Subgroups — #6489143

Order 512.

2080 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 370 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#35319	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#34210	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#32914	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#30049	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#29143	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#28438	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#28166	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#27975	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#25717	C₂	1	2	yes	maximal
10	#23942	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#22268	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#20782	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂×#541	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#518	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#492	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#461	C₂²	1	8	yes	complemented
18	C₂×#450	C₂²	1	8	yes	—
19	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
20	#2859	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
21	#2857	C₂²	1	2	yes	—
22	#2642	C₂²	1	2	yes	complemented
23	#2621	C₂²	1	2	yes	—
24	#2506	—	2	4	no	—
25	#2496	—	2	4	no	—
26	#2366	—	2	4	no	—
27	D₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
28	#2328	C₂²	1	2	yes	—
29	#2328	C₂²	1	2	yes	—
30	#2327	C₂²	1	2	yes	complemented
31	#2309	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
33	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
34	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
35	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#2074	C₂²	1	8	yes	complemented
38	#2025	C₂²	1	8	yes	complemented
39	#2014	C₂²	1	8	yes	—
40	#2013	C₂²	1	8	yes	complemented
41	#1957	C₂²	1	4	yes	—
42	#1956	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#1880	C₂²	1	16	yes	complemented
44	#1877	C₂²	1	16	yes	complemented
45	#1873	C₂²	1	8	yes	—
46	#1840	C₂²	1	2	yes	complemented
47	#1834	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#1832	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#1818	C₂²	1	2	yes	—
50	#1804	C₂²	1	8	yes	complemented
51	#1798	C₂²	1	2	yes	—
52	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
53	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
54	#1744	C₂²	1	2	yes	complemented
55	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
56	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	16	yes	—
58	#541	—	4	8	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×#127	—	2	8	no	—
63	C₂×#127	—	2	2	no	—
64	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×#126	—	2	4	no	—
67	C₂×#125	—	2	4	no	—
68	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
70	#518	—	4	8	no	—
71	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
74	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
75	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
81	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	#492	—	2	16	no	—
83	#461	—	4	16	no	—
84	#450	—	4	16	no	—
85	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
87	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
88	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
90	#400	—	2	8	no	—
91	#398	—	2	4	no	—
92	#397	—	2	4	no	—
93	#391	C₂³	1	4	yes	—
94	#391	C₂³	1	4	yes	—
95	#390	—	2	4	no	—
96	#390	—	2	4	no	—
97	#390	—	2	4	no	—
98	#390	C₂³	1	4	yes	—
99	#390	C₂³	1	4	yes	—
100	#389	—	2	4	no	—
101	#389	—	2	4	no	—
102	#389	—	2	4	no	—
103	#387	—	2	8	no	—
104	#386	—	2	8	no	—
105	#386	—	2	8	no	—
106	#384	—	2	4	no	—
107	#384	C₂³	1	2	yes	—
108	#384	C₂³	1	2	yes	—
109	#382	C₂³	1	2	yes	—
110	#382	C₂³	1	2	yes	—
111	#380	—	2	2	no	—
112	#380	—	2	4	no	—
113	#379	—	2	4	no	—
114	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
115	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
116	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
117	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
118	#376	C₂³	1	1	yes	characteristic
119	#376	C₂³	1	1	yes	characteristic
120	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
121	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	#340	C₂³	1	16	yes	—
123	#336	C₂³	1	4	yes	—
124	#336	C₂³	1	4	yes	—
125	#336	C₂³	1	4	yes	—
126	#336	C₂³	1	4	yes	—
127	C₂⁵	—	2	2	no	—
128	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
129	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
130	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
131	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
133	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
134	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
135	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
136	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
137	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
138	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
139	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
140	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
142	C₂×SD₁₆	—	2	32	no	—
143	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
144	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
145	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
149	#127	—	2	16	no	—
150	#127	—	2	8	no	—
151	#127	—	2	4	no	—
152	#127	#41	1	8	yes	—
153	#126	—	4	16	no	—
154	#125	—	4	4	no	—
155	#125	—	4	16	no	—
156	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
157	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
158	C₄×D₄	—	2	16	no	—
159	C₄×D₄	—	4	8	no	—
160	C₄×D₄	—	4	16	no	—
161	C₄×D₄	—	8	8	no	—
162	C₄×D₄	—	8	8	no	—
163	#117	—	2	4	no	—
164	#117	—	2	4	no	—
165	#117	—	4	4	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
199	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
200	#103	—	4	16	no	—
201	#102	—	4	16	no	—
202	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
203	C₄×C₈	—	2	8	no	—
204	#95	—	2	4	no	—
205	#95	—	2	8	no	—
206	#95	—	2	8	no	—
207	#95	—	2	4	no	—
208	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
209	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
210	C₂⁴	—	2	8	no	—
211	C₂⁴	—	2	4	no	—
212	C₂⁴	—	4	4	no	—
213	C₂⁴	—	4	4	no	—
214	C₂⁴	—	8	8	no	—
215	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
219	C₂×D₄	—	2	8	no	—
220	C₂×D₄	—	2	16	no	—
221	C₂×D₄	—	2	16	no	—
222	C₂×D₄	—	2	4	no	—
223	C₂×D₄	—	2	8	no	—
224	C₂×D₄	—	2	8	no	—
225	C₂×D₄	—	4	32	no	—
226	C₂×D₄	—	4	4	no	—
227	C₂×D₄	—	4	4	no	—
228	C₂×D₄	—	4	8	no	—
229	C₂×D₄	—	4	8	no	—
230	C₂×D₄	—	8	8	no	—
231	C₂×D₄	—	8	32	no	—
232	C₂×D₄	C₂×#41	1	8	yes	—
233	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
242	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
243	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
253	SD₁₆	—	8	32	no	—
254	C₂×C₈	—	2	8	no	—
255	C₂×C₈	—	2	8	no	—
256	C₂×C₈	—	2	8	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
277	C₄²	—	2	4	no	—
278	C₄²	—	2	8	no	—
279	C₄²	—	2	8	no	—
280	C₄²	—	2	2	no	—
281	C₄²	—	2	2	no	—
282	C₄²	—	2	2	no	—
283	C₄²	—	2	2	no	—
284	C₄²	—	4	4	no	—
285	C₄²	—	4	8	no	—
286	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
287	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
288	C₂³	—	2	1	no	—
289	C₂³	—	2	1	no	—
290	C₂³	—	2	4	no	—
291	C₂³	—	2	8	no	—
292	C₂³	—	4	16	no	—
293	C₂³	—	4	4	no	—
294	C₂³	—	4	4	no	—
295	C₂³	—	4	8	no	—
296	C₂³	—	4	8	no	—
297	C₂³	—	8	16	no	—
298	C₂³	—	16	8	no	—
299	C₂³	—	16	8	no	—
300	C₂³	#535	1	2	yes	—
301	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
302	Q₈	—	4	16	no	—
303	D₄	—	2	16	no	—
304	D₄	—	4	16	no	—
305	D₄	—	4	32	no	—
306	D₄	—	4	8	no	—
307	D₄	—	8	16	no	—
308	C₂×C₄	—	2	1	no	—
309	C₂×C₄	—	2	1	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	8	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	8	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	4	8	no	—
327	C₂×C₄	—	4	8	no	—
328	C₂×C₄	—	16	8	no	—
329	C₂×C₄	—	16	8	no	—
330	C₂×C₄	#525	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	#535	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#577	1	8	yes	—
334	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
337	C₈	—	4	8	no	—
338	C₂²	—	2	4	no	—
339	C₂²	—	2	2	no	—
340	C₂²	—	4	2	no	—
341	C₂²	—	4	2	no	—
342	C₂²	—	4	16	no	—
343	C₂²	—	4	8	no	—
344	C₂²	—	8	4	no	—
345	C₂²	—	8	4	no	—
346	C₂²	—	8	8	no	—
347	C₂²	—	16	16	no	—
348	C₂²	C₂×#525	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	C₂×#577	1	4	yes	—
352	C₄	—	2	4	no	—
353	C₄	—	2	2	no	—
354	C₄	—	4	2	no	—
355	C₄	—	4	2	no	—
356	C₄	—	4	2	no	—
357	C₄	—	4	2	no	—
358	C₄	—	8	4	no	—
359	C₄	—	8	4	no	—
360	C₄	—	8	4	no	—
361	C₄	#3123	1	8	yes	—
362	C₄	#3519	1	4	yes	—
363	C₂	—	4	2	no	—
364	C₂	—	8	8	no	—
365	C₂	#35237	1	1	yes	characteristic
366	C₂	C₂×#3123	1	2	yes	—
367	C₂	#60818	1	2	yes	—
368	C₂	#60820	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #35319	C₂	semidirect
3. #32914	C₂	semidirect
4. #30049	C₂	semidirect
5. #29143	C₂	semidirect
6. #28438	C₂	semidirect
7. #28166	C₂	semidirect
8. #27975	C₂	semidirect
10. #23942	C₂	semidirect
11. #22268	C₂	semidirect
12. #20782	C₂	semidirect
17. C₂×#461	C₂²	semidirect
19. #2868	C₂²	semidirect
20. #2859	C₂²	semidirect
22. #2642	C₂²	semidirect
30. #2327	C₂²	semidirect
32. C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
37. #2074	C₂²	semidirect
38. #2025	C₂²	semidirect
40. #2013	C₂²	semidirect
42. #1956	C₂²	semidirect
43. #1880	C₂²	semidirect
44. #1877	C₂²	semidirect
46. #1840	C₂²	semidirect
47. #1834	C₂²	semidirect
48. #1832	C₂²	semidirect
50. #1804	C₂²	semidirect
52. C₄×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
54. #1744	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#35319	2
#34210	2
#32914	2
#30049	2
#29143	2
#28438	2
#28166	2
#27975	2
#25717	2
#23942	2
#22268	2
#20782	2