Subgroups — #6484665

Order 512.

1926 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 417 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3169	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2960	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#37640	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#33138	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#29778	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#28736	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#28676	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#28645	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#28263	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#28194	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#21893	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#20817	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
15	#3169	—	2	8	no	—
16	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#466	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#466	C₂²	1	2	yes	—
21	#2960	—	2	8	no	—
22	C₂×#446	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#446	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#2820	—	2	4	no	—
33	#2624	C₂²	1	8	yes	—
34	#2620	—	2	4	no	—
35	#2616	—	2	4	no	—
36	#2567	C₂²	1	4	yes	—
37	#2548	C₂²	1	4	yes	—
38	#2547	—	2	2	no	—
39	#2542	—	2	2	no	—
40	#2538	C₂²	1	8	yes	—
41	#2285	C₂²	1	2	yes	—
42	#2087	C₂²	1	8	yes	—
43	#2067	C₂²	1	16	yes	—
44	#2054	C₂²	1	8	yes	—
45	#1987	C₂²	1	4	yes	—
46	#1982	C₂²	1	4	yes	—
47	#1970	C₂²	1	8	yes	—
48	#1942	C₂²	1	8	yes	—
49	#1936	C₂²	1	16	yes	—
50	#1895	C₂²	1	8	yes	—
51	#1845	C₂²	1	2	yes	—
52	#1834	C₂²	1	2	yes	—
53	#1808	C₂²	1	2	yes	—
54	#1808	C₂²	1	2	yes	—
55	#1802	C₂²	1	8	yes	—
56	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
57	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
58	C₂²×#41	—	2	2	no	—
59	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#533	—	2	4	no	—
65	#533	—	2	4	no	—
66	#532	—	2	8	no	—
67	#532	—	2	8	no	—
68	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×#125	D₄	1	2	yes	—
73	C₂×#124	—	2	4	no	—
74	C₂×#124	—	2	2	no	—
75	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
76	C₂×C₂²⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
77	C₂×C₂²⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
78	C₂×#121	—	2	2	no	—
79	C₂×#121	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×#117	—	2	2	no	—
85	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	#500	—	2	4	no	—
88	#493	—	2	4	no	—
89	#486	—	2	8	no	—
90	#466	—	2	8	no	—
91	#466	—	2	8	no	—
92	#446	—	2	8	no	—
93	#446	—	2	8	no	—
94	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
95	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
96	C₄×D₈	—	2	8	no	—
97	C₄×D₈	—	2	8	no	—
98	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
102	#424	—	2	8	no	—
103	#423	—	2	4	no	—
104	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×#102	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
111	#405	—	2	8	no	—
112	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
113	C₂×C₄×C₈	D₄	1	8	yes	—
114	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
115	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
118	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
119	#399	—	2	8	no	—
120	#397	—	2	8	no	—
121	#396	—	2	16	no	—
122	#395	—	2	8	no	—
123	#394	—	2	8	no	—
124	#394	—	2	16	no	—
125	#391	—	2	4	no	—
126	#390	—	2	4	no	—
127	#390	C₂³	1	16	yes	—
128	#389	C₂³	1	16	yes	—
129	#384	—	2	4	no	—
130	#384	C₂³	1	4	yes	—
131	#382	—	2	2	no	—
132	#380	—	2	2	no	—
133	#380	—	2	8	no	—
134	#380	C₂³	1	4	yes	—
135	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
137	#340	C₂³	1	4	yes	—
138	#340	C₂³	1	16	yes	—
139	#340	C₂³	1	4	yes	—
140	C₂×#41	—	4	8	no	—
141	C₂×#41	—	8	8	no	—
142	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
146	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
147	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
148	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
149	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
150	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
153	C₂×D₈	—	2	4	no	—
154	C₂×D₈	—	2	4	no	—
155	C₂×D₈	—	2	8	no	—
156	C₂×D₈	—	4	4	no	—
157	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
158	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
159	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
161	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
162	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
163	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
164	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
168	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
169	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
170	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
171	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
172	#127	—	2	4	no	—
173	#127	—	2	4	no	—
174	#125	—	2	8	no	—
175	#124	—	4	8	no	—
176	#124	—	8	8	no	—
177	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
178	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
179	C₂²⋊Q₈	—	8	16	no	—
180	#121	—	2	8	no	—
181	#121	—	2	8	no	—
182	#121	—	4	8	no	—
183	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
184	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
185	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
186	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
187	C₄×D₄	—	2	8	no	—
188	C₄×D₄	—	2	8	no	—
189	C₄×D₄	—	4	8	no	—
190	#117	—	2	4	no	—
191	#117	—	2	4	no	—
192	#117	—	8	4	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
198	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
199	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
200	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
201	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
202	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
204	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
205	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
206	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
211	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
212	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
215	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
216	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
217	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
219	#107	—	2	4	no	—
220	#107	—	2	4	no	—
221	#107	—	2	8	no	—
222	#107	—	4	4	no	—
223	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
224	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
225	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
226	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
227	#102	—	2	8	no	—
228	#102	—	2	8	no	—
229	#102	—	4	16	no	—
230	#97	—	2	8	no	—
231	C₄×C₈	—	2	8	no	—
232	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
233	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
234	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
235	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
236	#95	—	2	4	no	—
237	#95	—	2	4	no	—
238	#95	—	2	16	no	—
239	C₂⁴	—	2	4	no	—
240	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
241	#41	—	8	32	no	—
242	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
243	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
244	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
245	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
246	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
247	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
248	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
249	C₂×D₄	—	2	4	no	—
250	C₂×D₄	—	2	4	no	—
251	C₂×D₄	—	2	8	no	—
252	C₂×D₄	—	2	8	no	—
253	C₂×D₄	—	4	8	no	—
254	C₂×D₄	—	4	4	no	—
255	C₂×D₄	—	4	4	no	—
256	C₂×D₄	—	4	4	no	—
257	C₂×D₄	—	4	4	no	—
258	C₂×D₄	—	8	4	no	—
259	C₂×D₄	—	8	8	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
269	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
270	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
276	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
281	D₈	—	4	8	no	—
282	D₈	—	4	8	no	—
283	M₁₆	—	4	8	no	—
284	C₂×C₈	—	2	2	no	—
285	C₂×C₈	—	2	2	no	—
286	C₂×C₈	—	2	2	no	—
287	C₂×C₈	—	2	8	no	—
288	C₂×C₈	—	2	4	no	—
289	C₂×C₈	—	2	8	no	—
290	C₂×C₈	—	4	4	no	—
291	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
292	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
293	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
294	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
295	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
296	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
304	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
305	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
308	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
309	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
316	C₄²	—	2	4	no	—
317	C₄²	—	2	4	no	—
318	C₄²	—	4	8	no	—
319	C₄²	#121	1	4	yes	—
320	C₄²	#121	1	4	yes	—
321	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
322	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
323	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
324	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
325	C₂³	—	2	2	no	—
326	C₂³	—	2	1	no	—
327	C₂³	—	2	2	no	—
328	C₂³	—	2	1	no	—
329	C₂³	—	4	4	no	—
330	C₂³	—	4	8	no	—
331	C₂³	—	4	4	no	—
332	C₂³	—	4	8	no	—
333	C₂³	—	4	4	no	—
334	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
335	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
336	Q₈	—	4	8	no	—
337	Q₈	—	4	8	no	—
338	Q₈	—	8	8	no	—
339	D₄	—	4	4	no	—
340	D₄	—	4	4	no	—
341	D₄	—	4	8	no	—
342	D₄	—	8	8	no	—
343	D₄	—	8	16	no	—
344	D₄	—	8	8	no	—
345	C₂×C₄	—	2	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	1	no	—
347	C₂×C₄	—	2	2	no	—
348	C₂×C₄	—	2	1	no	—
349	C₂×C₄	—	2	2	no	—
350	C₂×C₄	—	2	2	no	—
351	C₂×C₄	—	2	4	no	—
352	C₂×C₄	—	2	8	no	—
353	C₂×C₄	—	2	8	no	—
354	C₂×C₄	—	2	4	no	—
355	C₂×C₄	—	2	4	no	—
356	C₂×C₄	—	2	4	no	—
357	C₂×C₄	—	2	8	no	—
358	C₂×C₄	—	2	4	no	—
359	C₂×C₄	—	4	4	no	—
360	C₂×C₄	—	4	8	no	—
361	C₂×C₄	—	4	8	no	—
362	C₂×C₄	—	4	8	no	—
363	C₂×C₄	—	4	8	no	—
364	C₂×C₄	—	8	16	no	—
365	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	#576	1	4	yes	—
371	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	#585	1	2	yes	—
377	C₈	—	2	2	no	—
378	C₈	—	2	2	no	—
379	C₈	—	2	2	no	—
380	C₈	—	4	4	no	—
381	C₈	#536	1	4	yes	—
382	C₂²	—	2	2	no	—
383	C₂²	—	2	2	no	—
384	C₂²	—	2	2	no	—
385	C₂²	—	4	2	no	—
386	C₂²	—	4	2	no	—
387	C₂²	—	8	4	no	—
388	C₂²	—	8	4	no	—
389	C₂²	—	8	4	no	—
390	C₂²	—	8	8	no	—
391	C₂²	—	8	8	no	—
392	C₂²	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
393	C₂²	#3497	1	2	yes	—
394	C₂²	C₂×#576	1	2	yes	—
395	C₂²	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
396	C₂²	C₂×#578	1	1	yes	characteristic
397	C₄	—	2	2	no	—
398	C₄	—	2	2	no	—
399	C₄	—	2	2	no	—
400	C₄	—	4	4	no	—
401	C₄	—	4	4	no	—
402	C₄	—	8	4	no	—
403	C₄	—	8	8	no	—
404	C₄	#3058	1	4	yes	—
405	C₄	#3061	1	4	yes	—
406	C₄	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
407	C₄	#3449	1	1	yes	characteristic
408	C₄	#3507	1	2	yes	—
409	C₂	—	4	2	no	—
410	C₂	—	16	4	no	—
411	C₂	#35178	1	1	yes	characteristic
412	C₂	C₂×#3058	1	1	yes	characteristic
413	C₂	C₂×#3061	1	1	yes	characteristic
414	C₂	#62373	1	2	yes	—
415	C₂	#62375	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#3169	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#533 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2960	C₂	semidirect
3. #37640	C₂	semidirect
4. #33138	C₂	semidirect
5. #29778	C₂	semidirect
6. #28736	C₂	semidirect
7. #28676	C₂	semidirect
8. #28645	C₂	semidirect
9. #28263	C₂	semidirect
10. #28194	C₂	semidirect
11. #21893	C₂	semidirect
12. #20817	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3169	2
C₂×#2960	2
#37640	2
#33138	2
#29778	2
#28736	2
#28676	2
#28645	2
#28263	2
#28194	2
#21893	2
#20817	2