2	32	no	—
158	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
159	#117	—	2	4	no	—
160	#117	—	2	8	no	—
161	#117	—	2	8	no	—
162	#117	—	4	16	no	—
163	#117	#41	1	8	yes	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
179	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
180	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
192	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
197	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
198	#103	—	4	16	no	—
199	#103	—	4	8	no	—
200	#103	—	4	8	no	—
201	#97	—	2	4	no	—
202	#97	—	2	4	no	—
203	#97	—	2	4	no	—
204	C₄×C₈	—	2	4	no	—
205	#95	—	2	4	no	—
206	#95	—	2	4	no	—
207	#95	—	2	4	no	—
208	#95	—	2	2	no	—
209	#95	—	2	2	no	—
210	#95	—	2	16	no	—
211	#95	—	2	8	no	—
212	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
213	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
219	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
220	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
221	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
222	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
223	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
224	C₂×Q₈	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
225	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
236	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
245	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
247	M₁₆	—	4	8	no	—
248	C₂×C₈	—	2	4	no	—
249	C₂×C₈	—	2	4	no	—
250	C₂×C₈	—	2	4	no	—
251	C₂×C₈	—	2	4	no	—
252	C₂×C₈	—	2	4	no	—
253	C₂×C₈	—	2	4	no	—
254	C₂×C₈	—	4	8	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
269	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
270	C₄⋊C₄	#124	1	8	yes	—
271	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
274	C₂²⋊C₄	#124	1	8	yes	—
275	C₄²	—	2	4	no	—
276	C₄²	—	4	8	no	—
277	C₄²	—	4	4	no	—
278	C₄²	—	4	16	no	—
279	C₄²	—	4	4	no	—
280	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
281	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
282	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
283	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
284	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
285	C₄²	C₂×#41	1	8	yes	—
286	C₂³	—	2	4	no	—
287	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
288	C₂³	C₂×#124	1	2	yes	—
289	C₂³	#535	1	2	yes	—
290	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
291	Q₈	—	2	16	no	—
292	Q₈	—	4	16	no	—
293	Q₈	—	4	8	no	—
294	Q₈	—	16	8	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	8	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	8	no	—
299	C₂×C₄	—	2	8	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	8	no	—
302	C₂×C₄	—	4	16	no	—
303	C₂×C₄	—	4	4	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	8	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	8	no	—
308	C₂×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂×C₄	—	4	4	no	—
310	C₂×C₄	—	4	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	4	no	—
313	C₂×C₄	—	16	4	no	—
314	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×#124	1	8	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	#554	1	8	yes	—
321	C₂×C₄	#555	1	8	yes	—
322	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
326	C₈	—	4	4	no	—
327	C₈	—	4	4	no	—
328	C₂²	—	2	4	no	—
329	C₂²	—	2	4	no	—
330	C₂²	—	2	4	no	—
331	C₂²	#2563	1	4	yes	—
332	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	#3586	1	4	yes	—
336	C₄	—	2	4	no	—
337	C₄	—	2	4	no	—
338	C₄	—	2	8	no	—
339	C₄	—	4	8	no	—
340	C₄	—	4	4	no	—
341	C₄	—	8	2	no	—
342	C₄	—	8	4	no	—
343	C₄	—	8	2	no	—
344	C₄	—	8	4	no	—
345	C₄	#2563	1	4	yes	—
346	C₄	C₂×#554	1	2	yes	—
347	C₄	C₂×#555	1	2	yes	—
348	C₂	—	2	4	no	—
349	C₂	C₂×#2563	1	1	yes	characteristic
350	C₂	#60491	1	2	yes	—
351	C₂	#60627	1	2	yes	—
352	C₂	#60826	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #29153	C₂	semidirect
4. #29150	C₂	semidirect
5. #29147	C₂	semidirect
62. C₂×C₄⋊Q₈	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#35330	2
#34209	2
#29153	2
#29150	2
#29147	2
#23457	2
#21202	2
C₂×#1960	2
#20765	2
#20762	2
#20651	2
#20427	2