Subgroups — #6489142

Order 512.

2260 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 393 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#35278	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#34210	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#32911	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#30048	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#29143	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#28437	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#28165	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#27974	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#25721	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#23939	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#22269	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#20782	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂×#540	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#518	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#493	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#459	C₂²	1	8	yes	complemented
18	C₂×#447	C₂²	1	8	yes	—
19	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
20	#2859	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
21	#2856	C₂²	1	2	yes	—
22	#2641	C₂²	1	2	yes	complemented
23	#2619	C₂²	1	2	yes	—
24	#2445	—	2	4	no	—
25	#2428	—	2	4	no	—
26	#2366	—	2	4	no	—
27	D₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
28	#2328	C₂²	1	2	yes	—
29	#2328	C₂²	1	2	yes	—
30	#2328	C₂²	1	2	yes	complemented
31	#2309	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
33	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
34	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#2073	C₂²	1	8	yes	complemented
38	#2025	C₂²	1	8	yes	complemented
39	#2011	C₂²	1	8	yes	—
40	#2011	C₂²	1	8	yes	complemented
41	#1957	C₂²	1	4	yes	—
42	#1957	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#1879	C₂²	1	16	yes	complemented
44	#1879	C₂²	1	16	yes	complemented
45	#1875	C₂²	1	8	yes	—
46	#1840	C₂²	1	2	yes	complemented
47	#1834	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#1832	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#1818	C₂²	1	2	yes	—
50	#1804	C₂²	1	8	yes	complemented
51	#1798	C₂²	1	2	yes	—
52	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
53	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
54	#1744	C₂²	1	2	yes	complemented
55	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
56	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×D₈	C₂³	1	16	yes	—
58	#540	—	4	8	no	—
59	C₂×#127	—	2	8	no	—
60	C₂×#127	—	2	2	no	—
61	C₂×#127	—	2	4	no	—
62	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#123	—	2	4	no	—
69	C₂×#121	—	2	4	no	—
70	C₂×#121	—	2	4	no	—
71	C₂×#121	C₂³	1	4	yes	—
72	#518	—	4	8	no	—
73	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
74	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
75	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
76	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
77	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
84	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	#493	—	2	16	no	—
86	#459	—	4	16	no	—
87	#447	—	4	16	no	—
88	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
90	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
91	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
93	#394	—	2	4	no	—
94	#394	—	2	8	no	—
95	#392	—	2	4	no	—
96	#390	—	2	4	no	—
97	#390	—	2	4	no	—
98	#390	—	2	4	no	—
99	#390	—	2	4	no	—
100	#390	—	2	4	no	—
101	#390	C₂³	1	4	yes	—
102	#390	C₂³	1	4	yes	—
103	#390	C₂³	1	4	yes	—
104	#390	C₂³	1	4	yes	—
105	#389	—	2	4	no	—
106	#386	—	2	8	no	—
107	#386	—	2	8	no	—
108	#386	—	2	8	no	—
109	#384	C₂³	1	2	yes	—
110	#384	C₂³	1	2	yes	—
111	#382	C₂³	1	2	yes	—
112	#382	C₂³	1	2	yes	—
113	#380	—	2	2	no	—
114	#379	—	2	4	no	—
115	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
116	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
117	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
118	#376	C₂³	1	1	yes	characteristic
119	#376	C₂³	1	1	yes	characteristic
120	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
121	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	#340	C₂³	1	16	yes	—
123	#336	C₂³	1	4	yes	—
124	#336	C₂³	1	4	yes	—
125	#336	C₂³	1	4	yes	—
126	#336	C₂³	1	4	yes	—
127	C₂⁵	—	2	2	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
129	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
130	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
131	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
133	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
134	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
135	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
136	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
137	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
138	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
139	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
140	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
141	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
142	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
143	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
144	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
145	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
147	C₂×D₈	—	2	32	no	—
148	C₂×D₈	—	4	16	no	—
149	C₂×D₈	—	4	16	no	—
150	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
151	#127	—	2	16	no	—
152	#127	—	2	8	no	—
153	#127	—	2	4	no	—
154	#127	—	2	8	no	—
155	#127	—	2	8	no	—
156	#127	—	4	4	no	—
157	#127	—	8	8	no	—
158	#127	#41	1	8	yes	—
159	#125	—	4	4	no	—
160	#123	—	4	16	no	—
161	#121	—	2	16	no	—
162	#121	—	4	16	no	—
163	#121	—	8	8	no	—
164	C₄×D₄	—	2	16	no	—
165	C₄×D₄	—	4	8	no	—
166	C₄×D₄	—	4	8	no	—
167	C₄×D₄	—	4	16	no	—
168	C₄×D₄	—	8	8	no	—
169	C₄×D₄	—	8	8	no	—
170	C₄×D₄	—	8	8	no	—
171	#117	—	2	4	no	—
172	#117	—	2	4	no	—
173	#117	—	4	4	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
180	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
194	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
196	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
197	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
198	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
204	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
205	#102	—	4	16	no	—
206	#102	—	4	16	no	—
207	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
208	C₄×C₈	—	2	8	no	—
209	#95	—	2	4	no	—
210	#95	—	2	4	no	—
211	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
212	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
213	C₂⁴	—	2	8	no	—
214	C₂⁴	—	2	4	no	—
215	C₂⁴	—	2	4	no	—
216	C₂⁴	—	4	4	no	—
217	C₂⁴	—	4	4	no	—
218	C₂⁴	—	8	8	no	—
219	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂×D₄	—	2	8	no	—
221	C₂×D₄	—	2	16	no	—
222	C₂×D₄	—	2	16	no	—
223	C₂×D₄	—	2	4	no	—
224	C₂×D₄	—	2	8	no	—
225	C₂×D₄	—	2	8	no	—
226	C₂×D₄	—	2	8	no	—
227	C₂×D₄	—	2	8	no	—
228	C₂×D₄	—	2	8	no	—
229	C₂×D₄	—	4	32	no	—
230	C₂×D₄	—	4	4	no	—
231	C₂×D₄	—	4	8	no	—
232	C₂×D₄	—	4	8	no	—
233	C₂×D₄	—	4	8	no	—
234	C₂×D₄	—	4	4	no	—
235	C₂×D₄	—	4	8	no	—
236	C₂×D₄	—	4	8	no	—
237	C₂×D₄	—	4	8	no	—
238	C₂×D₄	—	4	8	no	—
239	C₂×D₄	—	4	8	no	—
240	C₂×D₄	—	8	8	no	—
241	C₂×D₄	—	8	8	no	—
242	C₂×D₄	—	8	8	no	—
243	C₂×D₄	—	8	32	no	—
244	C₂×D₄	—	8	8	no	—
245	C₂×D₄	C₂×#41	1	8	yes	—
246	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
255	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
256	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
257	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
267	D₈	—	8	32	no	—
268	C₂×C₈	—	2	8	no	—
269	C₂×C₈	—	2	8	no	—
270	C₂×C₈	—	2	8	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
289	C₄²	—	2	4	no	—
290	C₄²	—	2	8	no	—
291	C₄²	—	2	8	no	—
292	C₄²	—	2	2	no	—
293	C₄²	—	2	2	no	—
294	C₄²	—	2	2	no	—
295	C₄²	—	2	2	no	—
296	C₄²	—	4	4	no	—
297	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
298	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
299	C₂³	—	2	1	no	—
300	C₂³	—	2	1	no	—
301	C₂³	—	2	4	no	—
302	C₂³	—	2	8	no	—
303	C₂³	—	4	16	no	—
304	C₂³	—	4	4	no	—
305	C₂³	—	4	4	no	—
306	C₂³	—	4	8	no	—
307	C₂³	—	4	8	no	—
308	C₂³	—	4	4	no	—
309	C₂³	—	4	4	no	—
310	C₂³	—	4	4	no	—
311	C₂³	—	4	8	no	—
312	C₂³	—	4	8	no	—
313	C₂³	—	8	16	no	—
314	C₂³	—	16	8	no	—
315	C₂³	—	16	8	no	—
316	C₂³	#535	1	2	yes	—
317	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
318	D₄	—	2	16	no	—
319	D₄	—	4	16	no	—
320	D₄	—	4	32	no	—
321	D₄	—	4	8	no	—
322	D₄	—	4	16	no	—
323	D₄	—	8	16	no	—
324	D₄	—	8	16	no	—
325	D₄	—	16	8	no	—
326	D₄	—	16	8	no	—
327	D₄	—	16	8	no	—
328	C₂×C₄	—	2	1	no	—
329	C₂×C₄	—	2	1	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	2	8	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	4	no	—
338	C₂×C₄	—	2	4	no	—
339	C₂×C₄	—	2	4	no	—
340	C₂×C₄	—	4	8	no	—
341	C₂×C₄	—	4	4	no	—
342	C₂×C₄	—	4	4	no	—
343	C₂×C₄	—	4	8	no	—
344	C₂×C₄	—	4	8	no	—
345	C₂×C₄	—	16	8	no	—
346	C₂×C₄	—	16	8	no	—
347	C₂×C₄	—	16	8	no	—
348	C₂×C₄	#525	1	4	yes	—
349	C₂×C₄	#535	1	4	yes	—
350	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	#576	1	8	yes	—
352	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
355	C₈	—	4	8	no	—
356	C₂²	—	2	4	no	—
357	C₂²	—	2	2	no	—
358	C₂²	—	4	2	no	—
359	C₂²	—	4	2	no	—
360	C₂²	—	4	16	no	—
361	C₂²	—	4	8	no	—
362	C₂²	—	8	4	no	—
363	C₂²	—	8	4	no	—
364	C₂²	—	8	8	no	—
365	C₂²	—	8	8	no	—
366	C₂²	—	8	4	no	—
367	C₂²	—	8	4	no	—
368	C₂²	—	8	8	no	—
369	C₂²	—	8	4	no	—
370	C₂²	—	16	16	no	—
371	C₂²	C₂×#525	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	C₂×#576	1	4	yes	—
375	C₄	—	2	4	no	—
376	C₄	—	2	2	no	—
377	C₄	—	4	2	no	—
378	C₄	—	4	2	no	—
379	C₄	—	4	2	no	—
380	C₄	—	4	2	no	—
381	C₄	—	8	4	no	—
382	C₄	—	8	4	no	—
383	C₄	#3122	1	8	yes	—
384	C₄	#3519	1	4	yes	—
385	C₂	—	4	2	no	—
386	C₂	—	8	8	no	—
387	C₂	—	16	4	no	—
388	C₂	#35237	1	1	yes	characteristic
389	C₂	C₂×#3122	1	2	yes	—
390	C₂	#60817	1	2	yes	—
391	C₂	#60817	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #35278	C₂	semidirect
2. #34210	C₂	semidirect
3. #32911	C₂	semidirect
4. #30048	C₂	semidirect
5. #29143	C₂	semidirect
6. #28437	C₂	semidirect
7. #28165	C₂	semidirect
8. #27974	C₂	semidirect
9. #25721	C₂	semidirect
10. #23939	C₂	semidirect
11. #22269	C₂	semidirect
12. #20782	C₂	semidirect
17. C₂×#459	C₂²	semidirect
19. #2867	C₂²	semidirect
20. #2859	C₂²	semidirect
22. #2641	C₂²	semidirect
30. #2328	C₂²	semidirect
34. C₄×#127	C₂²	semidirect
37. #2073	C₂²	semidirect
38. #2025	C₂²	semidirect
40. #2011	C₂²	semidirect
42. #1957	C₂²	semidirect
43. #1879	C₂²	semidirect
44. #1879	C₂²	semidirect
46. #1840	C₂²	semidirect
47. #1834	C₂²	semidirect
48. #1832	C₂²	semidirect
50. #1804	C₂²	semidirect
52. C₄×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
54. #1744	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#35278	2
#34210	2
#32911	2
#30048	2
#29143	2
#28437	2
#28165	2
#27974	2
#25721	2
#23939	2
#22269	2
#20782	2