Subgroups — #6469620

Order 512.

1795 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 444 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#540	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#29546	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#29545	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#29294	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#28292	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#28259	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#27640	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#24162	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#23697	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#23696	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₄×#478	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	C₄×#459	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
13	#20809	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂×#540	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#478	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#459	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2335	—	2	4	no	—
22	#2333	—	2	4	no	—
23	#2330	C₂²	1	2	yes	—
24	#2328	C₂²	1	2	yes	—
25	#2324	C₂²	1	4	yes	—
26	#2319	C₂²	1	4	yes	—
27	#2314	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
29	C₄×#125	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄×#123	—	2	4	no	—
31	C₄×#121	—	2	4	no	—
32	C₄×#121	C₂²	1	4	yes	—
33	C₄²×D₄	C₂²	1	4	yes	—
34	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#2087	C₂²	1	2	yes	—
36	#2086	C₂²	1	2	yes	—
37	#2076	C₂²	1	2	yes	—
38	#2075	C₂²	1	2	yes	—
39	#2067	C₂²	1	4	yes	—
40	#2065	C₂²	1	4	yes	—
41	#2054	C₂²	1	2	yes	—
42	#2054	C₂²	1	2	yes	—
43	#2034	C₂²	1	4	yes	—
44	#2033	C₂²	1	4	yes	—
45	#1999	C₂²	1	2	yes	—
46	#1999	C₂²	1	2	yes	—
47	#1989	C₂²	1	4	yes	—
48	#1982	C₂²	1	4	yes	—
49	#1949	C₂²	1	4	yes	—
50	#1947	C₂²	1	4	yes	—
51	#1925	C₂²	1	4	yes	—
52	#1925	C₂²	1	4	yes	—
53	#1921	C₂²	1	4	yes	—
54	#1919	C₂²	1	4	yes	—
55	#1879	C₂²	1	4	yes	—
56	#1879	C₂²	1	4	yes	—
57	#1864	C₂²	1	4	yes	—
58	#1862	C₂²	1	4	yes	—
59	#1843	C₂²	1	1	yes	characteristic
60	#1843	C₂²	1	1	yes	characteristic
61	#1832	C₂²	1	1	yes	characteristic
62	#1832	C₂²	1	1	yes	characteristic
63	#1804	C₂²	1	4	yes	—
64	#1802	C₂²	1	4	yes	—
65	#1798	C₂²	1	4	yes	—
66	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
67	C₄×#106	C₂²	1	2	yes	—
68	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
69	C₄×#102	C₂²	1	4	yes	—
70	C₄×#102	C₂²	1	4	yes	—
71	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
73	#540	—	2	8	no	—
74	#540	—	2	8	no	—
75	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×#123	—	2	4	no	—
78	C₂×#121	—	2	4	no	—
79	C₂×#121	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
81	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
82	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
87	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	#478	—	2	16	no	—
89	#459	—	2	16	no	—
90	C₄×D₈	—	4	4	no	—
91	C₄×D₈	—	4	4	no	—
92	#431	—	4	2	no	—
93	#431	—	4	2	no	—
94	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
114	#390	—	2	4	no	—
115	#390	—	2	4	no	—
116	#390	C₂³	1	4	yes	—
117	#390	C₂³	1	4	yes	—
118	#389	—	2	4	no	—
119	#389	C₂³	1	4	yes	—
120	#389	C₂³	1	4	yes	—
121	#388	—	2	4	no	—
122	#388	—	2	4	no	—
123	#388	—	2	4	no	—
124	#388	—	2	4	no	—
125	#388	—	2	4	no	—
126	#387	—	2	4	no	—
127	#387	—	2	4	no	—
128	#387	—	2	4	no	—
129	#386	—	2	4	no	—
130	#386	—	2	4	no	—
131	#386	—	2	4	no	—
132	#386	—	2	4	no	—
133	#385	—	2	4	no	—
134	#384	C₂³	1	2	yes	—
135	#382	C₂³	1	2	yes	—
136	#381	—	2	4	no	—
137	#380	—	2	4	no	—
138	#380	C₂³	1	4	yes	—
139	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
141	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
142	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
143	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
144	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
145	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
148	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
149	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
150	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
151	#376	C₂³	1	1	yes	characteristic
152	#376	C₂³	1	1	yes	characteristic
153	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
154	#340	C₂³	1	2	yes	—
155	#340	C₂³	1	2	yes	—
156	#340	C₂³	1	4	yes	—
157	#340	C₂³	1	4	yes	—
158	#340	C₂³	1	2	yes	—
159	#340	C₂³	1	4	yes	—
160	#340	C₂³	1	2	yes	—
161	#340	C₂³	1	4	yes	—
162	#336	C₂³	1	4	yes	—
163	#336	C₂³	1	4	yes	—
164	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
165	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
166	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
167	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
173	C₂×D₈	—	2	8	no	—
174	C₂×D₈	—	2	8	no	—
175	C₂×D₈	—	4	2	no	—
176	C₂×D₈	—	4	2	no	—
177	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
178	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
179	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
180	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
181	#127	—	2	4	no	—
182	#127	#41	1	8	yes	—
183	#125	—	2	4	no	—
184	#125	#41	1	8	yes	—
185	#123	—	2	32	no	—
186	#121	—	2	32	no	—
187	#121	—	2	8	no	—
188	#121	—	2	8	no	—
189	C₄×D₄	—	2	8	no	—
190	C₄×D₄	—	2	8	no	—
191	C₄×D₄	—	2	8	no	—
192	C₄×D₄	—	2	8	no	—
193	C₄×D₄	—	2	8	no	—
194	C₄×D₄	—	2	8	no	—
195	C₄×D₄	—	8	8	no	—
196	C₄×D₄	—	8	8	no	—
197	#117	—	2	4	no	—
198	#117	—	2	4	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
204	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
205	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
206	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
212	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
213	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
214	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
215	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
216	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
217	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
218	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
219	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
220	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
221	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
222	C₂×C₄²	—	8	8	no	—
223	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
225	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
227	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
228	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
229	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
230	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
231	#107	—	2	8	no	—
232	#107	—	4	2	no	—
233	#107	—	4	2	no	—
234	#106	—	2	8	no	—
235	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
236	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
237	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
238	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
239	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
240	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
241	#102	—	2	8	no	—
242	#102	—	2	8	no	—
243	#102	—	2	8	no	—
244	#102	—	2	8	no	—
245	#102	—	4	4	no	—
246	#102	—	4	4	no	—
247	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
248	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
249	C₄×C₈	—	2	4	no	—
250	C₄×C₈	—	2	4	no	—
251	#95	—	2	4	no	—
252	#95	—	2	4	no	—
253	#95	—	2	4	no	—
254	#95	—	2	4	no	—
255	#95	—	2	4	no	—
256	#95	—	2	4	no	—
257	#95	—	2	4	no	—
258	#95	C₂×D₄	1	2	yes	—
259	#95	C₂×D₄	1	2	yes	—
260	#95	C₂×D₄	1	2	yes	—
261	#95	C₂×D₄	1	2	yes	—
262	C₂⁴	—	2	4	no	—
263	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂×D₄	—	2	16	no	—
265	C₂×D₄	—	2	16	no	—
266	C₂×D₄	—	2	4	no	—
267	C₂×D₄	—	2	4	no	—
268	C₂×D₄	—	2	4	no	—
269	C₂×D₄	—	2	4	no	—
270	C₂×D₄	—	2	4	no	—
271	C₂×D₄	—	8	4	no	—
272	C₂×D₄	—	8	4	no	—
273	C₂×D₄	—	8	4	no	—
274	C₂×D₄	—	8	4	no	—
275	C₂×D₄	C₂×#41	1	8	yes	—
276	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
278	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
284	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
285	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
288	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
289	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
290	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
291	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
292	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
293	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
294	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
295	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
296	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
297	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
298	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
299	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
300	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
301	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
302	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
303	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
304	D₈	—	4	8	no	—
305	D₈	—	4	8	no	—
306	C₂×C₈	—	2	4	no	—
307	C₂×C₈	—	2	4	no	—
308	C₂×C₈	—	2	4	no	—
309	C₂×C₈	—	2	4	no	—
310	C₂×C₈	—	2	2	no	—
311	C₂×C₈	—	2	2	no	—
312	C₂×C₈	—	2	2	no	—
313	C₂×C₈	—	2	2	no	—
314	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
315	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
316	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
317	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
318	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
319	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
320	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
321	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
322	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
323	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
324	C₄⋊C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
325	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
326	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
327	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
328	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
329	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
330	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
331	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
332	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
333	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
334	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
335	C₄²	—	2	2	no	—
336	C₄²	—	2	2	no	—
337	C₄²	—	2	8	no	—
338	C₄²	—	2	2	no	—
339	C₄²	—	2	2	no	—
340	C₄²	—	2	1	no	—
341	C₄²	—	2	1	no	—
342	C₄²	—	4	4	no	—
343	C₄²	—	4	8	no	—
344	C₄²	—	8	4	no	—
345	C₄²	—	8	4	no	—
346	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
347	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
348	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
349	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
350	C₂³	—	2	2	no	—
351	C₂³	—	2	2	no	—
352	C₂³	—	2	8	no	—
353	C₂³	—	2	1	no	—
354	C₂³	—	2	2	no	—
355	C₂³	—	4	4	no	—
356	C₂³	—	4	4	no	—
357	C₂³	—	4	4	no	—
358	C₂³	—	4	4	no	—
359	C₂³	—	4	4	no	—
360	C₂³	—	4	4	no	—
361	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
362	D₄	—	2	8	no	—
363	D₄	—	2	8	no	—
364	D₄	—	4	4	no	—
365	D₄	—	4	4	no	—
366	D₄	—	8	16	no	—
367	D₄	—	8	16	no	—
368	C₂×C₄	—	2	2	no	—
369	C₂×C₄	—	2	4	no	—
370	C₂×C₄	—	2	4	no	—
371	C₂×C₄	—	2	4	no	—
372	C₂×C₄	—	2	2	no	—
373	C₂×C₄	—	2	4	no	—
374	C₂×C₄	—	2	2	no	—
375	C₂×C₄	—	2	8	no	—
376	C₂×C₄	—	2	1	no	—
377	C₂×C₄	—	2	1	no	—
378	C₂×C₄	—	2	1	no	—
379	C₂×C₄	—	2	4	no	—
380	C₂×C₄	—	2	2	no	—
381	C₂×C₄	—	4	4	no	—
382	C₂×C₄	—	4	4	no	—
383	C₂×C₄	—	4	4	no	—
384	C₂×C₄	—	4	1	no	—
385	C₂×C₄	—	4	2	no	—
386	C₂×C₄	—	4	1	no	—
387	C₂×C₄	—	4	4	no	—
388	C₂×C₄	—	4	4	no	—
389	C₂×C₄	—	4	4	no	—
390	C₂×C₄	—	4	4	no	—
391	C₂×C₄	—	4	4	no	—
392	C₂×C₄	—	4	4	no	—
393	C₂×C₄	—	4	4	no	—
394	C₂×C₄	—	8	16	no	—
395	C₂×C₄	—	8	16	no	—
396	C₂×C₄	—	8	16	no	—
397	C₂×C₄	#525	1	8	yes	—
398	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
399	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
400	C₂×C₄	#576	1	4	yes	—
401	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
402	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
403	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
404	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
405	C₈	—	4	2	no	—
406	C₈	—	4	2	no	—
407	C₈	—	4	2	no	—
408	C₈	—	4	2	no	—
409	C₂²	—	4	8	no	—
410	C₂²	—	4	4	no	—
411	C₂²	—	4	8	no	—
412	C₂²	—	4	1	no	—
413	C₂²	—	4	8	no	—
414	C₂²	—	4	1	no	—
415	C₂²	—	4	1	no	—
416	C₂²	—	8	4	no	—
417	C₂²	—	8	4	no	—
418	C₂²	—	8	4	no	—
419	C₂²	—	8	4	no	—
420	C₂²	C₂×#525	1	2	yes	—
421	C₂²	C₂×#537	1	1	yes	characteristic
422	C₂²	C₂×#576	1	2	yes	—
423	C₂²	#3584	1	2	yes	—
424	C₄	—	2	8	no	—
425	C₄	—	2	2	no	—
426	C₄	—	4	4	no	—
427	C₄	—	4	8	no	—
428	C₄	—	4	1	no	—
429	C₄	—	4	1	no	—
430	C₄	—	4	1	no	—
431	C₄	—	8	4	no	—
432	C₄	—	8	4	no	—
433	C₄	#3259	1	4	yes	—
434	C₄	#3481	1	1	yes	characteristic
435	C₄	#3482	1	2	yes	—
436	C₄	#3483	1	1	yes	characteristic
437	C₂	—	8	1	no	—
438	C₂	—	8	8	no	—
439	C₂	#34976	1	1	yes	characteristic
440	C₂	#60570	1	4	yes	—
441	C₂	C₂×#3259	1	1	yes	characteristic
442	C₂	#60915	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
socle	C₂³	C₂³×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₄×#540	C₂	semidirect
2. #29546	C₂	semidirect
3. #29545	C₂	semidirect
4. #29294	C₂	semidirect
5. #28292	C₂	semidirect
6. #28259	C₂	semidirect
7. #27640	C₂	semidirect
8. #24162	C₂	semidirect
9. #23697	C₂	semidirect
10. #23696	C₂	semidirect
11. C₄×#478	C₂	semidirect
12. C₄×#459	C₂	semidirect
13. #20809	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#540	2
#29546	2
#29545	2
#29294	2
#28292	2
#28259	2
#27640	2
#24162	2
#23697	2
#23696	2
C₄×#478	2
C₄×#459	2
#20809	2