Subgroups — #6494333

Order 512.

2910 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 361 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3208	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#3170	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×#493	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#35285	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#33303	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#33241	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#30260	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#28463	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	#25781	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
10	C₈×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂³×D₈	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×#127	C₂²	1	2	yes	—
14	#3208	—	2	16	no	—
15	#3170	—	2	8	no	—
16	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
17	C₂×#495	C₂²	1	16	yes	complemented
18	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
19	C₂×#493	—	2	8	no	—
20	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#493	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#492	C₂²	1	4	yes	complemented
24	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	complemented
25	C₂×#486	C₂²	1	4	yes	complemented
26	C₂×#467	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#460	C₂²	1	8	yes	complemented
28	C₂×#450	C₂²	1	8	yes	—
29	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
30	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#2858	C₂²	1	4	yes	complemented
33	#2858	C₂²	1	4	yes	complemented
34	#2641	—	2	4	no	—
35	#2548	—	2	4	no	—
36	#2548	C₂²	1	8	yes	complemented
37	#2435	—	2	4	no	—
38	#2435	C₂²	1	8	yes	—
39	#2309	—	2	4	no	—
40	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#2012	C₂²	1	32	yes	complemented
42	#1970	C₂²	1	16	yes	complemented
43	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
44	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
45	#1744	C₂²	1	2	yes	complemented
46	C₄²×C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
47	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
48	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
49	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	16	yes	—
52	C₂²×D₈	—	2	16	no	—
53	C₂²×D₈	—	4	16	no	—
54	C₂²×D₈	C₂³	1	8	yes	—
55	C₂²×D₈	C₂³	1	8	yes	—
56	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
57	#533	—	2	8	no	—
58	#533	—	2	8	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#127	—	2	8	no	—
62	C₂×#127	—	2	8	no	—
63	C₂×#127	—	2	2	no	—
64	C₂×#127	—	2	2	no	—
65	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×#125	—	2	2	no	—
68	C₂×#124	—	2	8	no	—
69	C₂×#124	C₂³	1	16	yes	—
70	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
71	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂×#117	—	2	2	no	—
75	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	#500	—	2	4	no	—
78	#495	—	4	32	no	—
79	#494	—	2	4	no	—
80	#493	—	2	16	no	—
81	#493	—	2	8	no	—
82	#493	—	2	8	no	—
83	#492	—	2	16	no	—
84	#487	—	2	8	no	—
85	#486	—	2	16	no	—
86	#467	—	2	16	no	—
87	#460	—	2	32	no	—
88	#450	—	2	32	no	—
89	C₄×Q₁₆	—	2	16	no	—
90	#431	D₄	1	8	yes	—
91	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
94	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
95	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	D₄	1	8	yes	—
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	8	yes	—
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
102	#394	—	2	16	no	—
103	#394	—	2	16	no	—
104	#390	—	2	16	no	—
105	#390	—	2	8	no	—
106	#390	—	2	8	no	—
107	#390	—	2	8	no	—
108	#390	C₂³	1	16	yes	—
109	#379	—	2	16	no	—
110	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
111	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
112	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
113	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
114	#376	D₄	1	2	yes	—
115	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
116	#336	C₂³	1	8	yes	—
117	C₂⁵	—	2	4	no	—
118	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
120	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
127	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
128	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
129	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
130	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
131	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
132	C₂²×D₄	C₂⁴	1	8	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
136	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
137	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
138	C₂×SD₁₆	—	2	32	no	—
139	C₂×SD₁₆	—	4	32	no	—
140	C₂×D₈	—	2	16	no	—
141	C₂×D₈	—	2	16	no	—
142	C₂×D₈	—	2	32	no	—
143	C₂×D₈	—	4	16	no	—
144	C₂×D₈	—	4	64	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
147	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
148	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
149	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
152	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
153	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
154	#127	—	2	8	no	—
155	#127	—	2	8	no	—
156	#127	—	2	8	no	—
157	#127	—	2	8	no	—
158	#127	—	4	8	no	—
159	#127	—	4	8	no	—
160	#125	—	4	8	no	—
161	#124	—	4	32	no	—
162	#124	—	8	16	no	—
163	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
164	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
165	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
166	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
167	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
168	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
169	#117	—	2	8	no	—
170	#117	—	4	8	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
182	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
192	#107	—	2	8	no	—
193	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
194	#103	—	2	16	no	—
195	#102	—	2	32	no	—
196	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
197	C₄×C₈	—	2	16	no	—
198	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
199	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
200	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
201	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
202	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
203	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
204	C₂⁴	—	2	8	no	—
205	C₂⁴	—	4	8	no	—
206	C₂⁴	—	4	16	no	—
207	C₂⁴	—	8	8	no	—
208	C₂⁴	—	8	8	no	—
209	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
211	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
212	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
213	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
215	C₂×D₄	—	2	8	no	—
216	C₂×D₄	—	2	8	no	—
217	C₂×D₄	—	2	32	no	—
218	C₂×D₄	—	4	32	no	—
219	C₂×D₄	—	4	8	no	—
220	C₂×D₄	—	4	8	no	—
221	C₂×D₄	—	4	8	no	—
222	C₂×D₄	—	4	8	no	—
223	C₂×D₄	—	4	8	no	—
224	C₂×D₄	—	4	16	no	—
225	C₂×D₄	—	4	16	no	—
226	C₂×D₄	—	4	16	no	—
227	C₂×D₄	—	8	16	no	—
228	C₂×D₄	—	8	8	no	—
229	C₂×D₄	—	8	8	no	—
230	C₂×D₄	—	8	32	no	—
231	C₂×D₄	—	8	32	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	#135	1	8	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
248	Q₁₆	—	4	16	no	—
249	SD₁₆	—	8	32	no	—
250	D₈	—	4	32	no	—
251	D₈	—	4	32	no	—
252	C₂×C₈	—	2	8	no	—
253	C₂×C₈	—	2	4	no	—
254	C₂×C₈	—	2	16	no	—
255	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
256	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
257	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
258	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
259	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
271	C₄²	—	2	8	no	—
272	C₄²	—	2	8	no	—
273	C₄²	—	2	8	no	—
274	C₄²	—	4	8	no	—
275	C₄²	#127	1	4	yes	—
276	C₄²	#127	1	4	yes	—
277	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
278	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
279	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
280	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
281	C₂³	—	2	2	no	—
282	C₂³	—	2	2	no	—
283	C₂³	—	4	8	no	—
284	C₂³	—	4	16	no	—
285	C₂³	—	4	16	no	—
286	C₂³	—	4	16	no	—
287	C₂³	—	8	16	no	—
288	C₂³	—	8	16	no	—
289	C₂³	—	8	16	no	—
290	C₂³	—	16	32	no	—
291	C₂³	C₂×#127	1	2	yes	—
292	C₂³	C₂×#135	1	4	yes	—
293	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
294	Q₈	—	4	8	no	—
295	Q₈	—	4	8	no	—
296	Q₈	—	8	8	no	—
297	D₄	—	4	16	no	—
298	D₄	—	4	16	no	—
299	D₄	—	8	16	no	—
300	D₄	—	8	16	no	—
301	D₄	—	8	16	no	—
302	D₄	—	8	16	no	—
303	D₄	—	8	16	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	8	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	2	8	no	—
310	C₂×C₄	—	2	8	no	—
311	C₂×C₄	—	2	8	no	—
312	C₂×C₄	—	4	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	8	no	—
315	C₂×C₄	—	4	8	no	—
316	C₂×C₄	#495	1	16	yes	complemented
317	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	#576	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
328	C₈	—	2	4	no	—
329	C₈	—	2	8	no	—
330	C₈	#535	1	8	yes	—
331	C₂²	—	2	2	no	—
332	C₂²	—	2	8	no	—
333	C₂²	—	2	2	no	—
334	C₂²	—	8	8	no	—
335	C₂²	—	8	32	no	—
336	C₂²	—	8	8	no	—
337	C₂²	—	8	8	no	—
338	C₂²	—	16	32	no	—
339	C₂²	C₂×#495	1	4	yes	—
340	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	#3498	1	2	yes	—
342	C₂²	C₂²×#135	1	2	yes	—
343	C₂²	C₂×#576	1	2	yes	—
344	C₄	—	2	2	no	—
345	C₄	—	2	2	no	—
346	C₄	—	4	8	no	—
347	C₄	—	8	4	no	—
348	C₄	—	8	4	no	—
349	C₄	C₂×#495	1	4	yes	—
350	C₄	C₂×#495	1	4	yes	—
351	C₄	#3155	1	4	yes	—
352	C₄	C₂×#535	1	2	yes	—
353	C₄	#3498	1	2	yes	—
354	C₂	—	2	4	no	—
355	C₂	—	16	8	no	—
356	C₂	#35274	1	1	yes	characteristic
357	C₂	C₂²×#495	1	1	yes	characteristic
358	C₂	C₂×#3155	1	1	yes	characteristic
359	C₂	#62417	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×#493	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3208	C₂	semidirect
2. C₂×#3170	C₂	semidirect
4. #35285	C₂	semidirect
5. #33303	C₂	semidirect
6. #33241	C₂	semidirect
7. #30260	C₂	semidirect
8. #28463	C₂	semidirect
9. #25781	C₂	semidirect
10. C₈×#117	C₂	semidirect
16. C₂×#500	C₂²	semidirect
17. C₂×#495	C₂²	semidirect
18. C₂×#494	C₂²	semidirect
23. C₂×#492	C₂²	semidirect
24. C₂×#487	C₂²	semidirect
25. C₂×#486	C₂²	semidirect
27. C₂×#460	C₂²	semidirect
29. C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
32. #2858	C₂²	semidirect
33. #2858	C₂²	semidirect
36. #2548	C₂²	semidirect
41. #2012	C₂²	semidirect
42. #1970	C₂²	semidirect
43. C₈×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
45. #1744	C₂²	semidirect
46. C₄²×C₈	C₂²	semidirect
316. C₂×C₄	#495	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3208	2
C₂×#3170	2
C₂²×#493	2
#35285	2
#33303	2
#33241	2
#30260	2
#28463	2
#25781	2
C₈×#117	2