Subgroups — #6484513

Order 512.

1372 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 268 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#35284	C₂	1	2	yes	maximal
2	#33210	C₂	1	2	yes	maximal
3	#33207	C₂	1	2	yes	maximal
4	#30303	C₂	1	4	yes	maximal
5	#29327	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#29207	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#28687	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#21967	C₂	1	4	yes	maximal
9	C₄×#424	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#2868	C₂²	1	2	yes	—
16	#2859	C₂²	1	2	yes	—
17	#2857	C₂²	1	4	yes	—
18	#2647	C₂²	1	4	yes	—
19	#2629	C₂²	1	4	yes	—
20	#2507	—	2	4	no	—
21	#2497	—	2	4	no	—
22	#2446	—	2	4	no	—
23	#2429	—	2	4	no	—
24	#2330	C₂²	1	4	yes	—
25	#2314	C₂²	1	4	yes	—
26	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
27	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#2084	C₂²	1	16	yes	—
29	#2059	C₂²	1	16	yes	—
30	#1990	C₂²	1	4	yes	—
31	#1990	C₂²	1	4	yes	—
32	#1949	C₂²	1	16	yes	—
33	#1948	C₂²	1	16	yes	—
34	#1943	C₂²	1	8	yes	—
35	#1941	C₂²	1	8	yes	—
36	#1845	C₂²	1	2	yes	—
37	#1844	C₂²	1	2	yes	—
38	#1809	C₂²	1	8	yes	—
39	#1807	C₂²	1	8	yes	—
40	#1768	C₂²	1	4	yes	—
41	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
42	#1729	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
49	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
50	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	#498	—	4	4	no	—
54	#498	—	4	4	no	—
55	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
56	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
57	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
58	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
59	#424	Q₈	1	16	yes	complemented
60	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
61	C₄×M₁₆	—	4	2	no	—
62	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×C₄×C₈	—	4	2	no	—
64	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
67	#400	—	2	8	no	—
68	#398	—	2	8	no	—
69	#398	—	2	8	no	—
70	#396	—	2	8	no	—
71	#391	—	2	4	no	—
72	#391	—	2	4	no	—
73	#389	—	2	4	no	—
74	#389	—	2	4	no	—
75	#389	—	2	4	no	—
76	#389	—	2	4	no	—
77	#389	—	2	8	no	—
78	#389	C₂³	1	8	yes	—
79	#389	C₂³	1	8	yes	—
80	#388	—	2	8	no	—
81	#387	—	2	8	no	—
82	#387	—	2	8	no	—
83	#384	—	2	4	no	—
84	#384	C₂³	1	4	yes	—
85	#384	C₂³	1	4	yes	—
86	#384	C₂³	1	4	yes	—
87	#382	C₂³	1	4	yes	—
88	#380	—	2	4	no	—
89	#380	C₂³	1	8	yes	—
90	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
91	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
92	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
93	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
94	#376	C₂³	1	2	yes	—
95	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
96	#340	C₂³	1	16	yes	—
97	#340	C₂³	1	16	yes	—
98	#336	C₂³	1	8	yes	—
99	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
100	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
102	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
103	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
104	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
105	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
106	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
107	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
108	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
109	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
110	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
111	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
112	C₄⋊Q₈	—	8	8	no	—
113	#125	—	4	8	no	—
114	C₂²⋊Q₈	—	8	8	no	—
115	C₄×Q₈	—	8	8	no	—
116	#117	—	4	2	no	—
117	#117	C₂×Q₈	1	8	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
136	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
137	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
143	#107	—	4	8	no	—
144	#106	—	4	8	no	—
145	#106	—	4	8	no	—
146	#106	—	4	8	no	—
147	C₄⋊C₈	C₂×Q₈	1	32	yes	—
148	#97	—	4	2	no	—
149	C₄×C₈	—	2	4	no	—
150	C₄×C₈	—	2	4	no	—
151	C₄×C₈	—	4	2	no	—
152	#95	—	2	8	no	—
153	#95	—	2	8	no	—
154	#95	—	2	8	no	—
155	#95	—	2	8	no	—
156	#95	—	2	8	no	—
157	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
158	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
159	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
161	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
162	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
170	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
177	M₁₆	—	4	8	no	—
178	C₂×C₈	—	2	4	no	—
179	C₂×C₈	—	2	4	no	—
180	C₂×C₈	—	2	4	no	—
181	C₂×C₈	—	2	4	no	—
182	C₂×C₈	—	4	8	no	—
183	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
184	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
185	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
186	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
187	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
188	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
189	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
190	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
191	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
192	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
193	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
194	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
195	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
196	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
197	C₄⋊C₄	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
198	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
199	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
200	C₂²⋊C₄	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
201	C₄²	—	2	4	no	—
202	C₄²	—	2	8	no	—
203	C₄²	—	2	8	no	—
204	C₄²	—	2	1	no	—
205	C₄²	—	2	1	no	—
206	C₄²	—	2	4	no	—
207	C₄²	—	8	8	no	—
208	C₄²	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
209	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
210	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
211	C₂³	—	2	1	no	—
212	C₂³	—	2	1	no	—
213	C₂³	—	2	4	no	—
214	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
215	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
216	Q₈	—	8	16	no	—
217	C₂×C₄	—	2	1	no	—
218	C₂×C₄	—	2	1	no	—
219	C₂×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂×C₄	—	4	8	no	—
229	C₂×C₄	—	4	8	no	—
230	C₂×C₄	—	4	8	no	—
231	C₂×C₄	—	4	8	no	—
232	C₂×C₄	—	4	8	no	—
233	C₂×C₄	—	4	8	no	—
234	C₂×C₄	—	4	8	no	—
235	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
236	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
237	C₂×C₄	#537	1	4	yes	—
238	C₂×C₄	#577	1	8	yes	—
239	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	2	yes	—
240	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
241	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
242	C₂×C₄	#585	1	2	yes	—
243	C₈	—	2	8	no	—
244	C₈	—	2	8	no	—
245	C₂²	—	2	2	no	—
246	C₂²	—	2	4	no	—
247	C₂²	—	4	2	no	—
248	C₂²	—	4	2	no	—
249	C₂²	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
250	C₂²	C₂×#537	1	1	yes	characteristic
251	C₂²	#3449	1	1	yes	characteristic
252	C₂²	C₂×#577	1	4	yes	—
253	C₄	—	2	2	no	—
254	C₄	—	2	8	no	—
255	C₄	—	4	4	no	—
256	C₄	—	4	2	no	—
257	C₄	—	8	8	no	—
258	C₄	—	8	8	no	—
259	C₄	#3260	1	8	yes	—
260	C₄	#3501	1	2	yes	—
261	C₄	#3502	1	2	yes	—
262	C₂	—	4	2	no	—
263	C₂	#35173	1	1	yes	characteristic
264	C₂	#60665	1	2	yes	—
265	C₂	C₂×#3260	1	2	yes	—
266	C₂	#61015	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #29327	C₂	semidirect
6. #29207	C₂	semidirect
7. #28687	C₂	semidirect
59. #424	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#35284	2
#33210	2
#33207	2
#30303	2
#29327	2
#29207	2
#28687	2
#21967	2
C₄×#424	2