Subgroups — #6475410

Order 512.

1772 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 343 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36625	C₂	1	2	yes	maximal
2	#33212	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#33210	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#30297	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#29305	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#27949	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#25812	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#21943	C₂	1	4	yes	maximal
9	C₄×#407	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	complemented
13	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	complemented
14	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2857	C₂²	1	4	yes	—
18	#2857	C₂²	1	4	yes	—
19	#2855	—	2	4	no	—
20	#2851	C₂²	1	4	yes	—
21	#2851	C₂²	1	4	yes	—
22	#2848	—	2	4	no	—
23	C₄×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
24	C₄×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
25	#2296	C₂²	1	4	yes	—
26	#2285	C₂²	1	2	yes	—
27	#2280	C₂²	1	4	yes	—
28	#2085	C₂²	1	16	yes	complemented
29	#2059	C₂²	1	16	yes	complemented
30	#1990	C₂²	1	4	yes	complemented
31	#1990	C₂²	1	4	yes	complemented
32	#1944	C₂²	1	8	yes	complemented
33	#1943	C₂²	1	8	yes	complemented
34	#1854	C₂²	1	16	yes	—
35	#1854	C₂²	1	16	yes	—
36	#1845	C₂²	1	2	yes	complemented
37	#1844	C₂²	1	2	yes	complemented
38	#1809	C₂²	1	8	yes	—
39	#1809	C₂²	1	8	yes	—
40	#1749	C₂²	1	4	yes	—
41	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
42	#1728	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
44	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
47	#533	—	4	4	no	—
48	#533	—	4	4	no	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
52	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
53	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
55	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂²×C₄²	—	4	2	no	—
58	C₂²×C₄²	—	4	2	no	—
59	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
60	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
65	#500	—	4	4	no	—
66	#498	—	4	4	no	—
67	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
68	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
69	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
70	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
71	#407	Q₈	1	16	yes	complemented
72	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
73	C₄×M₁₆	—	4	2	no	—
74	C₄×M₁₆	—	4	2	no	—
75	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
79	#391	—	2	4	no	—
80	#391	—	2	4	no	—
81	#389	—	2	4	no	—
82	#389	—	2	4	no	—
83	#389	C₂³	1	8	yes	—
84	#389	C₂³	1	8	yes	—
85	#387	—	2	8	no	—
86	#387	—	2	8	no	—
87	#385	—	2	8	no	—
88	#385	—	2	8	no	—
89	#385	—	2	8	no	—
90	#384	C₂³	1	4	yes	—
91	#382	C₂³	1	4	yes	—
92	#381	—	2	4	no	—
93	#380	—	2	4	no	—
94	#380	—	2	4	no	—
95	#380	—	2	4	no	—
96	#380	C₂³	1	8	yes	—
97	#380	C₂³	1	8	yes	—
98	#379	—	2	4	no	—
99	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
100	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
101	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
102	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
103	#340	C₂³	1	16	yes	—
104	#340	C₂³	1	16	yes	—
105	#336	C₂³	1	8	yes	—
106	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
108	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
109	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
110	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
111	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
112	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
113	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
122	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
126	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
127	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
128	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
129	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
130	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
131	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
132	#125	—	4	4	no	—
133	#125	—	4	4	no	—
134	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
135	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
136	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
137	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
138	#117	—	4	8	no	—
139	#117	—	4	4	no	—
140	#117	—	4	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
160	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
161	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
162	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
163	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
164	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
172	#107	—	4	8	no	—
173	#107	—	4	8	no	—
174	#106	—	4	8	no	—
175	#106	—	4	8	no	—
176	C₂²⋊C₈	C₂×Q₈	1	32	yes	—
177	#97	—	4	2	no	—
178	#97	—	4	2	no	—
179	C₄×C₈	—	2	4	no	—
180	C₄×C₈	—	2	4	no	—
181	#95	—	2	8	no	—
182	#95	—	2	8	no	—
183	#95	—	2	8	no	—
184	#95	—	2	8	no	—
185	#95	—	2	8	no	—
186	C₂⁴	—	4	1	no	—
187	C₂⁴	—	4	1	no	—
188	C₂⁴	—	4	4	no	—
189	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
190	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
191	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
193	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
194	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
220	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
230	M₁₆	—	4	8	no	—
231	M₁₆	—	4	8	no	—
232	C₂×C₈	—	2	4	no	—
233	C₂×C₈	—	2	4	no	—
234	C₂×C₈	—	2	4	no	—
235	C₂×C₈	—	2	4	no	—
236	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
237	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
238	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
251	C₄²	—	2	4	no	—
252	C₄²	—	2	8	no	—
253	C₄²	—	2	1	no	—
254	C₄²	—	2	1	no	—
255	C₄²	—	2	2	no	—
256	C₄²	—	2	2	no	—
257	C₄²	—	4	4	no	—
258	C₄²	—	4	2	no	—
259	C₄²	—	4	8	no	—
260	C₄²	—	4	8	no	—
261	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
262	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
263	C₂³	—	2	2	no	—
264	C₂³	—	2	1	no	—
265	C₂³	—	2	2	no	—
266	C₂³	—	2	1	no	—
267	C₂³	—	2	4	no	—
268	C₂³	—	2	4	no	—
269	C₂³	—	2	4	no	—
270	C₂³	—	4	4	no	—
271	C₂³	—	4	8	no	—
272	C₂³	—	4	8	no	—
273	C₂³	—	4	8	no	—
274	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
275	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
276	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
277	Q₈	—	8	16	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	1	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	1	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	8	no	—
285	C₂×C₄	—	2	8	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	4	4	no	—
292	C₂×C₄	—	4	8	no	—
293	C₂×C₄	—	4	8	no	—
294	C₂×C₄	—	4	16	no	—
295	C₂×C₄	—	4	16	no	—
296	C₂×C₄	—	4	8	no	—
297	C₂×C₄	—	4	8	no	—
298	C₂×C₄	—	4	8	no	—
299	C₂×C₄	—	4	8	no	—
300	C₂×C₄	—	4	8	no	—
301	C₂×C₄	—	4	8	no	—
302	C₂×C₄	—	4	8	no	—
303	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
305	C₂×C₄	#534	1	4	yes	—
306	C₂×C₄	#575	1	8	yes	—
307	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	#585	1	2	yes	—
311	C₈	—	2	8	no	—
312	C₈	—	2	8	no	—
313	C₂²	—	2	2	no	—
314	C₂²	—	2	4	no	—
315	C₂²	—	2	4	no	—
316	C₂²	—	2	4	no	—
317	C₂²	—	2	4	no	—
318	C₂²	—	4	16	no	—
319	C₂²	—	4	4	no	—
320	C₂²	—	4	2	no	—
321	C₂²	—	4	4	no	—
322	C₂²	—	4	2	no	—
323	C₂²	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	C₂×#534	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	#3449	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	C₂×#575	1	4	yes	—
327	C₄	—	2	4	no	—
328	C₄	—	2	2	no	—
329	C₄	—	4	4	no	—
330	C₄	—	4	2	no	—
331	C₄	—	8	8	no	—
332	C₄	—	8	8	no	—
333	C₄	#3197	1	8	yes	—
334	C₄	#3501	1	2	yes	—
335	C₄	#3501	1	2	yes	—
336	C₂	—	4	2	no	—
337	C₂	—	4	4	no	—
338	C₂	#35011	1	1	yes	characteristic
339	C₂	#60663	1	2	yes	—
340	C₂	C₂×#3197	1	2	yes	—
341	C₂	#60972	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #33212	C₂	semidirect
3. #33210	C₂	semidirect
4. #30297	C₂	semidirect
5. #29305	C₂	semidirect
6. #27949	C₂	semidirect
7. #25812	C₂	semidirect
12. C₂×#500	C₂²	semidirect
13. C₂×#498	C₂²	semidirect
28. #2085	C₂²	semidirect
29. #2059	C₂²	semidirect
30. #1990	C₂²	semidirect
31. #1990	C₂²	semidirect
32. #1944	C₂²	semidirect
33. #1943	C₂²	semidirect
36. #1845	C₂²	semidirect
37. #1844	C₂²	semidirect
71. #407	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36625	2
#33212	2
#33210	2
#30297	2
#29305	2
#27949	2
#25812	2
#21943	2
C₄×#407	2