Subgroups — #6468516

Order 512.

1598 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 420 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36635	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×#125	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#29316	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#29297	C₂	1	2	yes	maximal
5	#29296	C₂	1	2	yes	maximal
6	#29209	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#28690	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#27952	C₂	1	2	yes	maximal
9	#25815	C₂	1	2	yes	maximal
10	#23838	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	C₄×#499	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#21361	C₂	1	4	yes	maximal
13	C₄×#431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
14	C₂²×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#499	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
17	#2864	C₂²	1	2	yes	—
18	#2863	—	2	2	no	—
19	#2862	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2859	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2857	C₂²	1	2	yes	—
22	#2855	—	2	2	no	—
23	#2851	C₂²	1	2	yes	—
24	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₄×#125	—	2	2	no	—
26	C₄×#125	—	2	2	no	—
27	C₄×#125	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄×#125	C₂²	1	2	yes	—
29	C₄×#125	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄×#125	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄×#125	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
33	#2295	—	2	2	no	—
34	C₂×#389	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#387	—	2	2	no	—
36	#2283	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
39	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#2085	C₂²	1	8	yes	—
42	#2084	C₂²	1	4	yes	—
43	#2083	C₂²	1	4	yes	—
44	#2059	C₂²	1	8	yes	—
45	#2058	C₂²	1	4	yes	—
46	#2057	C₂²	1	4	yes	—
47	#1991	C₂²	1	4	yes	—
48	#1991	C₂²	1	4	yes	—
49	#1949	C₂²	1	8	yes	—
50	#1949	C₂²	1	8	yes	—
51	#1942	C₂²	1	8	yes	—
52	#1941	C₂²	1	8	yes	—
53	#1853	C₂²	1	4	yes	—
54	#1853	C₂²	1	4	yes	—
55	#1852	C₂²	1	4	yes	—
56	#1852	C₂²	1	4	yes	—
57	#1846	C₂²	1	4	yes	—
58	C₄×#107	C₂²	1	8	yes	—
59	C₄×#106	C₂²	1	8	yes	—
60	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
61	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
62	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
63	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
64	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
65	#1744	C₂²	1	2	yes	—
66	C₄²×C₈	C₂²	1	2	yes	—
67	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#125	—	2	8	no	—
69	C₂×#125	—	2	2	no	—
70	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
75	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
76	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
77	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
80	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	#499	—	2	16	no	—
86	#431	Q₈	1	16	yes	complemented
87	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
88	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
89	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
90	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
91	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
98	#391	—	2	2	no	—
99	#391	—	2	2	no	—
100	#391	—	2	2	no	—
101	#391	—	2	2	no	—
102	#389	—	2	2	no	—
103	#389	—	2	2	no	—
104	#389	—	2	2	no	—
105	#389	—	2	2	no	—
106	#389	—	2	2	no	—
107	#389	—	2	2	no	—
108	#389	C₂³	1	4	yes	—
109	#389	C₂³	1	4	yes	—
110	#389	C₂³	1	4	yes	—
111	#389	C₂³	1	4	yes	—
112	#387	—	2	4	no	—
113	#387	—	2	4	no	—
114	#387	—	2	4	no	—
115	#387	—	2	4	no	—
116	#387	—	2	4	no	—
117	#387	—	2	4	no	—
118	#387	—	2	4	no	—
119	#387	—	2	4	no	—
120	#385	—	2	4	no	—
121	#384	C₂³	1	2	yes	—
122	#383	—	2	2	no	—
123	#382	—	2	2	no	—
124	#382	C₂³	1	2	yes	—
125	#382	C₂³	1	2	yes	—
126	#382	C₂³	1	2	yes	—
127	#382	C₂³	1	2	yes	—
128	#382	C₂³	1	2	yes	—
129	#381	—	2	2	no	—
130	#380	—	2	2	no	—
131	#380	C₂³	1	4	yes	—
132	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
134	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
138	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
141	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
142	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
143	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
144	#376	—	2	2	no	—
145	C₂×#95	—	2	2	no	—
146	C₂×#95	—	2	2	no	—
147	C₂×#95	—	2	2	no	—
148	C₄³	D₄	1	2	yes	—
149	C₄³	D₄	1	2	yes	—
150	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
151	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
152	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
153	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
154	#340	C₂³	1	8	yes	—
155	#340	C₂³	1	8	yes	—
156	#340	C₂³	1	8	yes	—
157	#340	C₂³	1	8	yes	—
158	#336	C₂³	1	2	yes	—
159	#336	C₂³	1	2	yes	—
160	#336	C₂³	1	4	yes	—
161	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
162	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
170	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
171	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
172	#125	—	2	16	no	—
173	#125	—	2	8	no	—
174	#125	—	2	4	no	—
175	#125	—	2	8	no	—
176	#125	#41	1	8	yes	—
177	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
178	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
196	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
197	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
198	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
201	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
202	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
203	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
204	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
205	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
206	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
207	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
208	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
209	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
210	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
211	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
212	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
213	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
214	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
215	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
216	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
217	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
218	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	8	yes	—
221	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
226	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
227	#107	—	2	16	no	—
228	#107	—	4	8	no	—
229	#106	—	2	16	no	—
230	#106	—	4	8	no	—
231	C₄⋊C₈	C₂×Q₈	1	16	yes	—
232	C₂²⋊C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
233	C₂²⋊C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
234	C₄×C₈	—	2	8	no	—
235	C₄×C₈	—	4	2	no	—
236	C₄×C₈	—	4	2	no	—
237	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	16	yes	—
238	#95	—	2	4	no	—
239	#95	—	2	4	no	—
240	#95	—	2	4	no	—
241	#95	—	2	4	no	—
242	#95	—	2	4	no	—
243	#95	—	2	4	no	—
244	#95	—	2	4	no	—
245	#95	—	2	2	no	—
246	#95	—	2	2	no	—
247	#95	—	2	2	no	—
248	#95	—	2	2	no	—
249	#95	—	2	4	no	—
250	#95	—	2	4	no	—
251	#95	—	2	4	no	—
252	#95	—	2	4	no	—
253	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
255	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
256	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
273	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
276	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
277	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
278	C₂²×C₄	#135	1	8	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
281	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
288	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
289	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₈	—	2	4	no	—
291	C₂×C₈	—	2	4	no	—
292	C₂×C₈	—	2	4	no	—
293	C₂×C₈	—	2	4	no	—
294	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
295	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
296	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
302	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
308	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
309	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
310	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
311	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
312	C₄⋊C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
313	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
314	C₄²	—	2	4	no	—
315	C₄²	—	2	4	no	—
316	C₄²	—	2	4	no	—
317	C₄²	—	2	4	no	—
318	C₄²	—	2	4	no	—
319	C₄²	—	2	4	no	—
320	C₄²	—	2	4	no	—
321	C₄²	—	2	2	no	—
322	C₄²	—	2	2	no	—
323	C₄²	—	2	2	no	—
324	C₄²	—	4	2	no	—
325	C₄²	—	4	2	no	—
326	C₄²	—	4	2	no	—
327	C₄²	—	4	8	no	—
328	C₄²	—	4	8	no	—
329	C₄²	—	4	8	no	—
330	C₄²	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
331	C₄²	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
332	C₄²	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
333	C₄²	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
334	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
335	C₂³	—	2	1	no	—
336	C₂³	—	2	1	no	—
337	C₂³	—	2	2	no	—
338	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
339	C₂³	C₂×#135	1	4	yes	—
340	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
341	Q₈	—	8	8	no	—
342	C₂×C₄	—	2	8	no	—
343	C₂×C₄	—	2	1	no	—
344	C₂×C₄	—	2	2	no	—
345	C₂×C₄	—	2	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	1	no	—
347	C₂×C₄	—	2	2	no	—
348	C₂×C₄	—	2	2	no	—
349	C₂×C₄	—	2	2	no	—
350	C₂×C₄	—	2	2	no	—
351	C₂×C₄	—	2	2	no	—
352	C₂×C₄	—	2	2	no	—
353	C₂×C₄	—	2	2	no	—
354	C₂×C₄	—	2	8	no	—
355	C₂×C₄	—	2	8	no	—
356	C₂×C₄	—	2	2	no	—
357	C₂×C₄	—	2	8	no	—
358	C₂×C₄	—	2	2	no	—
359	C₂×C₄	—	2	2	no	—
360	C₂×C₄	—	4	8	no	—
361	C₂×C₄	—	4	8	no	—
362	C₂×C₄	—	4	16	no	—
363	C₂×C₄	—	4	4	no	—
364	C₂×C₄	—	4	4	no	—
365	C₂×C₄	—	4	4	no	—
366	C₂×C₄	—	4	4	no	—
367	C₂×C₄	—	4	4	no	—
368	C₂×C₄	—	4	4	no	—
369	C₂×C₄	—	4	4	no	—
370	C₂×C₄	—	4	4	no	—
371	C₂×C₄	—	4	4	no	—
372	C₂×C₄	—	4	4	no	—
373	C₂×C₄	—	4	4	no	—
374	C₂×C₄	—	8	8	no	—
375	C₂×C₄	#525	1	4	yes	—
376	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
382	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
383	C₂×C₄	#575	1	4	yes	—
384	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
386	C₂×C₄	#585	1	2	yes	—
387	C₈	—	2	8	no	—
388	C₈	—	2	8	no	—
389	C₂²	—	2	4	no	—
390	C₂²	—	2	4	no	—
391	C₂²	—	2	2	no	—
392	C₂²	—	2	2	no	—
393	C₂²	#3160	1	4	yes	—
394	C₂²	C₂×#525	1	1	yes	characteristic
395	C₂²	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
396	C₂²	#3449	1	1	yes	characteristic
397	C₂²	C₂²×#135	1	2	yes	—
398	C₂²	C₂×#575	1	2	yes	—
399	C₄	—	2	4	no	—
400	C₄	—	2	4	no	—
401	C₄	—	2	4	no	—
402	C₄	—	2	2	no	—
403	C₄	—	2	2	no	—
404	C₄	—	2	2	no	—
405	C₄	—	2	2	no	—
406	C₄	—	4	2	no	—
407	C₄	—	4	8	no	—
408	C₄	—	8	4	no	—
409	C₄	—	8	4	no	—
410	C₄	—	8	4	no	—
411	C₄	#3166	1	4	yes	—
412	C₄	Q₈×#41	1	4	yes	—
413	C₂	—	2	4	no	—
414	C₂	#34953	1	1	yes	characteristic
415	C₂	#60536	1	2	yes	—
416	C₂	C₂×#3160	1	1	yes	characteristic
417	C₂	C₂×#3166	1	1	yes	characteristic
418	C₂	#60945	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
socle	C₂³	C₂³×D₄
prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #29316	C₂	semidirect
6. #29209	C₂	semidirect
7. #28690	C₂	semidirect
10. #23838	C₂	semidirect
11. C₄×#499	C₂	semidirect
86. #431	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36635	2
C₂×C₄×#125	2
#29316	2
#29297	2
#29296	2
#29209	2
#28690	2
#27952	2
#25815	2
#23838	2
C₄×#499	2
#21361	2
C₄×#431	2