Subgroups — #6484631

Order 512.

2052 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 410 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3169	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×C₈×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#35249	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#33129	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#29772	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#28736	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#28676	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#28640	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#28267	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#28188	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#21888	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#20818	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#3169	—	2	8	no	—
16	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#466	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#466	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₈×Q₈	—	2	8	no	—
22	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#2854	C₂²	1	8	yes	—
33	#2632	—	2	4	no	—
34	#2580	C₂²	1	8	yes	—
35	#2567	C₂²	1	4	yes	—
36	#2548	C₂²	1	4	yes	—
37	#2501	—	2	2	no	—
38	#2436	—	2	2	no	—
39	#2406	—	2	4	no	—
40	#2326	—	2	4	no	—
41	#2283	C₂²	1	2	yes	—
42	#2087	C₂²	1	8	yes	—
43	#2065	C₂²	1	16	yes	—
44	#2054	C₂²	1	8	yes	—
45	#1987	C₂²	1	4	yes	—
46	#1982	C₂²	1	4	yes	—
47	#1970	C₂²	1	8	yes	—
48	#1942	C₂²	1	8	yes	—
49	#1934	C₂²	1	16	yes	—
50	#1893	C₂²	1	8	yes	—
51	#1846	C₂²	1	2	yes	—
52	#1835	C₂²	1	2	yes	—
53	#1808	C₂²	1	2	yes	—
54	#1807	C₂²	1	2	yes	—
55	#1804	C₂²	1	8	yes	—
56	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
57	C₄×#106	C₂²	1	2	yes	—
58	C₂²×#41	—	2	2	no	—
59	C₂³×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#532	—	2	8	no	—
66	#532	—	2	8	no	—
67	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×#124	—	2	4	no	—
70	C₂×#124	—	2	2	no	—
71	C₂×#123	—	2	8	no	—
72	C₂×#121	—	2	2	no	—
73	C₂×#121	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
75	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
76	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
77	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#500	—	2	4	no	—
87	#493	—	2	4	no	—
88	#486	—	2	8	no	—
89	#466	—	2	8	no	—
90	#466	—	2	8	no	—
91	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
92	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
93	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
94	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
95	C₄×D₈	—	2	8	no	—
96	C₄×D₈	—	2	8	no	—
97	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
102	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
103	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
110	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
111	C₂×C₄×C₈	D₄	1	8	yes	—
112	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
113	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
115	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
118	#399	—	2	8	no	—
119	#395	—	2	8	no	—
120	#394	—	2	8	no	—
121	#393	—	2	8	no	—
122	#391	—	2	4	no	—
123	#390	—	2	4	no	—
124	#390	C₂³	1	16	yes	—
125	#389	C₂³	1	16	yes	—
126	#388	—	2	16	no	—
127	#386	—	2	8	no	—
128	#385	—	2	16	no	—
129	#384	—	2	4	no	—
130	#383	—	2	2	no	—
131	#382	C₂³	1	4	yes	—
132	#381	—	2	2	no	—
133	#380	C₂³	1	4	yes	—
134	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
135	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
136	#376	—	2	2	no	—
137	#340	C₂³	1	4	yes	—
138	#340	C₂³	1	16	yes	—
139	#340	C₂³	1	4	yes	—
140	C₂×#41	—	4	8	no	—
141	C₂×#41	—	8	8	no	—
142	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
143	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
144	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
145	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
148	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
149	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
150	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
151	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
152	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
157	C₂×D₈	—	2	4	no	—
158	C₂×D₈	—	2	4	no	—
159	C₂×D₈	—	2	8	no	—
160	C₂×D₈	—	4	4	no	—
161	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
164	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
165	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
166	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
167	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
168	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
172	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
173	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
174	#127	—	2	4	no	—
175	#127	—	2	4	no	—
176	#124	—	4	16	no	—
177	#124	—	4	8	no	—
178	#123	—	8	16	no	—
179	#121	—	2	8	no	—
180	#121	—	2	8	no	—
181	#121	—	4	8	no	—
182	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
183	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
184	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
185	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
186	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
187	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
188	C₄×D₄	—	2	8	no	—
189	C₄×D₄	—	2	8	no	—
190	C₄×D₄	—	4	8	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
197	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
198	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
199	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
200	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
203	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
205	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
206	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
207	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
208	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
209	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
210	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
213	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
214	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
215	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
216	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
217	#107	—	2	4	no	—
218	#107	—	2	4	no	—
219	#107	—	2	8	no	—
220	#106	—	4	4	no	—
221	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
222	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
223	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
224	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
225	#102	—	2	8	no	—
226	#102	—	2	8	no	—
227	#102	—	4	16	no	—
228	C₄×C₈	—	2	8	no	—
229	C₄×C₈	—	2	8	no	—
230	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
231	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
232	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
233	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
234	#95	—	2	4	no	—
235	#95	—	2	4	no	—
236	#95	—	2	4	no	—
237	#95	—	2	4	no	—
238	#95	—	2	16	no	—
239	C₂⁴	—	2	4	no	—
240	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
241	#41	—	8	32	no	—
242	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
243	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
244	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
245	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
246	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
247	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
248	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
249	C₂×Q₈	#135	1	8	yes	—
250	C₂×D₄	—	2	4	no	—
251	C₂×D₄	—	2	4	no	—
252	C₂×D₄	—	2	8	no	—
253	C₂×D₄	—	2	8	no	—
254	C₂×D₄	—	4	8	no	—
255	C₂×D₄	—	4	16	no	—
256	C₂×D₄	—	4	4	no	—
257	C₂×D₄	—	4	4	no	—
258	C₂×D₄	—	4	8	no	—
259	C₂×D₄	—	8	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
271	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
272	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
273	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
276	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
281	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
283	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
284	D₈	—	4	8	no	—
285	D₈	—	4	8	no	—
286	C₂×C₈	—	2	2	no	—
287	C₂×C₈	—	2	2	no	—
288	C₂×C₈	—	2	2	no	—
289	C₂×C₈	—	2	8	no	—
290	C₂×C₈	—	2	4	no	—
291	C₂×C₈	—	2	8	no	—
292	C₂×C₈	—	4	4	no	—
293	C₂×C₈	—	4	8	no	—
294	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
295	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
296	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
297	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
298	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
299	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
304	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
305	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
306	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
308	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
314	C₄²	—	2	8	no	—
315	C₄²	—	2	4	no	—
316	C₄²	—	2	4	no	—
317	C₄²	—	4	8	no	—
318	C₄²	#121	1	4	yes	—
319	C₄²	#121	1	4	yes	—
320	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
321	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
322	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
323	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
324	C₂³	—	2	2	no	—
325	C₂³	—	2	2	no	—
326	C₂³	—	4	4	no	—
327	C₂³	—	4	8	no	—
328	C₂³	—	4	8	no	—
329	C₂³	—	4	8	no	—
330	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
331	C₂³	#576	1	4	yes	—
332	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
333	Q₈	—	2	16	no	—
334	Q₈	—	2	16	no	—
335	Q₈	—	8	8	no	—
336	D₄	—	4	4	no	—
337	D₄	—	4	4	no	—
338	D₄	—	4	8	no	—
339	D₄	—	8	8	no	—
340	D₄	—	8	16	no	—
341	D₄	—	8	8	no	—
342	C₂×C₄	—	2	16	no	—
343	C₂×C₄	—	2	4	no	—
344	C₂×C₄	—	2	2	no	—
345	C₂×C₄	—	2	8	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	4	no	—
348	C₂×C₄	—	2	2	no	—
349	C₂×C₄	—	2	2	no	—
350	C₂×C₄	—	2	2	no	—
351	C₂×C₄	—	2	2	no	—
352	C₂×C₄	—	2	4	no	—
353	C₂×C₄	—	2	8	no	—
354	C₂×C₄	—	2	4	no	—
355	C₂×C₄	—	2	8	no	—
356	C₂×C₄	—	4	8	no	—
357	C₂×C₄	—	4	4	no	—
358	C₂×C₄	—	4	8	no	—
359	C₂×C₄	—	4	8	no	—
360	C₂×C₄	—	4	8	no	—
361	C₂×C₄	—	4	8	no	—
362	C₂×C₄	—	8	16	no	—
363	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	C₂×#135	1	8	yes	—
369	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
370	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	#585	1	2	yes	—
374	C₈	—	2	2	no	—
375	C₈	—	2	2	no	—
376	C₈	—	2	2	no	—
377	C₈	—	4	4	no	—
378	C₈	#536	1	4	yes	—
379	C₂²	—	2	2	no	—
380	C₂²	—	2	2	no	—
381	C₂²	—	2	8	no	—
382	C₂²	—	8	4	no	—
383	C₂²	—	8	4	no	—
384	C₂²	—	8	4	no	—
385	C₂²	—	8	16	no	—
386	C₂²	#3058	1	4	yes	—
387	C₂²	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
388	C₂²	#3497	1	2	yes	—
389	C₂²	C₂²×#135	1	2	yes	—
390	C₂²	C₂×#576	1	2	yes	—
391	C₄	—	2	2	no	—
392	C₄	—	2	8	no	—
393	C₄	—	2	2	no	—
394	C₄	—	2	2	no	—
395	C₄	—	2	2	no	—
396	C₄	—	4	4	no	—
397	C₄	—	8	4	no	—
398	C₄	—	8	8	no	—
399	C₄	#3050	1	4	yes	—
400	C₄	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
401	C₄	#3449	1	1	yes	characteristic
402	C₄	#3507	1	2	yes	—
403	C₂	—	2	4	no	—
404	C₂	—	16	4	no	—
405	C₂	#35178	1	1	yes	characteristic
406	C₂	C₂×#3050	1	1	yes	characteristic
407	C₂	C₂×#3058	1	1	yes	characteristic
408	C₂	#62363	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#3169	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×C₈×Q₈	C₂	semidirect
3. #35249	C₂	semidirect
4. #33129	C₂	semidirect
5. #29772	C₂	semidirect
6. #28736	C₂	semidirect
7. #28676	C₂	semidirect
8. #28640	C₂	semidirect
9. #28267	C₂	semidirect
10. #28188	C₂	semidirect
11. #21888	C₂	semidirect
12. #20818	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3169	2
C₂²×C₈×Q₈	2
#35249	2
#33129	2
#29772	2
#28736	2
#28676	2
#28640	2
#28267	2
#28188	2
#21888	2
#20818	2