Subgroups — #6473418

Order 512.

1634 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 262 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#35020	C₂	1	2	yes	maximal
2	#33208	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#30292	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#28772	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#26062	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#21940	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₂×#1807	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₂×C₈×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#499	C₂²	1	4	yes	complemented
11	C₂²×#106	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
14	#2851	C₂²	1	8	yes	—
15	#2646	—	2	4	no	—
16	#2569	—	2	8	no	—
17	#2442	C₂²	1	16	yes	—
18	#2315	—	2	4	no	—
19	C₂×#380	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2085	C₂²	1	16	yes	complemented
22	#2059	C₂²	1	16	yes	complemented
23	#1991	C₂²	1	8	yes	complemented
24	#1942	C₂²	1	8	yes	complemented
25	#1941	C₂²	1	8	yes	complemented
26	#1852	C₂²	1	16	yes	—
27	#1846	C₂²	1	4	yes	complemented
28	#1808	C₂²	1	8	yes	—
29	#1807	C₂²	1	4	yes	—
30	#1807	C₂²	1	4	yes	—
31	#1807	C₂²	1	4	yes	—
32	#1807	C₂²	1	4	yes	—
33	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
34	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×C₈	—	4	4	no	—
39	C₂³×C₈	Q₈	1	8	yes	—
40	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂×#125	C₂³	1	8	yes	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
47	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
48	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
49	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
50	#499	—	4	8	no	—
51	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
52	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
53	C₂×#106	—	4	8	no	—
54	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
55	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
56	C₂×C₂²⋊C₈	Q₈	1	8	yes	—
57	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂×C₄×C₈	—	4	4	no	—
59	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
61	#400	—	2	16	no	—
62	#398	—	2	16	no	—
63	#389	C₂³	1	16	yes	—
64	#387	—	2	16	no	—
65	#385	—	2	16	no	—
66	#385	—	2	16	no	—
67	#382	C₂³	1	8	yes	—
68	#380	—	2	4	no	—
69	#380	—	2	4	no	—
70	#380	—	2	16	no	—
71	#380	C₂³	1	8	yes	—
72	#380	C₂³	1	8	yes	—
73	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
74	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂×#95	—	2	4	no	—
76	C₂×#95	D₄	1	2	yes	—
77	#340	C₂³	1	8	yes	—
78	#340	C₂³	1	16	yes	—
79	#340	C₂³	1	8	yes	—
80	#336	C₂³	1	8	yes	—
81	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
83	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
84	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
85	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
86	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
87	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
93	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
94	C₂²×C₈	—	4	16	no	—
95	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
96	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
97	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
98	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
99	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
100	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
101	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
102	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
103	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
104	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
105	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
107	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
108	#125	—	4	8	no	—
109	#125	—	4	8	no	—
110	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
121	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
122	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
123	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
124	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
125	#107	—	4	8	no	—
126	#107	—	4	8	no	—
127	#106	—	2	16	no	—
128	#106	—	4	8	no	—
129	C₂²⋊C₈	C₂×Q₈	1	16	yes	—
130	C₄×C₈	—	2	8	no	—
131	C₄×C₈	—	4	4	no	—
132	#95	—	2	8	no	—
133	#95	—	2	8	no	—
134	#95	—	2	16	no	—
135	#95	—	2	16	no	—
136	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
137	C₂⁴	—	4	2	no	—
138	C₂⁴	—	4	2	no	—
139	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
140	C₂⁴	#135	1	8	yes	—
141	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
143	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
149	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
150	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
151	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
152	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
153	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
154	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
156	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
157	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
158	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
159	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
160	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
161	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
162	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
164	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
165	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
166	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
167	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
168	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₈	—	2	4	no	—
170	C₂×C₈	—	2	2	no	—
171	C₂×C₈	—	2	4	no	—
172	C₂×C₈	—	2	4	no	—
173	C₂×C₈	—	2	8	no	—
174	C₂×C₈	—	2	16	no	—
175	C₂×C₈	—	4	8	no	—
176	C₂×C₈	—	4	4	no	—
177	C₂×C₈	—	4	8	no	—
178	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
179	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
180	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
181	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
182	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
183	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
184	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
185	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
186	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
187	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
188	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
189	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
190	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
191	C₄²	—	2	4	no	—
192	C₄²	—	2	4	no	—
193	C₄²	—	4	4	no	—
194	C₂³	—	2	2	no	—
195	C₂³	—	2	4	no	—
196	C₂³	—	2	2	no	—
197	C₂³	—	2	4	no	—
198	C₂³	—	4	4	no	—
199	C₂³	—	4	4	no	—
200	C₂³	—	4	16	no	—
201	C₂³	#499	1	16	yes	complemented
202	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
203	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
204	C₂³	C₂×#135	1	8	yes	—
205	C₂³	C₂×#135	1	4	yes	—
206	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂×C₄	—	2	8	no	—
215	C₂×C₄	—	2	8	no	—
216	C₂×C₄	—	2	8	no	—
217	C₂×C₄	—	2	8	no	—
218	C₂×C₄	—	4	8	no	—
219	C₂×C₄	—	4	4	no	—
220	C₂×C₄	—	4	16	no	—
221	C₂×C₄	—	4	16	no	—
222	C₂×C₄	—	4	16	no	—
223	C₂×C₄	—	4	16	no	—
224	C₂×C₄	—	16	16	no	—
225	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
226	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
227	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
228	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
229	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
230	C₂×C₄	#585	1	2	yes	—
231	C₈	—	2	2	no	—
232	C₈	—	2	4	no	—
233	C₈	—	2	8	no	—
234	C₈	#543	1	4	yes	—
235	C₂²	—	2	8	no	—
236	C₂²	—	2	16	no	—
237	C₂²	—	2	2	no	—
238	C₂²	—	2	4	no	—
239	C₂²	—	2	2	no	—
240	C₂²	—	2	4	no	—
241	C₂²	—	4	16	no	—
242	C₂²	C₂×#499	1	8	yes	—
243	C₂²	C₂×#499	1	4	yes	—
244	C₂²	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
245	C₂²	#3496	1	2	yes	—
246	C₂²	C₂²×#135	1	2	yes	—
247	C₂²	#3584	1	2	yes	—
248	C₄	—	2	2	no	—
249	C₄	—	2	4	no	—
250	C₄	—	4	8	no	—
251	C₄	—	8	16	no	—
252	C₄	C₂×#543	1	1	yes	characteristic
253	C₄	#3458	1	1	yes	characteristic
254	C₄	#3501	1	2	yes	—
255	C₂	—	2	4	no	—
256	C₂	—	2	8	no	—
257	C₂	#35002	1	1	yes	characteristic
258	C₂	C₂²×#499	1	1	yes	characteristic
259	C₂	#60660	1	1	yes	characteristic
260	C₂	#62244	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×C₂²⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #33208	C₂	semidirect
3. #30292	C₂	semidirect
4. #28772	C₂	semidirect
5. #26062	C₂	semidirect
10. C₂×#499	C₂²	semidirect
21. #2085	C₂²	semidirect
22. #2059	C₂²	semidirect
23. #1991	C₂²	semidirect
24. #1942	C₂²	semidirect
25. #1941	C₂²	semidirect
27. #1846	C₂²	semidirect
201. C₂³	#499	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#35020	2
#33208	2
#30292	2
#28772	2
#26062	2
#21940	2
C₂×#1807	2
C₂×C₈×C₂²⋊C₄	2