Subgroups — #6475419

Order 512.

1692 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 372 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#35279	C₂	1	2	yes	maximal
2	#33210	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#33207	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#30302	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#29311	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#27949	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#25811	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#21946	C₂	1	4	yes	maximal
9	C₄×#408	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2857	C₂²	1	4	yes	—
18	#2857	C₂²	1	4	yes	—
19	#2628	C₂²	1	4	yes	—
20	#2628	C₂²	1	4	yes	—
21	#2568	—	2	2	no	—
22	#2567	—	2	2	no	—
23	#2563	—	2	2	no	—
24	#2542	—	2	2	no	—
25	#2487	—	2	2	no	—
26	#2487	—	2	2	no	—
27	#2409	—	2	2	no	—
28	#2409	—	2	2	no	—
29	#2317	C₂²	1	4	yes	—
30	#2311	C₂²	1	4	yes	—
31	#2285	C₂²	1	2	yes	—
32	#2085	C₂²	1	16	yes	—
33	#2058	C₂²	1	16	yes	—
34	#1990	C₂²	1	4	yes	—
35	#1990	C₂²	1	4	yes	—
36	#1943	C₂²	1	8	yes	—
37	#1941	C₂²	1	8	yes	—
38	#1854	C₂²	1	16	yes	—
39	#1853	C₂²	1	16	yes	—
40	#1845	C₂²	1	2	yes	—
41	#1844	C₂²	1	2	yes	—
42	#1809	C₂²	1	8	yes	—
43	#1807	C₂²	1	8	yes	—
44	#1750	C₂²	1	4	yes	—
45	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
46	#1729	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
49	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
58	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
59	C₄×#41	—	4	2	no	—
60	C₄×#41	—	4	2	no	—
61	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
62	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
64	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
65	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
72	#498	—	4	4	no	—
73	#498	—	4	4	no	—
74	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
75	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
76	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
77	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
78	#408	Q₈	1	16	yes	complemented
79	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
80	C₄×M₁₆	—	4	2	no	—
81	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×C₄×C₈	—	4	2	no	—
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
86	#400	—	2	4	no	—
87	#400	—	2	4	no	—
88	#399	—	2	4	no	—
89	#399	—	2	4	no	—
90	#395	—	2	4	no	—
91	#395	—	2	4	no	—
92	#393	—	2	4	no	—
93	#393	—	2	4	no	—
94	#391	—	2	4	no	—
95	#391	—	2	4	no	—
96	#391	—	2	4	no	—
97	#390	—	2	4	no	—
98	#389	—	2	4	no	—
99	#389	—	2	4	no	—
100	#389	C₂³	1	8	yes	—
101	#389	C₂³	1	8	yes	—
102	#386	—	2	4	no	—
103	#386	—	2	4	no	—
104	#385	—	2	4	no	—
105	#385	—	2	4	no	—
106	#384	—	2	4	no	—
107	#384	C₂³	1	4	yes	—
108	#382	—	2	4	no	—
109	#382	C₂³	1	4	yes	—
110	#380	—	2	4	no	—
111	#380	—	2	4	no	—
112	#380	—	2	2	no	—
113	#380	—	2	2	no	—
114	#380	C₂³	1	8	yes	—
115	#380	C₂³	1	8	yes	—
116	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
117	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
118	#340	C₂³	1	16	yes	—
119	#340	C₂³	1	16	yes	—
120	#336	C₂³	1	8	yes	—
121	C₂×#41	—	4	1	no	—
122	C₂×#41	—	4	1	no	—
123	C₂×#41	—	4	2	no	—
124	C₂×#41	C₂×Q₈	1	8	yes	—
125	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
126	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
127	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
128	C₂²×Q₈	—	8	8	no	—
129	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
138	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
140	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
141	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
143	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
144	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
145	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
152	C₂²⋊Q₈	—	8	8	no	—
153	C₂²⋊Q₈	—	8	8	no	—
154	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
155	C₄×D₄	—	4	4	no	—
156	C₄×D₄	—	4	4	no	—
157	C₄×D₄	—	4	4	no	—
158	#117	—	4	2	no	—
159	#117	—	4	2	no	—
160	#117	—	4	1	no	—
161	#117	—	4	1	no	—
162	#117	—	4	8	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
196	#107	—	4	8	no	—
197	#106	—	4	8	no	—
198	#106	—	4	8	no	—
199	#106	—	4	8	no	—
200	C₂²⋊C₈	C₂×Q₈	1	32	yes	complemented
201	#97	—	4	2	no	—
202	C₄×C₈	—	2	4	no	—
203	C₄×C₈	—	2	4	no	—
204	C₄×C₈	—	4	2	no	—
205	#95	—	2	4	no	—
206	#95	—	2	4	no	—
207	#95	—	2	8	no	—
208	#95	—	2	8	no	—
209	#95	—	2	8	no	—
210	#95	—	2	8	no	—
211	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
213	#41	—	4	8	no	—
214	#41	—	4	8	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
216	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
217	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
218	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
219	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
220	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
221	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
222	C₂×Q₈	—	8	32	no	—
223	C₂×Q₈	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
224	C₂×D₄	—	4	2	no	—
225	C₂×D₄	—	4	1	no	—
226	C₂×D₄	—	4	2	no	—
227	C₂×D₄	—	4	1	no	—
228	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
229	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
245	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
255	M₁₆	—	4	8	no	—
256	C₂×C₈	—	2	4	no	—
257	C₂×C₈	—	2	4	no	—
258	C₂×C₈	—	2	4	no	—
259	C₂×C₈	—	2	4	no	—
260	C₂×C₈	—	4	8	no	—
261	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
262	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
263	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
274	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
275	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
283	C₄²	—	2	4	no	—
284	C₄²	—	2	4	no	—
285	C₄²	—	2	4	no	—
286	C₄²	—	2	1	no	—
287	C₄²	—	2	1	no	—
288	C₄²	—	2	2	no	—
289	C₄²	—	2	2	no	—
290	C₄²	—	4	8	no	—
291	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
292	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
293	C₂³	—	2	2	no	—
294	C₂³	—	2	1	no	—
295	C₂³	—	2	2	no	—
296	C₂³	—	2	1	no	—
297	C₂³	—	2	4	no	—
298	C₂³	—	2	4	no	—
299	C₂³	—	2	4	no	—
300	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
301	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
302	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
303	Q₈	—	4	4	no	—
304	Q₈	—	8	16	no	—
305	Q₈	—	8	16	no	—
306	D₄	—	4	8	no	—
307	D₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	1	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	1	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	8	no	—
315	C₂×C₄	—	2	8	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	8	no	—
323	C₂×C₄	—	4	8	no	—
324	C₂×C₄	—	4	8	no	—
325	C₂×C₄	—	4	8	no	—
326	C₂×C₄	—	4	8	no	—
327	C₂×C₄	—	4	8	no	—
328	C₂×C₄	—	4	8	no	—
329	C₂×C₄	—	4	8	no	—
330	C₂×C₄	—	4	8	no	—
331	C₂×C₄	—	8	16	no	—
332	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	#534	1	4	yes	—
335	C₂×C₄	#577	1	8	yes	—
336	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#585	1	2	yes	—
340	C₈	—	2	8	no	—
341	C₈	—	2	8	no	—
342	C₂²	—	2	2	no	—
343	C₂²	—	2	4	no	—
344	C₂²	—	2	4	no	—
345	C₂²	—	2	8	no	—
346	C₂²	—	4	2	no	—
347	C₂²	—	4	2	no	—
348	C₂²	—	4	2	no	—
349	C₂²	—	4	4	no	—
350	C₂²	—	4	2	no	—
351	C₂²	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	C₂×#534	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	#3449	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	C₂×#577	1	4	yes	—
355	C₄	—	2	4	no	—
356	C₄	—	2	2	no	—
357	C₄	—	4	2	no	—
358	C₄	—	4	2	no	—
359	C₄	—	4	2	no	—
360	C₄	—	8	8	no	—
361	C₄	—	8	8	no	—
362	C₄	#3200	1	8	yes	—
363	C₄	#3501	1	2	yes	—
364	C₄	#3501	1	2	yes	—
365	C₂	—	4	4	no	—
366	C₂	—	4	2	no	—
367	C₂	#35011	1	1	yes	characteristic
368	C₂	#60665	1	2	yes	—
369	C₂	C₂×#3200	1	2	yes	—
370	C₂	#61015	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #33210	C₂	semidirect
3. #33207	C₂	semidirect
4. #30302	C₂	semidirect
5. #29311	C₂	semidirect
6. #27949	C₂	semidirect
7. #25811	C₂	semidirect
78. #408	Q₈	semidirect
140. C₂×M₁₆	C₂×Q₈	semidirect
143. C₂²×C₈	C₂×Q₈	semidirect
200. C₂²⋊C₈	C₂×Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#35279	2
#33210	2
#33207	2
#30302	2
#29311	2
#27949	2
#25811	2
#21946	2
C₄×#408	2