Subgroups — #6483506

Order 512.

1382 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 351 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#35104	C₂	1	2	yes	maximal
2	#33209	C₂	1	2	yes	maximal
3	#33208	C₂	1	2	yes	maximal
4	#30293	C₂	1	2	yes	maximal
5	#30292	C₂	1	2	yes	maximal
6	#28832	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#28812	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#28794	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	#21960	C₂	1	2	yes	maximal
10	#20818	C₂	1	2	yes	maximal
11	C₂×C₈×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#499	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2857	C₂²	1	4	yes	—
19	#2851	C₂²	1	4	yes	—
20	#2627	—	2	4	no	—
21	#2606	—	2	4	no	—
22	#2605	—	2	4	no	—
23	#2570	C₂²	1	8	yes	—
24	#2550	C₂²	1	8	yes	—
25	#2329	—	2	4	no	—
26	#2283	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#2085	C₂²	1	8	yes	—
29	#2084	C₂²	1	8	yes	—
30	#2059	C₂²	1	8	yes	—
31	#2058	C₂²	1	8	yes	—
32	#1991	C₂²	1	4	yes	—
33	#1990	C₂²	1	4	yes	—
34	#1949	C₂²	1	8	yes	—
35	#1949	C₂²	1	8	yes	—
36	#1942	C₂²	1	4	yes	—
37	#1942	C₂²	1	4	yes	—
38	#1942	C₂²	1	4	yes	—
39	#1941	C₂²	1	4	yes	—
40	#1846	C₂²	1	2	yes	—
41	#1846	C₂²	1	2	yes	—
42	#1846	C₂²	1	2	yes	—
43	#1845	C₂²	1	2	yes	—
44	#1835	C₂²	1	4	yes	—
45	#1808	C₂²	1	4	yes	—
46	#1808	C₂²	1	4	yes	—
47	#1807	C₂²	1	4	yes	—
48	#1807	C₂²	1	4	yes	—
49	C₄×#107	C₂²	1	4	yes	—
50	C₄×#106	C₂²	1	4	yes	—
51	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
52	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
53	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
54	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#500	—	4	4	no	—
67	#499	—	4	4	no	—
68	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₈	Q₈	1	8	yes	complemented
77	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	—	4	2	no	—
79	C₂×C₄×C₈	—	4	2	no	—
80	C₂×C₄×C₈	Q₈	1	8	yes	complemented
81	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
87	#400	—	2	8	no	—
88	#398	—	2	8	no	—
89	#398	—	2	8	no	—
90	#395	—	2	8	no	—
91	#391	—	2	4	no	—
92	#391	—	2	8	no	—
93	#389	—	2	4	no	—
94	#389	—	2	8	no	—
95	#389	C₂³	1	8	yes	—
96	#389	C₂³	1	8	yes	—
97	#387	—	2	8	no	—
98	#387	—	2	8	no	—
99	#387	—	2	8	no	—
100	#385	—	2	8	no	—
101	#384	C₂³	1	4	yes	—
102	#383	—	2	4	no	—
103	#382	C₂³	1	4	yes	—
104	#382	C₂³	1	4	yes	—
105	#382	C₂³	1	4	yes	—
106	#381	—	2	4	no	—
107	#380	—	2	4	no	—
108	#380	C₂³	1	8	yes	—
109	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
110	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
111	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
112	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
113	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
114	#376	—	2	4	no	—
115	C₂×#95	D₄	1	2	yes	—
116	#340	C₂³	1	8	yes	—
117	#340	C₂³	1	8	yes	—
118	#340	C₂³	1	8	yes	—
119	#340	C₂³	1	8	yes	—
120	#336	C₂³	1	4	yes	—
121	#336	C₂³	1	4	yes	—
122	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
123	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
131	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
132	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
133	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
134	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
135	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
136	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
139	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
145	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
147	#125	—	4	4	no	—
148	#125	—	4	4	no	—
149	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
160	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
163	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
164	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
165	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
166	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
167	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
176	#107	—	2	8	no	—
177	#107	—	2	8	no	—
178	#107	—	4	4	no	—
179	#107	—	4	4	no	—
180	#106	—	4	4	no	—
181	#106	—	4	4	no	—
182	#106	—	4	4	no	—
183	#106	—	4	4	no	—
184	C₄⋊C₈	C₂×Q₈	1	16	yes	—
185	C₄×C₈	—	2	4	no	—
186	C₄×C₈	—	2	4	no	—
187	C₄×C₈	—	4	2	no	—
188	C₄×C₈	—	4	2	no	—
189	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
190	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
191	#95	—	2	8	no	—
192	#95	—	2	4	no	—
193	#95	—	2	4	no	—
194	#95	—	2	4	no	—
195	#95	—	2	4	no	—
196	#95	—	2	8	no	—
197	#95	—	2	8	no	—
198	#95	—	2	8	no	—
199	#95	—	2	8	no	—
200	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
201	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
202	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
204	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
205	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
219	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	#135	1	8	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
231	C₂×C₈	—	2	2	no	—
232	C₂×C₈	—	2	2	no	—
233	C₂×C₈	—	2	1	no	—
234	C₂×C₈	—	2	1	no	—
235	C₂×C₈	—	2	2	no	—
236	C₂×C₈	—	2	2	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	8	no	—
240	C₂×C₈	—	4	4	no	—
241	C₂×C₈	—	4	4	no	—
242	C₂×C₈	—	4	4	no	—
243	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
244	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
245	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
246	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
247	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
248	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
249	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
250	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
258	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
260	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
261	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
263	C₄²	—	2	2	no	—
264	C₄²	—	2	2	no	—
265	C₄²	—	2	2	no	—
266	C₄²	—	2	2	no	—
267	C₄²	—	4	1	no	—
268	C₄²	—	4	1	no	—
269	C₄²	—	4	2	no	—
270	C₄²	—	8	8	no	—
271	C₄²	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
272	C₄²	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
273	C₄²	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	1	no	—
276	C₂³	—	2	1	no	—
277	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
278	C₂³	C₂×#135	1	4	yes	—
279	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
280	Q₈	—	16	8	no	—
281	C₂×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	8	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	1	no	—
288	C₂×C₄	—	2	1	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	4	4	no	—
298	C₂×C₄	—	4	8	no	—
299	C₂×C₄	—	4	8	no	—
300	C₂×C₄	—	4	8	no	—
301	C₂×C₄	—	4	8	no	—
302	C₂×C₄	—	4	8	no	—
303	C₂×C₄	—	4	8	no	—
304	C₂×C₄	—	4	8	no	—
305	C₂×C₄	—	4	8	no	—
306	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
310	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	#585	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	#585	1	1	yes	characteristic
317	C₈	—	2	2	no	—
318	C₈	—	2	4	no	—
319	C₈	—	2	4	no	—
320	C₈	—	2	4	no	—
321	C₈	#544	1	4	yes	—
322	C₂²	—	2	4	no	—
323	C₂²	—	2	2	no	—
324	C₂²	—	2	4	no	—
325	C₂²	—	2	2	no	—
326	C₂²	#3160	1	4	yes	—
327	C₂²	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	#3496	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	#3497	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	C₂²×#135	1	2	yes	—
331	C₂²	#3584	1	2	yes	—
332	C₄	—	2	4	no	—
333	C₄	—	2	4	no	—
334	C₄	—	2	2	no	—
335	C₄	—	2	4	no	—
336	C₄	—	2	4	no	—
337	C₄	—	4	4	no	—
338	C₄	—	8	8	no	—
339	C₄	—	8	8	no	—
340	C₄	C₂×#544	1	1	yes	characteristic
341	C₄	#3458	1	1	yes	characteristic
342	C₄	#3501	1	1	yes	characteristic
343	C₄	#3502	1	1	yes	characteristic
344	C₂	—	2	4	no	—
345	C₂	#35167	1	1	yes	characteristic
346	C₂	C₂×#3160	1	1	yes	characteristic
347	C₂	#60660	1	1	yes	characteristic
348	C₂	#62247	1	2	yes	—
349	C₂	#62361	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×C₄⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
6. #28832	C₂	semidirect
7. #28812	C₂	semidirect
8. #28794	C₂	semidirect
76. C₂×C₄⋊C₈	Q₈	semidirect
80. C₂×C₄×C₈	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#35104	2
#33209	2
#33208	2
#30293	2
#30292	2
#28832	2
#28812	2
#28794	2
#21960	2
#20818	2
C₂×C₈×C₄⋊C₄	2