Subgroups — #6475394

Order 512.

1814 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 337 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36625	C₂	1	2	yes	maximal
2	#33208	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#30293	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#30291	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#29299	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#27951	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#25814	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#21939	C₂	1	4	yes	maximal
9	C₂×C₄×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#499	C₂²	1	4	yes	complemented
13	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
15	#2857	C₂²	1	4	yes	—
16	#2857	C₂²	1	4	yes	—
17	#2855	—	2	4	no	—
18	#2851	C₂²	1	4	yes	—
19	#2851	C₂²	1	4	yes	—
20	#2848	—	2	4	no	—
21	C₄×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
22	C₄×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
23	#2296	C₂²	1	4	yes	—
24	#2285	C₂²	1	2	yes	—
25	#2280	C₂²	1	4	yes	—
26	#2084	C₂²	1	8	yes	complemented
27	#2083	C₂²	1	8	yes	complemented
28	#2058	C₂²	1	8	yes	complemented
29	#2057	C₂²	1	8	yes	complemented
30	#1991	C₂²	1	8	yes	complemented
31	#1942	C₂²	1	8	yes	complemented
32	#1941	C₂²	1	8	yes	complemented
33	#1854	C₂²	1	16	yes	—
34	#1854	C₂²	1	16	yes	—
35	#1846	C₂²	1	4	yes	complemented
36	#1808	C₂²	1	8	yes	—
37	#1807	C₂²	1	8	yes	—
38	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
39	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
40	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
43	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
46	#533	—	4	8	no	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
50	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
51	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
53	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂²×C₄²	—	4	4	no	—
56	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
57	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
62	#499	—	4	8	no	—
63	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
64	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
65	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
66	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
67	C₂×C₂²⋊C₈	Q₈	1	16	yes	complemented
68	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
69	C₂×C₄×C₈	—	4	4	no	—
70	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
72	#391	—	2	4	no	—
73	#391	—	2	4	no	—
74	#389	—	2	4	no	—
75	#389	—	2	4	no	—
76	#389	C₂³	1	8	yes	—
77	#389	C₂³	1	8	yes	—
78	#387	—	2	8	no	—
79	#387	—	2	8	no	—
80	#385	—	2	8	no	—
81	#385	—	2	8	no	—
82	#385	—	2	8	no	—
83	#384	C₂³	1	4	yes	—
84	#382	C₂³	1	4	yes	—
85	#381	—	2	4	no	—
86	#380	—	2	4	no	—
87	#380	—	2	4	no	—
88	#380	—	2	4	no	—
89	#380	C₂³	1	8	yes	—
90	#380	C₂³	1	8	yes	—
91	#379	—	2	4	no	—
92	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
93	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
94	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
95	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
96	#340	C₂³	1	16	yes	—
97	#340	C₂³	1	16	yes	—
98	#336	C₂³	1	4	yes	—
99	#336	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
102	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
103	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
104	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
105	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
106	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
107	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
108	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
110	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
118	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
119	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
121	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
122	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
123	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
124	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
125	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
126	#125	—	2	16	no	—
127	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
128	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
129	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
130	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
131	#117	—	4	4	no	—
132	#117	—	4	4	no	—
133	#117	—	4	8	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
150	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
151	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
152	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
153	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
154	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
161	#107	—	4	8	no	—
162	#107	—	4	8	no	—
163	#106	—	4	8	no	—
164	#106	—	4	8	no	—
165	C₂²⋊C₈	C₂×Q₈	1	32	yes	—
166	C₄×C₈	—	2	8	no	—
167	C₄×C₈	—	4	4	no	—
168	#95	—	2	8	no	—
169	#95	—	2	8	no	—
170	#95	—	2	8	no	—
171	#95	—	2	8	no	—
172	#95	—	2	8	no	—
173	C₂⁴	—	2	4	no	—
174	C₂⁴	—	4	1	no	—
175	C₂⁴	—	4	1	no	—
176	C₂⁴	—	4	2	no	—
177	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
178	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
179	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
181	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
182	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
209	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
210	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
211	C₂²×C₄	#135	1	8	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₈	—	2	4	no	—
221	C₂×C₈	—	2	4	no	—
222	C₂×C₈	—	2	4	no	—
223	C₂×C₈	—	2	4	no	—
224	C₂×C₈	—	4	8	no	—
225	C₂×C₈	—	4	8	no	—
226	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
227	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
228	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
231	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
233	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
234	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
241	C₄²	—	2	4	no	—
242	C₄²	—	2	8	no	—
243	C₄²	—	2	2	no	—
244	C₄²	—	2	4	no	—
245	C₄²	—	4	4	no	—
246	C₄²	—	4	2	no	—
247	C₄²	—	4	8	no	—
248	C₄²	—	4	8	no	—
249	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
250	C₂³	—	2	1	no	—
251	C₂³	—	2	1	no	—
252	C₂³	—	2	2	no	—
253	C₂³	—	2	8	no	—
254	C₂³	—	2	2	no	—
255	C₂³	—	2	2	no	—
256	C₂³	—	2	4	no	—
257	C₂³	—	2	4	no	—
258	C₂³	—	4	4	no	—
259	C₂³	—	4	4	no	—
260	C₂³	—	4	8	no	—
261	C₂³	—	4	8	no	—
262	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
263	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
264	C₂³	C₂×#135	1	4	yes	—
265	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
266	Q₈	—	8	16	no	—
267	C₂×C₄	—	2	16	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	2	1	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	1	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	8	no	—
281	C₂×C₄	—	2	8	no	—
282	C₂×C₄	—	4	4	no	—
283	C₂×C₄	—	4	8	no	—
284	C₂×C₄	—	4	8	no	—
285	C₂×C₄	—	4	16	no	—
286	C₂×C₄	—	4	16	no	—
287	C₂×C₄	—	4	8	no	—
288	C₂×C₄	—	4	8	no	—
289	C₂×C₄	—	4	8	no	—
290	C₂×C₄	—	4	8	no	—
291	C₂×C₄	—	4	8	no	—
292	C₂×C₄	—	4	8	no	—
293	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
295	C₂×C₄	#534	1	4	yes	—
296	C₂×C₄	C₂×#135	1	8	yes	—
297	C₂×C₄	#575	1	4	yes	—
298	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	#585	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	#585	1	1	yes	characteristic
302	C₈	—	2	8	no	—
303	C₈	—	2	8	no	—
304	C₂²	—	2	4	no	—
305	C₂²	—	2	4	no	—
306	C₂²	—	2	2	no	—
307	C₂²	—	2	2	no	—
308	C₂²	—	2	4	no	—
309	C₂²	—	2	4	no	—
310	C₂²	—	2	4	no	—
311	C₂²	—	4	16	no	—
312	C₂²	—	4	4	no	—
313	C₂²	—	4	4	no	—
314	C₂²	#3160	1	4	yes	—
315	C₂²	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
316	C₂²	C₂×#534	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	#3449	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	C₂²×#135	1	2	yes	—
319	C₂²	C₂×#575	1	2	yes	—
320	C₄	—	2	4	no	—
321	C₄	—	2	4	no	—
322	C₄	—	2	8	no	—
323	C₄	—	2	4	no	—
324	C₄	—	2	2	no	—
325	C₄	—	8	8	no	—
326	C₄	—	8	8	no	—
327	C₄	#3501	1	2	yes	—
328	C₄	#3501	1	2	yes	—
329	C₂	—	2	4	no	—
330	C₂	—	4	4	no	—
331	C₂	#35011	1	1	yes	characteristic
332	C₂	C₂×#3160	1	1	yes	characteristic
333	C₂	#60663	1	1	yes	characteristic
334	C₂	#60734	1	2	yes	—
335	C₂	#60948	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #33208	C₂	semidirect
3. #30293	C₂	semidirect
4. #30291	C₂	semidirect
5. #29299	C₂	semidirect
6. #27951	C₂	semidirect
7. #25814	C₂	semidirect
12. C₂×#499	C₂²	semidirect
26. #2084	C₂²	semidirect
27. #2083	C₂²	semidirect
28. #2058	C₂²	semidirect
29. #2057	C₂²	semidirect
30. #1991	C₂²	semidirect
31. #1942	C₂²	semidirect
32. #1941	C₂²	semidirect
35. #1846	C₂²	semidirect
67. C₂×C₂²⋊C₈	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36625	2
#33208	2
#30293	2
#30291	2
#29299	2
#27951	2
#25814	2
#21939	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₈	2