Subgroups — #6494334

Order 512.

2634 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 351 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3206	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#3169	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂²×#494	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#35289	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#33303	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#33242	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#30261	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#28459	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	#25782	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
10	C₈×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
14	#3206	—	2	16	no	—
15	#3169	—	2	8	no	—
16	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#495	C₂²	1	16	yes	—
18	C₂×#494	—	2	8	no	—
19	C₂×#494	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#494	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#494	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#492	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#487	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#466	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#461	C₂²	1	8	yes	—
28	C₂×#448	C₂²	1	8	yes	—
29	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#2862	C₂²	1	4	yes	—
33	#2858	C₂²	1	4	yes	—
34	#2640	—	2	4	no	—
35	#2563	—	2	4	no	—
36	#2547	C₂²	1	8	yes	—
37	#2504	—	2	4	no	—
38	#2436	C₂²	1	8	yes	—
39	#2311	—	2	4	no	—
40	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#2015	C₂²	1	32	yes	—
42	#1969	C₂²	1	16	yes	—
43	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
44	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
45	#1744	C₂²	1	2	yes	—
46	C₄²×C₈	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂²×#41	—	2	2	no	—
48	C₂³×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂²×Q₁₆	—	2	16	no	—
50	C₂²×Q₁₆	—	4	16	no	—
51	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	8	yes	—
52	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	8	yes	—
53	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	16	yes	—
54	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
56	#532	—	2	8	no	—
57	#532	—	2	8	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×#124	—	2	2	no	—
67	C₂×#124	C₂³	1	16	yes	—
68	C₂×#121	—	2	2	no	—
69	C₂×#121	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
74	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
75	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	#500	—	2	4	no	—
77	#495	—	4	32	no	—
78	#494	—	2	16	no	—
79	#494	—	2	8	no	—
80	#494	—	2	8	no	—
81	#493	—	2	4	no	—
82	#492	—	2	16	no	—
83	#487	—	2	16	no	—
84	#486	—	2	8	no	—
85	#466	—	2	16	no	—
86	#461	—	2	32	no	—
87	#448	—	2	32	no	—
88	C₄×D₈	—	2	16	no	—
89	#431	D₄	1	8	yes	—
90	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
93	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
94	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	D₄	1	8	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	8	yes	—
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
101	#397	—	2	16	no	—
102	#393	—	2	16	no	—
103	#391	—	2	8	no	—
104	#391	C₂³	1	16	yes	—
105	#390	—	2	8	no	—
106	#390	—	2	8	no	—
107	#386	—	2	16	no	—
108	#382	—	2	8	no	—
109	#380	—	2	16	no	—
110	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
111	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
112	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
113	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
114	#376	D₄	1	2	yes	—
115	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
116	#336	C₂³	1	8	yes	—
117	C₂×#41	—	4	8	no	—
118	C₂×#41	—	4	16	no	—
119	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
121	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
122	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
123	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
124	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	8	yes	—
125	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
128	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
129	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
130	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
134	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
135	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
136	C₂×Q₁₆	—	2	32	no	—
137	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
138	C₂×Q₁₆	—	4	64	no	—
139	C₂×SD₁₆	—	2	32	no	—
140	C₂×SD₁₆	—	4	32	no	—
141	C₂×D₈	—	2	8	no	—
142	C₂×D₈	—	2	16	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
144	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
145	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
147	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
152	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
153	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
154	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
155	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
156	#127	—	2	4	no	—
157	#127	—	2	4	no	—
158	#124	—	4	32	no	—
159	#124	—	4	8	no	—
160	#121	—	2	8	no	—
161	#121	—	2	8	no	—
162	#121	—	4	8	no	—
163	C₄×D₄	—	2	8	no	—
164	C₄×D₄	—	2	8	no	—
165	C₄×D₄	—	4	8	no	—
166	#117	—	2	8	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
189	#107	—	2	8	no	—
190	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
191	#103	—	2	32	no	—
192	#102	—	2	16	no	—
193	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
194	C₄×C₈	—	2	16	no	—
195	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
196	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
197	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
198	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
199	#95	—	2	32	no	—
200	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
201	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
202	C₂⁴	—	2	4	no	—
203	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
204	#41	—	8	32	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
212	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
213	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
214	C₂×D₄	—	2	4	no	—
215	C₂×D₄	—	2	4	no	—
216	C₂×D₄	—	2	16	no	—
217	C₂×D₄	—	4	8	no	—
218	C₂×D₄	—	4	16	no	—
219	C₂×D₄	—	4	4	no	—
220	C₂×D₄	—	4	4	no	—
221	C₂×D₄	—	4	8	no	—
222	C₂×D₄	—	4	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
230	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
231	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
233	C₂²×C₄	#135	1	8	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
243	Q₁₆	—	4	32	no	—
244	Q₁₆	—	4	32	no	—
245	SD₁₆	—	8	32	no	—
246	D₈	—	4	16	no	—
247	C₂×C₈	—	2	8	no	—
248	C₂×C₈	—	2	4	no	—
249	C₂×C₈	—	2	16	no	—
250	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
251	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
252	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
253	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
254	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
266	C₄²	—	2	8	no	—
267	C₄²	—	2	8	no	—
268	C₄²	—	2	8	no	—
269	C₄²	#127	1	4	yes	—
270	C₄²	#127	1	4	yes	—
271	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
272	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
273	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
274	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
275	C₂³	—	2	2	no	—
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	—	4	4	no	—
278	C₂³	—	4	8	no	—
279	C₂³	—	4	8	no	—
280	C₂³	—	4	8	no	—
281	C₂³	C₂×#127	1	2	yes	—
282	C₂³	C₂×#135	1	4	yes	—
283	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
284	Q₈	—	4	16	no	—
285	Q₈	—	4	16	no	—
286	Q₈	—	8	16	no	—
287	Q₈	—	8	8	no	—
288	D₄	—	4	8	no	—
289	D₄	—	4	8	no	—
290	D₄	—	8	16	no	—
291	D₄	—	8	8	no	—
292	D₄	—	8	8	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	8	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	8	no	—
299	C₂×C₄	—	2	8	no	—
300	C₂×C₄	—	2	8	no	—
301	C₂×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂×C₄	—	4	8	no	—
303	C₂×C₄	—	4	16	no	—
304	C₂×C₄	—	4	8	no	—
305	C₂×C₄	—	8	16	no	—
306	C₂×C₄	—	8	16	no	—
307	C₂×C₄	#495	1	16	yes	complemented
308	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	#578	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
319	C₈	—	2	4	no	—
320	C₈	—	2	8	no	—
321	C₈	#535	1	8	yes	—
322	C₂²	—	2	2	no	—
323	C₂²	—	2	8	no	—
324	C₂²	—	2	2	no	—
325	C₂²	—	8	4	no	—
326	C₂²	—	8	16	no	—
327	C₂²	—	8	4	no	—
328	C₂²	—	8	4	no	—
329	C₂²	C₂×#495	1	4	yes	—
330	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	#3498	1	2	yes	—
332	C₂²	C₂²×#135	1	2	yes	—
333	C₂²	C₂×#578	1	2	yes	—
334	C₄	—	2	2	no	—
335	C₄	—	2	2	no	—
336	C₄	—	4	8	no	—
337	C₄	—	8	8	no	—
338	C₄	—	8	4	no	—
339	C₄	C₂×#495	1	4	yes	—
340	C₄	C₂×#495	1	4	yes	—
341	C₄	#3156	1	4	yes	—
342	C₄	C₂×#535	1	2	yes	—
343	C₄	#3498	1	2	yes	—
344	C₂	—	2	4	no	—
345	C₂	—	16	4	no	—
346	C₂	#35274	1	1	yes	characteristic
347	C₂	C₂²×#495	1	1	yes	characteristic
348	C₂	C₂×#3156	1	1	yes	characteristic
349	C₂	#62418	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#3169	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3206	C₂	semidirect
3. C₂²×#494	C₂	semidirect
4. #35289	C₂	semidirect
5. #33303	C₂	semidirect
6. #33242	C₂	semidirect
7. #30261	C₂	semidirect
8. #28459	C₂	semidirect
9. #25782	C₂	semidirect
10. C₈×#117	C₂	semidirect
307. C₂×C₄	#495	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3206	2
C₂×#3169	2
C₂²×#494	2
#35289	2
#33303	2
#33242	2
#30261	2
#28459	2
#25782	2
C₈×#117	2