Subgroups — #6494277

Order 512.

2714 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 415 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3210	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#3208	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#35322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#35274	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#33305	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#33300	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#33235	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#33227	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#30261	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#30259	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#28457	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
12	#25732	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
13	#20462	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂×#535	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#3210	—	2	16	no	—
19	#3208	—	2	16	no	—
20	C₂×#497	C₂²	1	8	yes	complemented
21	C₂×#494	C₂²	1	2	yes	complemented
22	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	complemented
25	C₂×#492	C₂²	1	8	yes	complemented
26	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	complemented
27	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	complemented
30	C₂×#464	C₂²	1	8	yes	complemented
31	C₂×#460	C₂²	1	8	yes	—
32	C₂×#452	C₂²	1	8	yes	—
33	C₂×#450	C₂²	1	8	yes	—
34	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
35	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
36	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#2862	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#2862	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
40	#2858	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#2858	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#2657	C₂²	1	4	yes	—
43	#2621	C₂²	1	4	yes	—
44	#2565	—	2	4	no	—
45	#2541	—	2	4	no	—
46	#2499	—	2	4	no	—
47	#2433	—	2	4	no	—
48	#2327	C₂²	1	4	yes	complemented
49	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
50	#2015	C₂²	1	16	yes	complemented
51	#2014	C₂²	1	16	yes	complemented
52	#1961	C₂²	1	8	yes	complemented
53	#1958	C₂²	1	8	yes	complemented
54	#1768	C₂²	1	4	yes	complemented
55	#1750	C₂²	1	4	yes	—
56	#1744	C₂²	1	2	yes	complemented
57	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
58	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
59	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
61	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	8	yes	—
63	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
64	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
65	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
66	#535	—	4	16	no	—
67	#533	—	2	8	no	—
68	#533	—	2	8	no	—
69	#532	—	2	8	no	—
70	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×#127	—	2	8	no	—
75	C₂×#127	—	2	2	no	—
76	C₂×#127	—	2	4	no	—
77	C₂×#127	—	2	4	no	—
78	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×#125	—	2	2	no	—
85	C₂×#124	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×#124	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×#124	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
89	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂×#121	—	2	2	no	—
91	C₂×#121	—	2	8	no	—
92	C₂×#120	—	2	8	no	—
93	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
94	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
96	C₂×#117	—	2	2	no	—
97	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	#497	—	4	16	no	—
100	#494	—	2	8	no	—
101	#492	—	2	8	no	—
102	#492	—	2	8	no	—
103	#492	—	2	8	no	—
104	#492	—	4	16	no	—
105	#487	—	2	8	no	—
106	#486	—	2	8	no	—
107	#486	—	2	8	no	—
108	#486	—	2	8	no	—
109	#464	—	2	32	no	—
110	#460	—	2	32	no	—
111	#452	—	2	32	no	—
112	#450	—	2	32	no	—
113	#431	D₄	1	16	yes	complemented
114	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
115	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
116	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
117	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
118	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
119	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
120	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
121	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
122	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
124	#398	—	2	8	no	—
125	#397	—	2	8	no	—
126	#392	—	2	16	no	—
127	#391	—	2	4	no	—
128	#391	—	2	4	no	—
129	#391	C₂³	1	8	yes	—
130	#390	—	2	4	no	—
131	#390	—	2	4	no	—
132	#387	—	2	16	no	—
133	#384	—	2	4	no	—
134	#382	—	2	4	no	—
135	#382	C₂³	1	4	yes	—
136	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
137	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
138	#376	C₂³	1	2	yes	—
139	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
140	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
141	#336	C₂³	1	8	yes	—
142	C₂⁵	—	2	2	no	—
143	C₂×#41	—	2	8	no	—
144	C₂×#41	—	4	8	no	—
145	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
147	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
148	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
149	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
150	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
151	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
152	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
153	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
154	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
155	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
156	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
157	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
158	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
159	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
160	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
161	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
162	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
163	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
166	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
167	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
168	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
169	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
170	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
171	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
172	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
173	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
174	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
175	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
176	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
177	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
178	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
179	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
180	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
181	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
182	#127	—	2	8	no	—
183	#127	—	2	4	no	—
184	#127	—	2	4	no	—
185	#127	—	2	4	no	—
186	#127	—	2	16	no	—
187	#127	—	4	8	no	—
188	#127	—	4	8	no	—
189	#127	—	8	8	no	—
190	#127	—	8	8	no	—
191	#125	—	4	8	no	—
192	#124	—	2	8	no	—
193	#124	—	2	16	no	—
194	#124	—	4	8	no	—
195	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
196	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
197	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
198	#121	—	4	32	no	—
199	#121	—	4	8	no	—
200	#120	—	4	32	no	—
201	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
202	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
203	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
204	C₄×D₄	—	4	8	no	—
205	#117	—	2	8	no	—
206	#117	—	4	8	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
210	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
211	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
212	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
213	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
215	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
216	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
217	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
218	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
219	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
220	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
221	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
222	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
223	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
224	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
225	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
226	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
227	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
228	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
229	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
230	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
231	#103	—	2	16	no	—
232	#102	—	2	16	no	—
233	#102	—	2	16	no	—
234	#102	—	2	16	no	—
235	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
236	#97	—	2	8	no	—
237	C₄×C₈	—	2	8	no	—
238	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
239	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
240	#95	—	2	16	no	—
241	#95	—	2	8	no	—
242	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
243	C₂⁴	—	2	2	no	—
244	C₂⁴	—	2	2	no	—
245	C₂⁴	—	2	2	no	—
246	C₂⁴	—	4	8	no	—
247	C₂⁴	—	4	4	no	—
248	C₂⁴	—	8	8	no	—
249	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
250	#41	—	8	16	no	—
251	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
252	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
253	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
254	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
255	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
256	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
257	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
258	C₂×D₄	—	2	4	no	—
259	C₂×D₄	—	2	4	no	—
260	C₂×D₄	—	2	4	no	—
261	C₂×D₄	—	2	8	no	—
262	C₂×D₄	—	2	8	no	—
263	C₂×D₄	—	2	8	no	—
264	C₂×D₄	—	4	8	no	—
265	C₂×D₄	—	4	16	no	—
266	C₂×D₄	—	4	8	no	—
267	C₂×D₄	—	4	4	no	—
268	C₂×D₄	—	4	4	no	—
269	C₂×D₄	—	4	8	no	—
270	C₂×D₄	—	4	4	no	—
271	C₂×D₄	—	4	4	no	—
272	C₂×D₄	—	4	4	no	—
273	C₂×D₄	—	4	16	no	—
274	C₂×D₄	—	4	8	no	—
275	C₂×D₄	—	4	8	no	—
276	C₂×D₄	—	4	8	no	—
277	C₂×D₄	—	8	16	no	—
278	C₂×D₄	—	8	8	no	—
279	C₂×D₄	—	8	32	no	—
280	C₂×D₄	—	8	16	no	—
281	C₂×D₄	—	8	16	no	—
282	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
283	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
288	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
289	C₂²×C₄	#127	1	8	yes	—
290	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
291	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
292	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
294	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
295	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
296	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
297	Q₁₆	—	8	16	no	—
298	SD₁₆	—	8	16	no	—
299	SD₁₆	—	8	16	no	—
300	SD₁₆	—	8	16	no	—
301	C₂×C₈	—	2	8	no	—
302	C₂×C₈	—	2	8	no	—
303	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
304	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
305	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
306	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
307	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
308	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
309	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
310	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
311	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
312	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
313	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
314	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
320	C₄²	—	2	8	no	—
321	C₄²	—	2	8	no	—
322	C₄²	—	2	4	no	—
323	C₄²	—	4	8	no	—
324	C₄²	#127	1	8	yes	—
325	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
326	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
327	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
328	C₂³	—	2	2	no	—
329	C₂³	—	2	4	no	—
330	C₂³	—	4	2	no	—
331	C₂³	—	4	2	no	—
332	C₂³	—	4	2	no	—
333	C₂³	—	4	4	no	—
334	C₂³	—	4	4	no	—
335	C₂³	—	4	4	no	—
336	C₂³	—	4	8	no	—
337	C₂³	—	4	8	no	—
338	C₂³	—	4	8	no	—
339	C₂³	—	8	8	no	—
340	C₂³	—	8	16	no	—
341	C₂³	—	16	16	no	—
342	C₂³	C₂×#127	1	2	yes	—
343	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
344	Q₈	—	4	8	no	—
345	Q₈	—	4	8	no	—
346	Q₈	—	4	8	no	—
347	Q₈	—	8	8	no	—
348	D₄	—	4	8	no	—
349	D₄	—	4	8	no	—
350	D₄	—	4	8	no	—
351	D₄	—	8	8	no	—
352	D₄	—	8	16	no	—
353	D₄	—	8	8	no	—
354	D₄	—	8	8	no	—
355	D₄	—	8	8	no	—
356	D₄	—	8	8	no	—
357	D₄	—	16	16	no	—
358	D₄	—	16	16	no	—
359	C₂×C₄	—	2	2	no	—
360	C₂×C₄	—	2	8	no	—
361	C₂×C₄	—	2	4	no	—
362	C₂×C₄	—	2	16	no	—
363	C₂×C₄	—	2	8	no	—
364	C₂×C₄	—	2	4	no	—
365	C₂×C₄	—	2	8	no	—
366	C₂×C₄	—	4	4	no	—
367	C₂×C₄	—	4	4	no	—
368	C₂×C₄	—	4	2	no	—
369	C₂×C₄	—	4	4	no	—
370	C₂×C₄	—	4	8	no	—
371	C₂×C₄	—	4	8	no	—
372	C₂×C₄	—	8	8	no	—
373	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
374	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
376	C₂×C₄	#535	1	8	yes	—
377	C₂×C₄	#577	1	8	yes	—
378	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
380	C₈	—	2	8	no	—
381	C₈	—	2	8	no	—
382	C₂²	—	2	2	no	—
383	C₂²	—	2	4	no	—
384	C₂²	—	4	4	no	—
385	C₂²	—	8	8	no	—
386	C₂²	—	8	8	no	—
387	C₂²	—	8	8	no	—
388	C₂²	—	8	2	no	—
389	C₂²	—	8	2	no	—
390	C₂²	—	8	2	no	—
391	C₂²	—	8	4	no	—
392	C₂²	—	8	4	no	—
393	C₂²	—	8	4	no	—
394	C₂²	—	16	16	no	—
395	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
396	C₂²	C₂×#535	1	2	yes	—
397	C₂²	C₂×#577	1	4	yes	—
398	C₄	—	2	8	no	—
399	C₄	—	2	2	no	—
400	C₄	—	2	4	no	—
401	C₄	—	4	4	no	—
402	C₄	—	8	2	no	—
403	C₄	—	8	4	no	—
404	C₄	—	8	4	no	—
405	C₄	#3154	1	8	yes	—
406	C₄	#3498	1	4	yes	—
407	C₂	—	4	2	no	—
408	C₂	—	16	2	no	—
409	C₂	—	16	2	no	—
410	C₂	—	16	2	no	—
411	C₂	#35274	1	1	yes	characteristic
412	C₂	C₂×#3154	1	2	yes	—
413	C₂	#60818	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	#35274	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3210	C₂	semidirect
2. C₂×#3208	C₂	semidirect
3. #35322	C₂	semidirect
5. #33305	C₂	semidirect
6. #33300	C₂	semidirect
7. #33235	C₂	semidirect
8. #33227	C₂	semidirect
9. #30261	C₂	semidirect
10. #30259	C₂	semidirect
11. #28457	C₂	semidirect
12. #25732	C₂	semidirect
13. #20462	C₂	semidirect
20. C₂×#497	C₂²	semidirect
21. C₂×#494	C₂²	semidirect
24. C₂×#492	C₂²	semidirect
25. C₂×#492	C₂²	semidirect
26. C₂×#487	C₂²	semidirect
29. C₂×#486	C₂²	semidirect
30. C₂×#464	C₂²	semidirect
35. #2868	C₂²	semidirect
38. #2862	C₂²	semidirect
39. #2862	C₂²	semidirect
48. #2327	C₂²	semidirect
50. #2015	C₂²	semidirect
51. #2014	C₂²	semidirect
52. #1961	C₂²	semidirect
53. #1958	C₂²	semidirect
54. #1768	C₂²	semidirect
56. #1744	C₂²	semidirect
57. C₄×#97	C₂²	semidirect
58. C₄²×C₈	C₂²	semidirect
113. #431	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3210	2
C₂×#3208	2
#35322	2
#35274	2
#33305	2
#33300	2
#33235	2
#33227	2
#30261	2
#30259	2
#28457	2
#25732	2
#20462	2