Subgroups — #6484427

Order 512.

1856 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 414 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#35344	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#34210	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#32962	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#29959	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#29263	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#29195	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#29145	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#28521	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#28290	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#21989	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#21810	C₂	1	2	yes	maximal
12	#20811	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#518	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#476	C₂²	1	4	yes	complemented
16	C₂×#474	C₂²	1	4	yes	complemented
17	C₂×#432	C₂²	1	2	yes	—
18	#2864	C₂²	1	2	yes	complemented
19	#2862	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
20	#2862	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
21	#2628	C₂²	1	2	yes	—
22	#2628	C₂²	1	2	yes	—
23	#2607	—	2	4	no	—
24	#2605	—	2	4	no	—
25	#2366	—	2	4	no	—
26	D₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
27	#2331	C₂²	1	2	yes	complemented
28	#2331	C₂²	1	2	yes	complemented
29	#2328	C₂²	1	2	yes	—
30	#2328	C₂²	1	2	yes	—
31	#2309	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
33	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
34	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#2283	C₂²	1	2	yes	—
36	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#2092	C₂²	1	8	yes	complemented
38	#2067	C₂²	1	8	yes	complemented
39	#2065	C₂²	1	8	yes	complemented
40	#2023	C₂²	1	8	yes	complemented
41	#1982	C₂²	1	8	yes	—
42	#1961	C₂²	1	4	yes	—
43	#1961	C₂²	1	4	yes	—
44	#1949	C₂²	1	8	yes	complemented
45	#1864	C₂²	1	8	yes	complemented
46	#1862	C₂²	1	8	yes	complemented
47	#1854	C₂²	1	8	yes	—
48	#1847	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#1843	C₂²	1	2	yes	complemented
50	#1836	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#1832	C₂²	1	2	yes	complemented
52	#1804	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#1804	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#1798	C₂²	1	2	yes	—
55	#1798	C₂²	1	2	yes	—
56	#1786	C₂²	1	8	yes	—
57	#1767	C₂²	1	2	yes	complemented
58	#1767	C₂²	1	2	yes	complemented
59	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
60	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×#127	—	2	2	no	—
64	C₂×#127	—	2	4	no	—
65	C₂×#127	Q₈	1	8	yes	complemented
66	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
68	#518	—	4	4	no	—
69	#518	—	4	4	no	—
70	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
71	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
72	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
79	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	#476	—	4	8	no	—
81	#474	—	4	8	no	—
82	#432	—	2	8	no	—
83	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
84	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
85	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
89	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
90	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
91	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
92	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
94	#400	—	2	2	no	—
95	#400	—	2	2	no	—
96	#399	—	2	2	no	—
97	#399	—	2	2	no	—
98	#395	—	2	2	no	—
99	#395	—	2	2	no	—
100	#393	—	2	2	no	—
101	#393	—	2	2	no	—
102	#391	—	2	4	no	—
103	#391	—	2	4	no	—
104	#391	—	2	4	no	—
105	#391	—	2	4	no	—
106	#390	—	2	4	no	—
107	#390	—	2	4	no	—
108	#390	—	2	4	no	—
109	#390	C₂³	1	4	yes	—
110	#390	C₂³	1	4	yes	—
111	#389	C₂³	1	4	yes	—
112	#389	C₂³	1	4	yes	—
113	#387	—	2	4	no	—
114	#387	—	2	4	no	—
115	#387	—	2	4	no	—
116	#387	—	2	4	no	—
117	#386	—	2	8	no	—
118	#386	—	2	8	no	—
119	#384	C₂³	1	2	yes	—
120	#383	—	2	2	no	—
121	#382	C₂³	1	2	yes	—
122	#382	C₂³	1	2	yes	—
123	#382	C₂³	1	2	yes	—
124	#382	C₂³	1	2	yes	—
125	#382	C₂³	1	2	yes	—
126	#381	—	2	2	no	—
127	#380	—	2	2	no	—
128	#380	C₂³	1	4	yes	—
129	#379	—	2	4	no	—
130	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
131	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
132	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
133	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
134	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
135	#376	—	2	2	no	—
136	#376	C₂³	1	1	yes	characteristic
137	#376	C₂³	1	1	yes	characteristic
138	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
139	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
140	#340	C₂³	1	8	yes	—
141	#340	C₂³	1	8	yes	—
142	#336	C₂³	1	4	yes	—
143	#336	C₂³	1	4	yes	—
144	C₂⁵	—	2	2	no	—
145	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
147	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
148	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
149	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
150	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
151	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
152	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
153	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
154	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
155	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
156	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
157	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
158	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
159	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
160	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
161	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
164	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
165	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
166	#127	—	2	16	no	—
167	#127	—	2	4	no	—
168	#127	—	2	4	no	—
169	#127	C₂×Q₈	1	8	yes	—
170	#127	C₂×Q₈	1	8	yes	—
171	C₄×D₄	—	2	8	no	—
172	C₄×D₄	—	2	8	no	—
173	C₄×D₄	—	4	4	no	—
174	C₄×D₄	—	4	4	no	—
175	C₄×D₄	—	4	16	no	—
176	C₄×D₄	—	8	8	no	—
177	C₄×D₄	—	8	8	no	—
178	#117	—	2	4	no	—
179	#117	—	4	2	no	—
180	#117	—	4	2	no	—
181	#117	—	4	2	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
190	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
191	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
201	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
203	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
204	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
205	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
207	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
208	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
211	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
212	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
214	#107	—	4	8	no	—
215	#106	—	4	8	no	—
216	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
217	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
218	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
219	#102	—	4	8	no	—
220	#102	—	4	8	no	—
221	#102	—	4	8	no	—
222	#102	—	4	8	no	—
223	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
224	#97	—	2	8	no	—
225	#95	—	2	4	no	—
226	#95	—	2	2	no	—
227	#95	—	2	2	no	—
228	#95	—	2	2	no	—
229	#95	—	2	2	no	—
230	#95	—	2	4	no	—
231	#95	—	2	4	no	—
232	#95	—	2	2	no	—
233	#95	—	2	2	no	—
234	#95	—	2	2	no	—
235	#95	—	2	2	no	—
236	#95	—	2	4	no	—
237	#95	—	2	4	no	—
238	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
239	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
240	C₂⁴	—	2	4	no	—
241	C₂⁴	—	2	8	no	—
242	C₂⁴	—	4	4	no	—
243	C₂⁴	—	4	4	no	—
244	C₂⁴	—	8	8	no	—
245	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
247	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
248	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
249	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
250	C₂×D₄	—	2	8	no	—
251	C₂×D₄	—	2	16	no	—
252	C₂×D₄	—	2	16	no	—
253	C₂×D₄	—	2	4	no	—
254	C₂×D₄	—	2	4	no	—
255	C₂×D₄	—	2	4	no	—
256	C₂×D₄	—	2	4	no	—
257	C₂×D₄	—	2	4	no	—
258	C₂×D₄	—	4	8	no	—
259	C₂×D₄	—	4	8	no	—
260	C₂×D₄	—	4	4	no	—
261	C₂×D₄	—	4	8	no	—
262	C₂×D₄	—	4	8	no	—
263	C₂×D₄	—	4	4	no	—
264	C₂×D₄	—	4	8	no	—
265	C₂×D₄	—	4	8	no	—
266	C₂×D₄	—	8	8	no	—
267	C₂×D₄	—	8	32	no	—
268	C₂×D₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
269	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
277	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
278	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
279	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
281	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
282	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
283	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
284	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
288	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
289	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₈	—	2	8	no	—
291	C₂×C₈	—	2	8	no	—
292	C₂×C₈	—	2	8	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
312	C₄²	—	2	2	no	—
313	C₄²	—	2	2	no	—
314	C₄²	—	2	2	no	—
315	C₄²	—	4	4	no	—
316	C₄²	—	4	4	no	—
317	C₄²	—	4	4	no	—
318	C₄²	—	8	4	no	—
319	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
320	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
321	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
322	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
323	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
324	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
325	C₂³	—	2	4	no	—
326	C₂³	—	2	1	no	—
327	C₂³	—	2	1	no	—
328	C₂³	—	2	8	no	—
329	C₂³	—	4	16	no	—
330	C₂³	—	4	8	no	—
331	C₂³	—	4	8	no	—
332	C₂³	—	4	4	no	—
333	C₂³	—	4	4	no	—
334	C₂³	—	8	16	no	—
335	C₂³	—	16	8	no	—
336	C₂³	—	16	8	no	—
337	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
338	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
339	Q₈	—	16	4	no	—
340	Q₈	—	16	4	no	—
341	D₄	—	2	8	no	—
342	D₄	—	2	8	no	—
343	D₄	—	4	16	no	—
344	D₄	—	4	32	no	—
345	D₄	—	4	4	no	—
346	D₄	—	4	4	no	—
347	D₄	—	8	16	no	—
348	C₂×C₄	—	2	4	no	—
349	C₂×C₄	—	2	4	no	—
350	C₂×C₄	—	2	4	no	—
351	C₂×C₄	—	2	1	no	—
352	C₂×C₄	—	2	1	no	—
353	C₂×C₄	—	2	4	no	—
354	C₂×C₄	—	2	4	no	—
355	C₂×C₄	—	2	4	no	—
356	C₂×C₄	—	2	4	no	—
357	C₂×C₄	—	2	4	no	—
358	C₂×C₄	—	2	2	no	—
359	C₂×C₄	—	2	2	no	—
360	C₂×C₄	—	2	2	no	—
361	C₂×C₄	—	4	8	no	—
362	C₂×C₄	—	4	4	no	—
363	C₂×C₄	—	4	4	no	—
364	C₂×C₄	—	4	8	no	—
365	C₂×C₄	—	4	4	no	—
366	C₂×C₄	—	4	4	no	—
367	C₂×C₄	—	4	4	no	—
368	C₂×C₄	—	4	4	no	—
369	C₂×C₄	—	4	4	no	—
370	C₂×C₄	—	16	8	no	—
371	C₂×C₄	—	16	8	no	—
372	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
374	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
375	C₂×C₄	#535	1	4	yes	—
376	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	#585	1	2	yes	—
380	C₈	—	4	8	no	—
381	C₂²	—	2	4	no	—
382	C₂²	—	2	2	no	—
383	C₂²	—	4	2	no	—
384	C₂²	—	4	2	no	—
385	C₂²	—	4	16	no	—
386	C₂²	—	4	8	no	—
387	C₂²	—	8	8	no	—
388	C₂²	—	8	4	no	—
389	C₂²	—	8	4	no	—
390	C₂²	—	16	16	no	—
391	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
392	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
393	C₂²	#3449	1	1	yes	characteristic
394	C₂²	#3585	1	4	yes	—
395	C₄	—	2	4	no	—
396	C₄	—	2	4	no	—
397	C₄	—	2	2	no	—
398	C₄	—	2	4	no	—
399	C₄	—	4	2	no	—
400	C₄	—	4	2	no	—
401	C₄	—	4	2	no	—
402	C₄	—	8	4	no	—
403	C₄	—	8	4	no	—
404	C₄	—	8	4	no	—
405	C₄	#3501	1	2	yes	—
406	C₄	#3506	1	2	yes	—
407	C₂	—	4	2	no	—
408	C₂	—	8	8	no	—
409	C₂	#35172	1	1	yes	characteristic
410	C₂	#60490	1	2	yes	—
411	C₂	#60827	1	2	yes	—
412	C₂	#61017	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #35344	C₂	semidirect
3. #32962	C₂	semidirect
4. #29959	C₂	semidirect
5. #29263	C₂	semidirect
6. #29195	C₂	semidirect
7. #29145	C₂	semidirect
8. #28521	C₂	semidirect
9. #28290	C₂	semidirect
10. #21989	C₂	semidirect
12. #20811	C₂	semidirect
15. C₂×#476	C₂²	semidirect
16. C₂×#474	C₂²	semidirect
18. #2864	C₂²	semidirect
19. #2862	C₂²	semidirect
20. #2862	C₂²	semidirect
27. #2331	C₂²	semidirect
28. #2331	C₂²	semidirect
37. #2092	C₂²	semidirect
38. #2067	C₂²	semidirect
39. #2065	C₂²	semidirect
40. #2023	C₂²	semidirect
44. #1949	C₂²	semidirect
45. #1864	C₂²	semidirect
46. #1862	C₂²	semidirect
48. #1847	C₂²	semidirect
49. #1843	C₂²	semidirect
50. #1836	C₂²	semidirect
51. #1832	C₂²	semidirect
52. #1804	C₂²	semidirect
53. #1804	C₂²	semidirect
57. #1767	C₂²	semidirect
58. #1767	C₂²	semidirect
65. C₂×#127	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#35344	2
#34210	2
#32962	2
#29959	2
#29263	2
#29195	2
#29145	2
#28521	2
#28290	2
#21989	2
#21810	2
#20811	2