Subgroups — #6473261

Order 512.

2844 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 372 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3199	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	#35272	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#33175	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#33171	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#30253	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#28319	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#27907	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#25721	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	C₄×#408	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#535	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂²×#127	C₂²	1	2	yes	complemented
12	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#3199	—	2	32	no	—
14	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#482	C₂²	1	16	yes	complemented
17	C₂×#469	C₂²	1	8	yes	complemented
18	C₂×#466	C₂²	1	8	yes	complemented
19	C₂×#447	C₂²	1	16	yes	complemented
20	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
22	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
23	#2856	C₂²	1	4	yes	—
24	#2856	C₂²	1	4	yes	complemented
25	#2619	C₂²	1	4	yes	—
26	#2619	C₂²	1	4	yes	complemented
27	#2548	—	2	4	no	—
28	#2541	—	2	4	no	—
29	#2408	—	2	4	no	—
30	#2408	—	2	4	no	—
31	#2309	C₂²	1	4	yes	complemented
32	#2285	C₂²	1	2	yes	complemented
33	#2092	C₂²	1	16	yes	complemented
34	#2011	C₂²	1	16	yes	complemented
35	#1972	C₂²	1	8	yes	complemented
36	#1970	C₂²	1	8	yes	complemented
37	#1957	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#1957	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#1845	C₂²	1	2	yes	complemented
40	#1844	C₂²	1	2	yes	complemented
41	#1750	C₂²	1	4	yes	complemented
42	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#1729	C₂²	1	2	yes	complemented
44	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
46	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂²×D₈	C₂³	1	8	yes	—
48	C₂²×D₈	C₂³	1	8	yes	—
49	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
51	#535	—	2	32	no	—
52	C₂×#127	—	2	4	no	—
53	C₂×#127	—	2	4	no	—
54	C₂×#127	—	4	4	no	—
55	C₂×#127	—	4	4	no	—
56	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂×#124	—	2	4	no	—
59	C₂×#121	—	2	8	no	—
60	C₂×#121	—	2	8	no	—
61	C₂×#121	C₂³	1	8	yes	—
62	C₂×#121	C₂³	1	8	yes	—
63	C₂×#120	—	2	4	no	—
64	C₂×#120	—	2	4	no	—
65	C₄×#41	—	4	2	no	—
66	C₄×#41	—	4	2	no	—
67	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
70	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	#493	—	4	4	no	—
76	#493	—	4	4	no	—
77	#482	—	2	64	no	—
78	#469	—	2	32	no	—
79	#466	—	2	32	no	—
80	#447	—	2	64	no	—
81	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
82	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
83	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
84	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
85	#408	D₄	1	16	yes	complemented
86	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
87	C₄×M₁₆	—	4	2	no	—
88	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂×C₄×C₈	—	4	2	no	—
90	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
93	#394	—	2	8	no	—
94	#394	—	2	8	no	—
95	#392	—	2	8	no	—
96	#392	—	2	8	no	—
97	#390	—	2	8	no	—
98	#390	—	2	8	no	—
99	#390	—	2	8	no	—
100	#390	C₂³	1	8	yes	—
101	#390	C₂³	1	8	yes	—
102	#384	C₂³	1	4	yes	—
103	#382	C₂³	1	4	yes	—
104	#380	—	2	4	no	—
105	#379	—	2	8	no	—
106	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
107	#336	C₂³	1	8	yes	—
108	C₂⁵	—	2	4	no	—
109	C₂×#41	—	4	1	no	—
110	C₂×#41	—	4	1	no	—
111	C₂×#41	—	4	2	no	—
112	C₂×#41	C₂×D₄	1	8	yes	—
113	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
120	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
121	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
122	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
123	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
124	C₂²×D₄	—	8	16	no	—
125	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₂²×D₄	C₂⁴	1	8	yes	—
128	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
132	C₂×D₈	—	2	16	no	—
133	C₂×D₈	—	2	16	no	—
134	C₂×D₈	—	4	8	no	—
135	C₂×D₈	—	4	8	no	—
136	C₂×D₈	—	4	8	no	—
137	C₂×D₈	—	4	8	no	—
138	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
140	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
141	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
144	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
145	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
146	#127	—	2	8	no	—
147	#127	—	2	8	no	—
148	#127	—	4	4	no	—
149	#127	—	4	4	no	—
150	#127	—	4	16	no	—
151	#127	—	4	16	no	—
152	#124	—	4	16	no	—
153	#121	—	2	32	no	—
154	#121	—	2	32	no	—
155	#121	—	8	16	no	—
156	#121	—	8	16	no	—
157	#120	—	4	16	no	—
158	#120	—	4	16	no	—
159	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
160	C₄×D₄	—	4	4	no	—
161	C₄×D₄	—	4	8	no	—
162	#117	—	2	16	no	—
163	#117	—	4	2	no	—
164	#117	—	4	2	no	—
165	#117	—	4	1	no	—
166	#117	—	4	1	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
188	#107	—	2	16	no	—
189	#106	—	2	16	no	—
190	#102	—	2	32	no	—
191	#102	—	2	32	no	—
192	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	32	yes	complemented
193	#97	—	4	2	no	—
194	C₄×C₈	—	2	4	no	—
195	C₄×C₈	—	2	4	no	—
196	C₄×C₈	—	4	2	no	—
197	#95	—	2	8	no	—
198	C₂⁴	—	2	8	no	—
199	C₂⁴	—	4	8	no	—
200	C₂⁴	—	4	8	no	—
201	C₂⁴	—	4	8	no	—
202	C₂⁴	—	8	16	no	—
203	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
204	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
205	#41	—	4	8	no	—
206	#41	—	4	8	no	—
207	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
209	C₂×Q₈	#127	1	4	yes	—
210	C₂×D₄	—	2	16	no	—
211	C₂×D₄	—	2	8	no	—
212	C₂×D₄	—	2	8	no	—
213	C₂×D₄	—	2	16	no	—
214	C₂×D₄	—	4	2	no	—
215	C₂×D₄	—	4	1	no	—
216	C₂×D₄	—	4	2	no	—
217	C₂×D₄	—	4	1	no	—
218	C₂×D₄	—	4	8	no	—
219	C₂×D₄	—	4	16	no	—
220	C₂×D₄	—	4	8	no	—
221	C₂×D₄	—	4	16	no	—
222	C₂×D₄	—	4	16	no	—
223	C₂×D₄	—	4	8	no	—
224	C₂×D₄	—	4	16	no	—
225	C₂×D₄	—	4	16	no	—
226	C₂×D₄	—	4	16	no	—
227	C₂×D₄	—	8	16	no	—
228	C₂×D₄	—	8	16	no	—
229	C₂×D₄	—	8	16	no	—
230	C₂×D₄	—	8	64	no	—
231	C₂×D₄	—	8	16	no	—
232	C₂×D₄	—	8	16	no	—
233	C₂×D₄	#127	1	4	yes	—
234	C₂×D₄	#127	1	8	yes	—
235	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
254	D₈	—	8	16	no	—
255	D₈	—	8	16	no	—
256	M₁₆	—	4	8	no	—
257	C₂×C₈	—	2	4	no	—
258	C₂×C₈	—	2	4	no	—
259	C₂×C₈	—	2	4	no	—
260	C₂×C₈	—	2	4	no	—
261	C₂×C₈	—	4	8	no	—
262	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
263	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
264	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
275	C₄²	—	2	4	no	—
276	C₄²	—	2	8	no	—
277	C₄²	—	2	1	no	—
278	C₄²	—	2	1	no	—
279	C₄²	—	2	2	no	—
280	C₄²	—	2	2	no	—
281	C₄²	—	4	8	no	—
282	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
283	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
284	C₂³	—	2	2	no	—
285	C₂³	—	2	1	no	—
286	C₂³	—	2	2	no	—
287	C₂³	—	2	1	no	—
288	C₂³	—	2	4	no	—
289	C₂³	—	2	8	no	—
290	C₂³	—	4	8	no	—
291	C₂³	—	4	8	no	—
292	C₂³	—	4	8	no	—
293	C₂³	—	4	16	no	—
294	C₂³	—	4	16	no	—
295	C₂³	—	8	16	no	—
296	C₂³	—	8	32	no	—
297	C₂³	—	16	16	no	—
298	C₂³	—	16	16	no	—
299	C₂³	C₂×#127	1	4	yes	—
300	C₂³	C₂×#127	1	2	yes	—
301	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
302	Q₈	—	4	4	no	—
303	D₄	—	4	8	no	—
304	D₄	—	4	4	no	—
305	D₄	—	4	16	no	—
306	D₄	—	4	16	no	—
307	D₄	—	8	16	no	—
308	D₄	—	8	32	no	—
309	D₄	—	8	32	no	—
310	D₄	—	16	16	no	—
311	D₄	—	16	16	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	1	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	1	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	8	no	—
319	C₂×C₄	—	2	8	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	8	no	—
324	C₂×C₄	—	4	8	no	—
325	C₂×C₄	—	4	16	no	—
326	C₂×C₄	—	4	8	no	—
327	C₂×C₄	—	4	16	no	—
328	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#534	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	#576	1	8	yes	—
332	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	#585	1	2	yes	—
336	C₈	—	2	8	no	—
337	C₈	—	2	8	no	—
338	C₂²	—	2	4	no	—
339	C₂²	—	2	2	no	—
340	C₂²	—	2	4	no	—
341	C₂²	—	2	8	no	—
342	C₂²	—	4	2	no	—
343	C₂²	—	4	4	no	—
344	C₂²	—	4	2	no	—
345	C₂²	—	4	4	no	—
346	C₂²	—	8	16	no	—
347	C₂²	—	8	16	no	—
348	C₂²	—	8	8	no	—
349	C₂²	—	8	8	no	—
350	C₂²	—	8	8	no	—
351	C₂²	—	16	32	no	—
352	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	C₂×#534	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	#3449	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	C₂×#576	1	4	yes	—
356	C₄	—	2	4	no	—
357	C₄	—	2	2	no	—
358	C₄	—	4	2	no	—
359	C₄	—	4	4	no	—
360	C₄	—	8	8	no	—
361	C₄	#3199	1	8	yes	complemented
362	C₄	#3496	1	2	yes	—
363	C₄	#3496	1	2	yes	—
364	C₂	—	4	2	no	—
365	C₂	—	4	4	no	—
366	C₂	—	16	8	no	—
367	C₂	#35001	1	1	yes	characteristic
368	C₂	#60647	1	2	yes	—
369	C₂	C₂×#3199	1	2	yes	—
370	C₂	#61011	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3199	C₂	semidirect
2. #35272	C₂	semidirect
3. #33175	C₂	semidirect
4. #33171	C₂	semidirect
5. #30253	C₂	semidirect
6. #28319	C₂	semidirect
7. #27907	C₂	semidirect
8. #25721	C₂	semidirect
9. C₄×#408	C₂	semidirect
11. C₂²×#127	C₂²	semidirect
16. C₂×#482	C₂²	semidirect
17. C₂×#469	C₂²	semidirect
18. C₂×#466	C₂²	semidirect
19. C₂×#447	C₂²	semidirect
21. C₂×C₄×M₁₆	C₂²	semidirect
22. C₂²×C₄×C₈	C₂²	semidirect
24. #2856	C₂²	semidirect
26. #2619	C₂²	semidirect
31. #2309	C₂²	semidirect
32. #2285	C₂²	semidirect
33. #2092	C₂²	semidirect
34. #2011	C₂²	semidirect
35. #1972	C₂²	semidirect
36. #1970	C₂²	semidirect
37. #1957	C₂²	semidirect
38. #1957	C₂²	semidirect
39. #1845	C₂²	semidirect
40. #1844	C₂²	semidirect
41. #1750	C₂²	semidirect
42. C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	semidirect
43. #1729	C₂²	semidirect
85. #408	D₄	semidirect
140. C₂×M₁₆	C₂×D₄	semidirect
143. C₂²×C₈	C₂×D₄	semidirect
192. C₂²⋊C₈	C₂×D₄	semidirect
361. C₄	#3199	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3199	2
#35272	2
#33175	2
#33171	2
#30253	2
#28319	2
#27907	2
#25721	2
C₄×#408	2