Subgroups — #6494258

Order 512.

4066 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 374 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3205	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	#36644	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#2867	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#33301	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#33224	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#30258	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#28437	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	#25721	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	C₄×#431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#532	—	2	2	no	—
11	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×#127	—	2	2	no	—
13	C₂²×#127	—	2	2	no	—
14	C₂²×#127	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#127	C₂²	1	4	yes	—
16	#3205	—	2	32	no	—
17	C₂×#493	C₂²	1	8	yes	complemented
18	C₂×#493	C₂²	1	16	yes	complemented
19	C₂×#486	C₂²	1	8	yes	complemented
20	C₂×#459	C₂²	1	16	yes	complemented
21	C₂×#447	C₂²	1	16	yes	—
22	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
23	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
24	#2867	—	2	2	no	—
25	#2867	—	2	2	no	—
26	#2867	C₂²	1	4	yes	—
27	#2867	C₂²	1	2	yes	—
28	#2867	C₂²	1	2	yes	—
29	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
30	#2858	—	2	2	no	—
31	#2858	C₂²	1	2	yes	complemented
32	#2856	—	2	2	no	—
33	#2856	C₂²	1	4	yes	—
34	C₄×#127	—	2	2	no	—
35	C₄×#127	C₂²	1	4	yes	complemented
36	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#2011	C₂²	1	32	yes	complemented
38	#1957	C₂²	1	16	yes	complemented
39	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	complemented
40	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
41	#1744	C₂²	1	2	yes	complemented
42	C₄²×C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
43	C₂²×#41	—	2	2	no	—
44	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
45	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
46	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
47	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂²×D₈	C₂³	1	32	yes	—
49	#532	—	2	16	no	—
50	#532	—	4	16	no	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×#127	—	2	16	no	—
54	C₂×#127	—	2	2	no	—
55	C₂×#127	—	2	2	no	—
56	C₂×#127	—	2	8	no	—
57	C₂×#127	—	2	2	no	—
58	C₂×#127	—	2	2	no	—
59	C₂×#127	—	2	8	no	—
60	C₂×#127	—	2	4	no	—
61	C₂×#127	—	2	8	no	—
62	C₂×#127	—	2	4	no	—
63	C₂×#127	—	2	4	no	—
64	C₂×#127	—	2	4	no	—
65	C₂×#127	—	4	16	no	—
66	C₂×#127	—	4	16	no	—
67	C₂×#127	—	4	16	no	—
68	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂×#127	C₂³	1	8	yes	—
72	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂×#127	C₂³	1	8	yes	—
74	C₂×#124	—	2	2	no	—
75	C₂×#124	—	2	4	no	—
76	C₂×#121	—	2	2	no	—
77	C₂×#121	—	2	8	no	—
78	C₂×#121	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
81	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
84	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#493	—	2	32	no	—
87	#493	—	4	32	no	—
88	#486	—	2	32	no	—
89	#459	—	2	64	no	—
90	#447	—	2	64	no	—
91	#431	D₄	1	16	yes	complemented
92	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂×#102	C₂³	1	32	yes	—
94	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	8	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
97	#390	—	2	4	no	—
98	#390	—	2	8	no	—
99	#390	—	2	8	no	—
100	#390	C₂³	1	8	yes	—
101	#384	—	2	2	no	—
102	#384	C₂³	1	4	yes	—
103	C₄³	D₄	1	2	yes	—
104	C₄³	D₄	1	2	yes	—
105	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
106	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	#336	C₂³	1	8	yes	—
109	C₂⁵	—	2	4	no	—
110	C₂×#41	—	4	8	no	—
111	C₂×#41	—	4	16	no	—
112	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
125	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
126	C₂²×D₄	—	4	32	no	—
127	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
128	C₂²×D₄	—	4	32	no	—
129	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
130	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
131	C₂²×D₄	—	4	32	no	—
132	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
133	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
134	C₂²×D₄	C₂⁴	1	8	yes	—
135	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
136	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
140	C₂×D₈	—	2	64	no	—
141	C₂×D₈	—	4	64	no	—
142	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
143	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
144	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
145	#127	—	2	16	no	—
146	#127	—	2	16	no	—
147	#127	—	2	8	no	—
148	#127	—	2	32	no	—
149	#127	—	2	16	no	—
150	#127	—	4	16	no	—
151	#127	—	4	32	no	—
152	#127	—	4	16	no	—
153	#127	—	4	32	no	—
154	#127	—	4	8	no	—
155	#127	—	4	8	no	—
156	#127	—	4	32	no	—
157	#127	—	4	16	no	—
158	#127	—	4	16	no	—
159	#127	—	4	8	no	—
160	#127	—	4	8	no	—
161	#127	—	4	16	no	—
162	#124	—	4	8	no	—
163	#124	—	4	16	no	—
164	#121	—	2	16	no	—
165	#121	—	4	8	no	—
166	#121	—	4	32	no	—
167	C₄×D₄	—	2	16	no	—
168	C₄×D₄	—	4	8	no	—
169	C₄×D₄	—	4	32	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
178	C₂×C₄²	D₈	1	16	yes	complemented
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
193	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
194	#102	—	2	64	no	—
195	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
196	C₄×C₈	—	2	16	no	—
197	C₄×C₈	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
198	C₂⁴	—	2	4	no	—
199	C₂⁴	—	2	8	no	—
200	C₂⁴	—	4	16	no	—
201	C₂⁴	—	4	16	no	—
202	C₂⁴	—	4	8	no	—
203	C₂⁴	—	4	16	no	—
204	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
205	#41	—	8	32	no	—
206	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
207	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
208	C₂×D₄	—	2	16	no	—
209	C₂×D₄	—	2	8	no	—
210	C₂×D₄	—	2	32	no	—
211	C₂×D₄	—	2	16	no	—
212	C₂×D₄	—	4	32	no	—
213	C₂×D₄	—	4	16	no	—
214	C₂×D₄	—	4	32	no	—
215	C₂×D₄	—	4	16	no	—
216	C₂×D₄	—	4	8	no	—
217	C₂×D₄	—	4	16	no	—
218	C₂×D₄	—	4	4	no	—
219	C₂×D₄	—	4	4	no	—
220	C₂×D₄	—	4	8	no	—
221	C₂×D₄	—	4	8	no	—
222	C₂×D₄	—	4	8	no	—
223	C₂×D₄	—	4	8	no	—
224	C₂×D₄	—	4	8	no	—
225	C₂×D₄	—	4	32	no	—
226	C₂×D₄	—	4	16	no	—
227	C₂×D₄	—	4	16	no	—
228	C₂×D₄	—	4	8	no	—
229	C₂×D₄	—	4	32	no	—
230	C₂×D₄	—	4	16	no	—
231	C₂×D₄	—	4	16	no	—
232	C₂×D₄	—	4	32	no	—
233	C₂×D₄	—	4	16	no	—
234	C₂×D₄	—	4	32	no	—
235	C₂×D₄	—	4	8	no	—
236	C₂×D₄	—	4	16	no	—
237	C₂×D₄	—	8	32	no	—
238	C₂×D₄	—	8	32	no	—
239	C₂×D₄	—	8	128	no	—
240	C₂×D₄	—	8	32	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
248	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
249	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	16	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	8	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
261	D₈	—	8	64	no	—
262	C₂×C₈	—	2	16	no	—
263	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	16	yes	—
264	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
270	C₄²	—	2	8	no	—
271	C₄²	—	2	4	no	—
272	C₄²	—	2	8	no	—
273	C₄²	—	2	4	no	—
274	C₄²	#127	1	4	yes	—
275	C₄²	#127	1	4	yes	—
276	C₄²	C₂×D₈	1	16	yes	—
277	C₄²	C₂×D₈	1	8	yes	—
278	C₄²	C₂×D₈	1	8	yes	—
279	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
280	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
281	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
282	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	2	2	no	—
285	C₂³	—	4	4	no	—
286	C₂³	—	4	8	no	—
287	C₂³	—	4	16	no	—
288	C₂³	—	4	8	no	—
289	C₂³	—	4	8	no	—
290	C₂³	—	4	16	no	—
291	C₂³	—	4	16	no	—
292	C₂³	—	4	8	no	—
293	C₂³	—	8	64	no	—
294	C₂³	—	8	16	no	—
295	C₂³	—	8	16	no	—
296	C₂³	—	8	16	no	—
297	C₂³	C₂×#127	1	2	yes	—
298	C₂³	C₂²×D₈	1	4	yes	—
299	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
300	Q₈	—	8	8	no	—
301	D₄	—	4	16	no	—
302	D₄	—	4	32	no	—
303	D₄	—	8	64	no	—
304	D₄	—	8	16	no	—
305	D₄	—	8	16	no	—
306	D₄	—	8	16	no	—
307	D₄	—	8	16	no	—
308	D₄	—	8	16	no	—
309	D₄	—	8	8	no	—
310	D₄	—	8	8	no	—
311	D₄	—	8	16	no	—
312	D₄	—	8	32	no	—
313	D₄	—	8	64	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	8	no	—
319	C₂×C₄	—	2	32	no	—
320	C₂×C₄	—	2	8	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	8	no	—
323	C₂×C₄	—	8	16	no	—
324	C₂×C₄	#493	1	16	yes	complemented
325	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#535	1	8	yes	—
331	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	8	yes	—
332	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	8	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
337	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
339	C₈	—	2	16	no	—
340	C₂²	—	2	8	no	—
341	C₂²	—	2	2	no	—
342	C₂²	—	2	2	no	—
343	C₂²	—	8	32	no	—
344	C₂²	—	8	16	no	—
345	C₂²	—	8	8	no	—
346	C₂²	—	8	4	no	—
347	C₂²	—	8	4	no	—
348	C₂²	—	8	8	no	—
349	C₂²	—	8	8	no	—
350	C₂²	—	8	4	no	—
351	C₂²	—	16	32	no	—
352	C₂²	C₂×#493	1	4	yes	—
353	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	C₂×#535	1	2	yes	—
355	C₂²	C₂³×D₈	1	2	yes	—
356	C₂²	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
357	C₄	—	2	8	no	—
358	C₄	—	2	2	no	—
359	C₄	—	2	2	no	—
360	C₄	—	8	4	no	—
361	C₄	C₂×#493	1	4	yes	—
362	C₄	C₂×#493	1	4	yes	—
363	C₄	#3151	1	4	yes	—
364	C₄	#3205	1	16	yes	complemented
365	C₄	#3498	1	4	yes	—
366	C₂	—	2	4	no	—
367	C₂	—	16	4	no	—
368	C₂	—	16	8	no	—
369	C₂	#35274	1	1	yes	characteristic
370	C₂	C₂²×#493	1	1	yes	characteristic
371	C₂	C₂×#3151	1	1	yes	characteristic
372	C₂	C₂×#3205	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3205	C₂	semidirect
2. #36644	C₂	semidirect
3. C₂×#2867	C₂	semidirect
4. #33301	C₂	semidirect
5. #33224	C₂	semidirect
6. #30258	C₂	semidirect
7. #28437	C₂	semidirect
8. #25721	C₂	semidirect
9. C₄×#431	C₂	semidirect
17. C₂×#493	C₂²	semidirect
18. C₂×#493	C₂²	semidirect
19. C₂×#486	C₂²	semidirect
20. C₂×#459	C₂²	semidirect
23. #2868	C₂²	semidirect
29. #2867	C₂²	semidirect
31. #2858	C₂²	semidirect
35. C₄×#127	C₂²	semidirect
37. #2011	C₂²	semidirect
38. #1957	C₂²	semidirect
39. C₄×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
41. #1744	C₂²	semidirect
42. C₄²×C₈	C₂²	semidirect
91. #431	D₄	semidirect
178. C₂×C₄²	D₈	semidirect
193. C₄⋊C₈	C₂×D₄	semidirect
197. C₄×C₈	C₂×D₄	semidirect
324. C₂×C₄	#493	semidirect
364. C₄	#3205	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3205	2
#36644	2
C₂×#2867	2
#33301	2
#33224	2
#30258	2
#28437	2
#25721	2
C₄×#431	2