Subgroups — #6489377

Order 512.

1844 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 372 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#35336	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#34210	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#32966	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#30084	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#28724	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#28516	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#28214	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#27954	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#27594	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#25860	C₂	1	2	yes	maximal
11	#22226	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#20783	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#518	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#490	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#478	C₂²	1	8	yes	complemented
17	#2859	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
18	#2859	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
19	#2851	C₂²	1	2	yes	—
20	#2647	C₂²	1	2	yes	complemented
21	#2629	C₂²	1	2	yes	—
22	#2590	—	2	4	no	—
23	#2587	—	2	4	no	—
24	#2366	—	2	4	no	—
25	D₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
26	#2330	C₂²	1	2	yes	complemented
27	#2328	C₂²	1	2	yes	—
28	#2328	C₂²	1	2	yes	—
29	#2314	C₂²	1	2	yes	—
30	#2309	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
33	C₄×#125	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#2094	C₂²	1	4	yes	complemented
37	#2093	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#2085	C₂²	1	8	yes	complemented
39	#2073	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#2073	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#2041	C₂²	1	8	yes	—
42	#1992	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#1961	C₂²	1	4	yes	—
44	#1926	C₂²	1	8	yes	complemented
45	#1925	C₂²	1	8	yes	complemented
46	#1864	C₂²	1	8	yes	complemented
47	#1862	C₂²	1	8	yes	complemented
48	#1854	C₂²	1	8	yes	—
49	#1847	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#1840	C₂²	1	2	yes	complemented
51	#1832	C₂²	1	2	yes	complemented
52	#1818	C₂²	1	2	yes	—
53	#1802	C₂²	1	8	yes	complemented
54	#1798	C₂²	1	2	yes	—
55	#1786	C₂²	1	8	yes	—
56	#1767	C₂²	1	2	yes	complemented
57	#1749	C₂²	1	2	yes	—
58	#1745	C₂²	1	2	yes	complemented
59	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
60	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#127	—	2	8	no	—
62	C₂×#127	—	2	2	no	—
63	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
67	#518	—	4	8	no	—
68	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
70	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
71	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
77	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	#490	—	2	16	no	—
79	#478	—	4	16	no	—
80	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
81	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
84	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
85	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
86	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
87	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
89	#400	—	2	4	no	—
90	#398	—	2	4	no	—
91	#398	—	2	4	no	—
92	#396	—	2	4	no	—
93	#390	—	2	4	no	—
94	#390	—	2	4	no	—
95	#390	—	2	4	no	—
96	#390	C₂³	1	4	yes	—
97	#390	C₂³	1	4	yes	—
98	#389	—	2	4	no	—
99	#389	—	2	4	no	—
100	#389	—	2	4	no	—
101	#389	C₂³	1	4	yes	—
102	#389	C₂³	1	4	yes	—
103	#388	—	2	4	no	—
104	#387	—	2	4	no	—
105	#387	—	2	4	no	—
106	#387	—	2	4	no	—
107	#387	—	2	4	no	—
108	#386	—	2	8	no	—
109	#386	—	2	8	no	—
110	#385	—	2	4	no	—
111	#384	C₂³	1	2	yes	—
112	#384	C₂³	1	2	yes	—
113	#384	C₂³	1	2	yes	—
114	#382	C₂³	1	2	yes	—
115	#382	C₂³	1	2	yes	—
116	#382	C₂³	1	2	yes	—
117	#380	—	2	2	no	—
118	#380	C₂³	1	4	yes	—
119	#379	—	2	4	no	—
120	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
121	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
122	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
123	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
124	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
125	#376	C₂³	1	1	yes	characteristic
126	#376	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
128	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
129	#340	C₂³	1	8	yes	—
130	#340	C₂³	1	8	yes	—
131	#336	C₂³	1	4	yes	—
132	#336	C₂³	1	4	yes	—
133	#336	C₂³	1	4	yes	—
134	#336	C₂³	1	4	yes	—
135	C₂⁵	—	2	2	no	—
136	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
137	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
138	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
139	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
140	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
141	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
142	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
143	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
144	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
145	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
146	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
147	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
150	#127	—	2	16	no	—
151	#127	—	2	8	no	—
152	#127	—	2	4	no	—
153	#127	#41	1	8	yes	—
154	#125	—	2	8	no	—
155	#125	—	2	8	no	—
156	C₄×D₄	—	2	16	no	—
157	C₄×D₄	—	4	8	no	—
158	C₄×D₄	—	4	16	no	—
159	C₄×D₄	—	8	8	no	—
160	C₄×D₄	—	8	8	no	—
161	#117	—	2	4	no	—
162	#117	—	2	4	no	—
163	#117	—	4	4	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
197	#107	—	4	8	no	—
198	#106	—	4	8	no	—
199	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
200	#102	—	2	16	no	—
201	#102	—	2	16	no	—
202	#102	—	4	8	no	—
203	#102	—	4	8	no	—
204	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
205	#97	—	2	8	no	—
206	#95	—	2	4	no	—
207	#95	—	2	4	no	—
208	#95	—	2	4	no	—
209	#95	—	2	4	no	—
210	#95	—	2	4	no	—
211	#95	—	2	4	no	—
212	#95	—	2	4	no	—
213	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
214	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
215	C₂⁴	—	2	8	no	—
216	C₂⁴	—	2	4	no	—
217	C₂⁴	—	4	4	no	—
218	C₂⁴	—	4	4	no	—
219	C₂⁴	—	8	8	no	—
220	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂×D₄	—	2	8	no	—
222	C₂×D₄	—	2	16	no	—
223	C₂×D₄	—	2	16	no	—
224	C₂×D₄	—	2	4	no	—
225	C₂×D₄	—	2	8	no	—
226	C₂×D₄	—	2	8	no	—
227	C₂×D₄	—	4	32	no	—
228	C₂×D₄	—	4	4	no	—
229	C₂×D₄	—	4	8	no	—
230	C₂×D₄	—	4	8	no	—
231	C₂×D₄	—	4	4	no	—
232	C₂×D₄	—	8	8	no	—
233	C₂×D₄	—	8	32	no	—
234	C₂×D₄	C₂×#41	1	8	yes	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
244	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
245	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
255	C₂×C₈	—	2	8	no	—
256	C₂×C₈	—	2	8	no	—
257	C₂×C₈	—	2	8	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
267	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
279	C₄²	—	2	4	no	—
280	C₄²	—	2	2	no	—
281	C₄²	—	2	2	no	—
282	C₄²	—	2	2	no	—
283	C₄²	—	2	2	no	—
284	C₄²	—	4	4	no	—
285	C₄²	—	4	4	no	—
286	C₄²	—	4	4	no	—
287	C₄²	—	8	4	no	—
288	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
289	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
290	C₂³	—	2	4	no	—
291	C₂³	—	2	1	no	—
292	C₂³	—	2	1	no	—
293	C₂³	—	2	8	no	—
294	C₂³	—	4	16	no	—
295	C₂³	—	4	8	no	—
296	C₂³	—	4	8	no	—
297	C₂³	—	4	4	no	—
298	C₂³	—	4	4	no	—
299	C₂³	—	8	16	no	—
300	C₂³	—	16	8	no	—
301	C₂³	—	16	8	no	—
302	C₂³	#536	1	2	yes	—
303	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
304	D₄	—	2	16	no	—
305	D₄	—	4	16	no	—
306	D₄	—	4	32	no	—
307	D₄	—	4	8	no	—
308	D₄	—	8	16	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	1	no	—
312	C₂×C₄	—	2	1	no	—
313	C₂×C₄	—	2	8	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	4	8	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	—	4	8	no	—
326	C₂×C₄	—	4	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	4	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	—	4	4	no	—
331	C₂×C₄	—	16	8	no	—
332	C₂×C₄	—	16	8	no	—
333	C₂×C₄	#525	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	#535	1	4	yes	—
335	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
339	C₈	—	4	8	no	—
340	C₂²	—	2	2	no	—
341	C₂²	—	2	4	no	—
342	C₂²	—	4	2	no	—
343	C₂²	—	4	2	no	—
344	C₂²	—	4	16	no	—
345	C₂²	—	4	8	no	—
346	C₂²	—	8	4	no	—
347	C₂²	—	8	4	no	—
348	C₂²	—	8	8	no	—
349	C₂²	—	16	16	no	—
350	C₂²	C₂×#525	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	#3585	1	4	yes	—
354	C₄	—	2	4	no	—
355	C₄	—	2	4	no	—
356	C₄	—	2	2	no	—
357	C₄	—	4	2	no	—
358	C₄	—	4	2	no	—
359	C₄	—	4	2	no	—
360	C₄	—	4	2	no	—
361	C₄	—	8	4	no	—
362	C₄	—	8	4	no	—
363	C₄	—	8	4	no	—
364	C₄	#3520	1	4	yes	—
365	C₂	—	4	2	no	—
366	C₂	—	8	8	no	—
367	C₂	#35240	1	1	yes	characteristic
368	C₂	#60564	1	2	yes	—
369	C₂	#60830	1	2	yes	—
370	C₂	#60883	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #35336	C₂	semidirect
3. #32966	C₂	semidirect
4. #30084	C₂	semidirect
5. #28724	C₂	semidirect
6. #28516	C₂	semidirect
7. #28214	C₂	semidirect
8. #27954	C₂	semidirect
9. #27594	C₂	semidirect
11. #22226	C₂	semidirect
12. #20783	C₂	semidirect
16. C₂×#478	C₂²	semidirect
17. #2859	C₂²	semidirect
18. #2859	C₂²	semidirect
20. #2647	C₂²	semidirect
26. #2330	C₂²	semidirect
33. C₄×#125	C₂²	semidirect
36. #2094	C₂²	semidirect
37. #2093	C₂²	semidirect
38. #2085	C₂²	semidirect
39. #2073	C₂²	semidirect
40. #2073	C₂²	semidirect
42. #1992	C₂²	semidirect
44. #1926	C₂²	semidirect
45. #1925	C₂²	semidirect
46. #1864	C₂²	semidirect
47. #1862	C₂²	semidirect
49. #1847	C₂²	semidirect
50. #1840	C₂²	semidirect
51. #1832	C₂²	semidirect
53. #1802	C₂²	semidirect
56. #1767	C₂²	semidirect
58. #1745	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#35336	2
#34210	2
#32966	2
#30084	2
#28724	2
#28516	2
#28214	2
#27954	2
#27594	2
#25860	2
#22226	2
#20783	2