Subgroups — #6494268

Order 512.

2738 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 397 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3209	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#3208	C₂	1	2	yes	maximal
3	#36645	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#2858	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#33305	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#33238	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#30261	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#28451	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	#25730	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
10	#20463	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#124	C₂²	1	4	yes	—
15	#3209	—	2	16	no	—
16	#3208	—	2	16	no	—
17	C₂×#497	C₂²	1	16	yes	complemented
18	C₂×#494	C₂²	1	4	yes	complemented
19	C₂×#492	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#487	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₂×#486	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#462	C₂²	1	8	yes	complemented
23	C₂×#460	C₂²	1	8	yes	—
24	C₂×#451	C₂²	1	8	yes	—
25	C₂×#450	C₂²	1	8	yes	—
26	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
27	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
28	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
29	#2862	C₂²	1	2	yes	complemented
30	#2859	—	2	2	no	—
31	#2858	—	2	2	no	—
32	#2858	—	2	2	no	—
33	#2858	C₂²	1	2	yes	—
34	#2858	C₂²	1	4	yes	—
35	#2858	C₂²	1	2	yes	—
36	#2857	—	2	2	no	—
37	#2857	C₂²	1	4	yes	—
38	C₄×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
39	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
40	C₂×#390	—	2	2	no	—
41	C₂×#390	—	2	2	no	—
42	#2285	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#2015	C₂²	1	32	yes	complemented
45	#1959	C₂²	1	16	yes	complemented
46	#1767	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#1749	C₂²	1	4	yes	—
48	#1744	C₂²	1	2	yes	complemented
49	C₄×#97	C₂²	1	2	yes	complemented
50	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
52	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
53	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	16	yes	—
55	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	16	yes	—
56	#533	—	2	8	no	—
57	#533	—	2	8	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×#127	—	2	8	no	—
68	C₂×#127	—	2	1	no	—
69	C₂×#127	—	2	1	no	—
70	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×#125	—	2	2	no	—
73	C₂×#124	—	2	8	no	—
74	C₂×#124	—	4	16	no	—
75	C₂×#124	C₂³	1	8	yes	—
76	C₂×#124	C₂³	1	8	yes	—
77	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
78	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂×#117	—	2	2	no	—
82	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
83	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
84	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
85	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	#497	—	4	32	no	—
90	#494	—	2	16	no	—
91	#492	—	2	16	no	—
92	#487	—	2	16	no	—
93	#486	—	2	16	no	—
94	#462	—	2	32	no	—
95	#460	—	2	32	no	—
96	#451	—	2	32	no	—
97	#450	—	2	32	no	—
98	#431	D₄	1	16	yes	—
99	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
101	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
102	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂×#97	C₂³	1	8	yes	—
104	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
105	#391	—	2	4	no	—
106	#391	C₂³	1	8	yes	—
107	#390	—	2	4	no	—
108	#390	—	2	8	no	—
109	#390	—	2	4	no	—
110	#390	—	2	4	no	—
111	#390	—	2	4	no	—
112	#390	—	2	8	no	—
113	#389	—	2	8	no	—
114	#389	—	2	8	no	—
115	#384	—	2	2	no	—
116	#384	—	2	2	no	—
117	#384	—	2	2	no	—
118	#384	C₂³	1	4	yes	—
119	#382	—	2	4	no	—
120	#380	—	2	8	no	—
121	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
122	C₄³	D₄	1	2	yes	—
123	C₄³	D₄	1	2	yes	—
124	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
125	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
126	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	#336	C₂³	1	8	yes	—
128	C₂⁵	—	2	2	no	—
129	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
132	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
133	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
134	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
135	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
136	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
137	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
138	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
139	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
140	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
141	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
142	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
143	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
144	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
145	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
146	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
147	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
148	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
149	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
152	C₂×Q₁₆	—	2	32	no	—
153	C₂×Q₁₆	—	4	32	no	—
154	C₂×SD₁₆	—	2	32	no	—
155	C₂×SD₁₆	—	4	32	no	—
156	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
157	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
160	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
161	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
162	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
163	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
164	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
165	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
166	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
167	#127	—	2	8	no	—
168	#127	—	2	8	no	—
169	#127	—	4	4	no	—
170	#127	—	4	4	no	—
171	#125	—	4	8	no	—
172	#124	—	2	32	no	—
173	#124	—	4	16	no	—
174	#124	—	4	32	no	—
175	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
176	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
177	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
178	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
179	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
180	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
181	#117	—	4	8	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
200	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
201	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
202	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
203	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
204	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
205	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
207	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
208	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
209	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
210	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
211	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
214	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
215	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
216	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
218	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
219	#103	—	2	32	no	—
220	#102	—	2	32	no	—
221	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
222	#97	—	2	16	no	—
223	C₄×C₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
224	#95	—	2	16	no	—
225	C₂⁴	—	2	4	no	—
226	C₂⁴	—	4	8	no	—
227	C₂⁴	—	4	8	no	—
228	C₂⁴	—	4	4	no	—
229	C₂⁴	—	4	8	no	—
230	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
235	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
236	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
237	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
238	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
239	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
240	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
241	C₂×D₄	—	2	8	no	—
242	C₂×D₄	—	2	16	no	—
243	C₂×D₄	—	4	8	no	—
244	C₂×D₄	—	4	8	no	—
245	C₂×D₄	—	4	4	no	—
246	C₂×D₄	—	4	4	no	—
247	C₂×D₄	—	4	4	no	—
248	C₂×D₄	—	4	4	no	—
249	C₂×D₄	—	4	4	no	—
250	C₂×D₄	—	4	8	no	—
251	C₂×D₄	—	4	8	no	—
252	C₂×D₄	—	4	8	no	—
253	C₂×D₄	—	8	16	no	—
254	C₂×D₄	—	8	16	no	—
255	C₂×D₄	—	8	16	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
266	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
267	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
268	C₂²×C₄	#137	1	8	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
276	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
278	Q₁₆	—	8	32	no	—
279	SD₁₆	—	8	32	no	—
280	C₂×C₈	—	2	16	no	—
281	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	16	yes	—
282	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
298	C₄²	—	2	8	no	—
299	C₄²	—	2	4	no	—
300	C₄²	—	2	8	no	—
301	C₄²	—	2	4	no	—
302	C₄²	—	2	4	no	—
303	C₄²	—	2	4	no	—
304	C₄²	—	2	4	no	—
305	C₄²	—	4	4	no	—
306	C₄²	—	4	8	no	—
307	C₄²	#127	1	4	yes	—
308	C₄²	#127	1	4	yes	—
309	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
310	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
311	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
312	C₂³	—	2	2	no	—
313	C₂³	—	2	2	no	—
314	C₂³	—	4	4	no	—
315	C₂³	—	4	8	no	—
316	C₂³	—	4	8	no	—
317	C₂³	—	4	8	no	—
318	C₂³	—	8	8	no	—
319	C₂³	—	8	8	no	—
320	C₂³	—	8	32	no	—
321	C₂³	—	8	8	no	—
322	C₂³	C₂×#127	1	2	yes	—
323	C₂³	C₂×#137	1	4	yes	—
324	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
325	Q₈	—	4	8	no	—
326	Q₈	—	4	8	no	—
327	Q₈	—	4	16	no	—
328	Q₈	—	8	8	no	—
329	Q₈	—	8	8	no	—
330	D₄	—	4	16	no	—
331	D₄	—	8	8	no	—
332	D₄	—	8	8	no	—
333	D₄	—	8	8	no	—
334	D₄	—	8	8	no	—
335	D₄	—	8	8	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	4	no	—
338	C₂×C₄	—	2	4	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	8	no	—
341	C₂×C₄	—	2	8	no	—
342	C₂×C₄	—	2	4	no	—
343	C₂×C₄	—	2	4	no	—
344	C₂×C₄	—	2	4	no	—
345	C₂×C₄	—	4	16	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	4	no	—
348	C₂×C₄	—	4	4	no	—
349	C₂×C₄	—	4	8	no	—
350	C₂×C₄	—	4	8	no	—
351	C₂×C₄	—	4	8	no	—
352	C₂×C₄	—	8	8	no	—
353	C₂×C₄	#497	1	16	yes	complemented
354	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	#535	1	8	yes	—
360	C₂×C₄	C₂×#137	1	4	yes	—
361	C₂×C₄	C₂×#137	1	4	yes	—
362	C₂×C₄	#575	1	4	yes	—
363	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
365	C₈	—	2	16	no	—
366	C₂²	—	2	8	no	—
367	C₂²	—	2	2	no	—
368	C₂²	—	2	2	no	—
369	C₂²	—	8	16	no	—
370	C₂²	—	8	4	no	—
371	C₂²	—	8	4	no	—
372	C₂²	—	8	4	no	—
373	C₂²	—	16	16	no	—
374	C₂²	C₂×#497	1	4	yes	—
375	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
376	C₂²	C₂×#535	1	2	yes	—
377	C₂²	C₂²×#137	1	2	yes	—
378	C₂²	C₂×#575	1	2	yes	—
379	C₄	—	2	8	no	—
380	C₄	—	2	2	no	—
381	C₄	—	2	2	no	—
382	C₄	—	4	4	no	—
383	C₄	—	8	4	no	—
384	C₄	—	8	4	no	—
385	C₄	—	8	4	no	—
386	C₄	C₂×#497	1	4	yes	—
387	C₄	C₂×#497	1	4	yes	—
388	C₄	#3153	1	4	yes	—
389	C₄	#3498	1	4	yes	—
390	C₂	—	2	4	no	—
391	C₂	—	16	4	no	—
392	C₂	#35274	1	1	yes	characteristic
393	C₂	C₂²×#497	1	1	yes	characteristic
394	C₂	C₂×#3153	1	1	yes	characteristic
395	C₂	#60804	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3209	C₂	semidirect
3. #36645	C₂	semidirect
5. #33305	C₂	semidirect
6. #33238	C₂	semidirect
7. #30261	C₂	semidirect
8. #28451	C₂	semidirect
9. #25730	C₂	semidirect
10. #20463	C₂	semidirect
17. C₂×#497	C₂²	semidirect
18. C₂×#494	C₂²	semidirect
20. C₂×#487	C₂²	semidirect
22. C₂×#462	C₂²	semidirect
27. #2868	C₂²	semidirect
28. #2868	C₂²	semidirect
29. #2862	C₂²	semidirect
39. C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
44. #2015	C₂²	semidirect
45. #1959	C₂²	semidirect
46. #1767	C₂²	semidirect
48. #1744	C₂²	semidirect
49. C₄×#97	C₂²	semidirect
353. C₂×C₄	#497	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3209	2
C₂×#3208	2
#36645	2
C₂×#2858	2
#33305	2
#33238	2
#30261	2
#28451	2
#25730	2
#20463	2