Subgroups — #6473222

Order 512.

3586 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 357 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3186	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	C₂×#2856	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#33171	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#30239	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#28301	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#27909	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#25721	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂×C₄×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#127	C₂²	1	2	yes	complemented
10	C₂²×#121	—	2	4	no	—
11	C₂²×#121	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#3186	—	2	32	no	—
14	C₂×#493	C₂²	1	4	yes	complemented
15	C₂×#480	C₂²	1	16	yes	complemented
16	C₂×#466	C₂²	1	16	yes	complemented
17	C₂×#447	C₂²	1	16	yes	complemented
18	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
20	#2856	—	2	4	no	—
21	#2856	—	2	4	no	—
22	#2856	C₂²	1	4	yes	—
23	#2856	C₂²	1	4	yes	—
24	#2856	C₂²	1	4	yes	complemented
25	#2856	C₂²	1	4	yes	complemented
26	C₂×#390	—	2	4	no	—
27	C₂×#390	C₂²	1	4	yes	complemented
28	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	complemented
29	#2093	C₂²	1	16	yes	complemented
30	#2011	C₂²	1	16	yes	complemented
31	#1970	C₂²	1	16	yes	complemented
32	#1957	C₂²	1	8	yes	complemented
33	#1845	C₂²	1	4	yes	complemented
34	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	complemented
35	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	complemented
36	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	complemented
37	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
38	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
39	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
40	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
41	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×D₈	C₂³	1	16	yes	—
43	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂×#127	—	2	4	no	—
45	C₂×#127	—	4	8	no	—
46	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂×#121	—	2	4	no	—
49	C₂×#121	—	2	4	no	—
50	C₂×#121	—	2	8	no	—
51	C₂×#121	—	2	8	no	—
52	C₂×#121	—	2	8	no	—
53	C₂×#121	—	2	8	no	—
54	C₂×#121	—	2	32	no	—
55	C₂×#121	—	4	32	no	—
56	C₂×#121	C₂³	1	8	yes	—
57	C₂×#121	C₂³	1	8	yes	—
58	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
59	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
61	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
62	C₂²×C₄²	—	4	4	no	—
63	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
65	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	#493	—	4	8	no	—
70	#480	—	2	64	no	—
71	#466	—	2	64	no	—
72	#447	—	2	64	no	—
73	C₂×#107	C₂³	1	16	yes	—
74	C₂×#102	C₂³	1	32	yes	—
75	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	16	yes	complemented
76	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
77	C₂×C₄×C₈	—	4	4	no	—
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
80	#390	—	2	8	no	—
81	#390	—	2	8	no	—
82	#390	—	2	8	no	—
83	#390	—	2	8	no	—
84	#390	—	2	8	no	—
85	#390	C₂³	1	8	yes	—
86	#390	C₂³	1	8	yes	—
87	#384	—	2	4	no	—
88	#384	C₂³	1	4	yes	—
89	#384	C₂³	1	4	yes	—
90	#336	C₂³	1	8	yes	—
91	C₂⁵	—	2	4	no	—
92	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
97	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
99	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
100	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
101	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
102	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
103	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
104	C₂²×D₄	—	4	32	no	—
105	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
106	C₂²×D₄	C₂⁴	1	8	yes	—
107	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
108	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
109	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
110	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
111	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
112	C₂³×C₄	D₈	1	16	yes	complemented
113	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
122	C₂×D₈	—	2	32	no	—
123	C₂×D₈	—	4	16	no	—
124	C₂×D₈	—	4	16	no	—
125	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
126	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
127	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
128	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
129	#127	—	2	16	no	—
130	#127	—	4	8	no	—
131	#127	—	4	16	no	—
132	#121	—	2	32	no	—
133	#121	—	2	32	no	—
134	#121	—	4	16	no	—
135	#121	—	4	16	no	—
136	#121	—	4	32	no	—
137	#121	—	4	32	no	—
138	#121	—	4	32	no	—
139	#121	—	4	32	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
155	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
156	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
157	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
165	#107	—	2	32	no	—
166	#102	—	2	64	no	—
167	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	32	yes	complemented
168	C₄×C₈	—	2	8	no	—
169	C₄×C₈	—	4	4	no	—
170	C₂⁴	—	2	8	no	—
171	C₂⁴	—	4	1	no	—
172	C₂⁴	—	4	1	no	—
173	C₂⁴	—	4	2	no	—
174	C₂⁴	—	4	8	no	—
175	C₂⁴	—	4	8	no	—
176	C₂⁴	—	4	16	no	—
177	C₂⁴	—	4	8	no	—
178	C₂⁴	—	4	16	no	—
179	C₂⁴	#127	1	4	yes	—
180	C₂⁴	C₂×D₈	1	8	yes	—
181	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
182	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×D₄	—	2	16	no	—
184	C₂×D₄	—	2	16	no	—
185	C₂×D₄	—	2	16	no	—
186	C₂×D₄	—	4	16	no	—
187	C₂×D₄	—	4	8	no	—
188	C₂×D₄	—	4	8	no	—
189	C₂×D₄	—	4	16	no	—
190	C₂×D₄	—	4	16	no	—
191	C₂×D₄	—	4	16	no	—
192	C₂×D₄	—	4	32	no	—
193	C₂×D₄	—	4	32	no	—
194	C₂×D₄	—	4	8	no	—
195	C₂×D₄	—	4	16	no	—
196	C₂×D₄	—	4	16	no	—
197	C₂×D₄	—	4	16	no	—
198	C₂×D₄	—	4	16	no	—
199	C₂×D₄	—	8	32	no	—
200	C₂×D₄	—	8	64	no	—
201	C₂×D₄	—	8	64	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
223	C₂²×C₄	#127	1	8	yes	—
224	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	16	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	8	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	16	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	8	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
237	D₈	—	8	32	no	—
238	C₂×C₈	—	2	8	no	—
239	C₂×C₈	—	2	8	no	—
240	C₂×C₈	—	4	16	no	—
241	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	16	yes	—
242	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
250	C₄²	—	2	4	no	—
251	C₄²	—	2	8	no	—
252	C₄²	—	2	2	no	—
253	C₄²	—	2	4	no	—
254	C₄²	—	4	4	no	—
255	C₄²	—	4	2	no	—
256	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
257	C₂³	—	2	2	no	—
258	C₂³	—	2	1	no	—
259	C₂³	—	2	2	no	—
260	C₂³	—	2	1	no	—
261	C₂³	—	2	4	no	—
262	C₂³	—	2	2	no	—
263	C₂³	—	4	4	no	—
264	C₂³	—	4	8	no	—
265	C₂³	—	4	4	no	—
266	C₂³	—	4	8	no	—
267	C₂³	—	4	8	no	—
268	C₂³	—	4	8	no	—
269	C₂³	—	4	8	no	—
270	C₂³	—	4	16	no	—
271	C₂³	—	4	16	no	—
272	C₂³	—	8	32	no	—
273	C₂³	—	8	16	no	—
274	C₂³	—	8	32	no	—
275	C₂³	—	8	16	no	—
276	C₂³	—	8	16	no	—
277	C₂³	#493	1	16	yes	complemented
278	C₂³	C₂×#127	1	4	yes	—
279	C₂³	C₂×#127	1	2	yes	—
280	C₂³	C₂²×D₈	1	8	yes	—
281	C₂³	C₂²×D₈	1	4	yes	—
282	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
283	D₄	—	4	32	no	—
284	D₄	—	8	32	no	—
285	D₄	—	8	16	no	—
286	D₄	—	8	32	no	—
287	D₄	—	8	32	no	—
288	D₄	—	8	32	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	1	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	1	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	16	no	—
298	C₂×C₄	—	2	32	no	—
299	C₂×C₄	—	2	8	no	—
300	C₂×C₄	—	2	16	no	—
301	C₂×C₄	—	4	8	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	16	no	—
304	C₂×C₄	—	4	8	no	—
305	C₂×C₄	—	4	8	no	—
306	C₂×C₄	—	4	16	no	—
307	C₂×C₄	—	8	16	no	—
308	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
310	C₂×C₄	#534	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	4	yes	—
312	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	8	yes	—
313	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	#575	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	#585	1	2	yes	—
318	C₈	—	2	16	no	—
319	C₂²	—	2	8	no	—
320	C₂²	—	2	4	no	—
321	C₂²	—	2	8	no	—
322	C₂²	—	2	4	no	—
323	C₂²	—	2	4	no	—
324	C₂²	—	2	2	no	—
325	C₂²	—	2	4	no	—
326	C₂²	—	2	2	no	—
327	C₂²	—	4	16	no	—
328	C₂²	—	8	16	no	—
329	C₂²	—	8	16	no	—
330	C₂²	—	8	8	no	—
331	C₂²	—	8	8	no	—
332	C₂²	—	8	8	no	—
333	C₂²	—	16	32	no	—
334	C₂²	C₂×#493	1	8	yes	—
335	C₂²	C₂×#493	1	4	yes	—
336	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	C₂×#534	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	#3449	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	C₂³×D₈	1	2	yes	—
340	C₂²	C₂×#575	1	2	yes	—
341	C₄	—	2	4	no	—
342	C₄	—	2	8	no	—
343	C₄	—	2	2	no	—
344	C₄	—	2	4	no	—
345	C₄	—	8	8	no	—
346	C₄	#3186	1	8	yes	complemented
347	C₄	#3496	1	4	yes	—
348	C₂	—	2	8	no	—
349	C₂	—	2	4	no	—
350	C₂	—	16	8	no	—
351	C₂	#35001	1	1	yes	characteristic
352	C₂	C₂²×#493	1	1	yes	characteristic
353	C₂	#60639	1	1	yes	characteristic
354	C₂	C₂×#3186	1	2	yes	—
355	C₂	#60940	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3186	C₂	semidirect
2. C₂×#2856	C₂	semidirect
3. #33171	C₂	semidirect
4. #30239	C₂	semidirect
5. #28301	C₂	semidirect
6. #27909	C₂	semidirect
7. #25721	C₂	semidirect
8. C₂×C₄×C₂²⋊C₈	C₂	semidirect
9. C₂²×#127	C₂²	semidirect
14. C₂×#493	C₂²	semidirect
15. C₂×#480	C₂²	semidirect
16. C₂×#466	C₂²	semidirect
17. C₂×#447	C₂²	semidirect
19. C₂²×C₄×C₈	C₂²	semidirect
24. #2856	C₂²	semidirect
25. #2856	C₂²	semidirect
27. C₂×#390	C₂²	semidirect
28. C₂×#384	C₂²	semidirect
29. #2093	C₂²	semidirect
30. #2011	C₂²	semidirect
31. #1970	C₂²	semidirect
32. #1957	C₂²	semidirect
33. #1845	C₂²	semidirect
34. C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	semidirect
35. C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	semidirect
36. C₂×#336	C₂²	semidirect
75. C₂×C₂²⋊C₈	D₄	semidirect
112. C₂³×C₄	D₈	semidirect
127. C₂²×C₈	C₂×D₄	semidirect
167. C₂²⋊C₈	C₂×D₄	semidirect
277. C₂³	#493	semidirect
346. C₄	#3186	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3186	2
C₂×#2856	2
#33171	2
#30239	2
#28301	2
#27909	2
#25721	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₈	2