Subgroups — #6494335

Order 512.

3562 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 385 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3205	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#3169	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×#493	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#35274	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#33301	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#33241	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#30258	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#28458	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	#25779	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
10	C₈×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂³×D₈	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×#535	—	2	4	no	—
13	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#127	C₂²	1	2	yes	—
15	#3205	—	2	16	no	—
16	#3169	—	2	8	no	—
17	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
18	C₂×#493	—	2	8	no	—
19	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#493	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
23	C₂×#493	C₂²	1	4	yes	complemented
24	C₂×#493	C₂²	1	16	yes	complemented
25	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₂×#486	C₂²	1	4	yes	complemented
27	C₂×#466	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#459	C₂²	1	8	yes	complemented
29	C₂×#447	C₂²	1	8	yes	—
30	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	4	yes	complemented
31	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#2867	C₂²	1	4	yes	complemented
34	#2858	C₂²	1	4	yes	complemented
35	#2657	—	2	4	no	—
36	#2541	—	2	4	no	—
37	#2541	C₂²	1	8	yes	complemented
38	#2433	—	2	4	no	—
39	#2433	C₂²	1	8	yes	—
40	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#2011	C₂²	1	32	yes	complemented
42	#1970	C₂²	1	16	yes	complemented
43	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
44	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
45	#1744	C₂²	1	2	yes	complemented
46	C₄²×C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
47	C₂²×#41	—	2	2	no	—
48	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
49	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
50	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂²×D₈	—	2	16	no	—
52	C₂²×D₈	—	4	16	no	—
53	C₂²×D₈	C₂³	1	8	yes	—
54	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂²×D₈	C₂³	1	8	yes	—
56	C₂²×D₈	C₂³	1	16	yes	—
57	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
58	#535	—	4	32	no	—
59	#532	—	2	8	no	—
60	#532	—	2	8	no	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×#127	—	2	8	no	—
63	C₂×#127	—	2	8	no	—
64	C₂×#127	—	2	8	no	—
65	C₂×#127	—	2	2	no	—
66	C₂×#127	—	2	2	no	—
67	C₂×#127	—	2	8	no	—
68	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂×#127	C₂³	1	16	yes	—
72	C₂×#124	—	2	8	no	—
73	C₂×#124	—	2	2	no	—
74	C₂×#121	—	2	2	no	—
75	C₂×#121	—	2	16	no	—
76	C₂×#121	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂×#120	—	2	16	no	—
78	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	#500	—	2	4	no	—
83	#493	—	2	16	no	—
84	#493	—	2	8	no	—
85	#493	—	2	8	no	—
86	#493	—	2	4	no	—
87	#493	—	2	16	no	—
88	#493	—	4	32	no	—
89	#486	—	2	8	no	—
90	#486	—	2	16	no	—
91	#466	—	2	16	no	—
92	#459	—	2	32	no	—
93	#447	—	2	32	no	—
94	C₄×D₈	—	2	16	no	—
95	#431	D₄	1	8	yes	complemented
96	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
99	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
100	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×C₄×C₈	D₄	1	8	yes	complemented
102	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	8	yes	—
103	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
107	#392	—	2	16	no	—
108	#392	—	2	16	no	—
109	#390	—	2	8	no	—
110	#390	C₂³	1	16	yes	—
111	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
112	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
113	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
114	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
115	#376	D₄	1	2	yes	—
116	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
117	#336	C₂³	1	8	yes	—
118	C₂⁵	—	2	4	no	—
119	C₂×#41	—	4	8	no	—
120	C₂×#41	—	4	16	no	—
121	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
129	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
130	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
131	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
132	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
133	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
134	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
135	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
136	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
137	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
138	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
139	C₂²×D₄	C₂⁴	1	8	yes	—
140	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
141	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
144	C₂×D₈	—	2	16	no	—
145	C₂×D₈	—	2	16	no	—
146	C₂×D₈	—	2	8	no	—
147	C₂×D₈	—	2	32	no	—
148	C₂×D₈	—	2	32	no	—
149	C₂×D₈	—	2	16	no	—
150	C₂×D₈	—	4	16	no	—
151	C₂×D₈	—	4	64	no	—
152	C₂×D₈	—	4	32	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
154	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
155	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
156	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
157	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
158	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
160	#127	—	2	8	no	—
161	#127	—	2	8	no	—
162	#127	—	2	8	no	—
163	#127	—	2	8	no	—
164	#127	—	2	4	no	—
165	#127	—	2	4	no	—
166	#127	—	4	32	no	—
167	#127	—	4	8	no	—
168	#127	—	4	8	no	—
169	#127	—	4	32	no	—
170	#127	—	8	16	no	—
171	#124	—	4	8	no	—
172	#124	—	4	32	no	—
173	#121	—	2	8	no	—
174	#121	—	2	8	no	—
175	#121	—	4	8	no	—
176	#121	—	4	64	no	—
177	#120	—	4	64	no	—
178	C₄×D₄	—	2	8	no	—
179	C₄×D₄	—	2	8	no	—
180	C₄×D₄	—	4	8	no	—
181	#117	D₈	1	16	yes	complemented
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
184	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
195	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
196	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
198	#107	—	2	8	no	—
199	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
200	#102	—	2	16	no	—
201	#102	—	2	32	no	—
202	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
203	C₄×C₈	—	2	16	no	—
204	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
205	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
206	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
207	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
208	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
209	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
210	C₂⁴	—	2	8	no	—
211	C₂⁴	—	2	4	no	—
212	C₂⁴	—	4	8	no	—
213	C₂⁴	—	4	16	no	—
214	C₂⁴	—	8	8	no	—
215	C₂⁴	—	8	8	no	—
216	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
217	#41	—	8	32	no	—
218	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
219	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
220	C₂×D₄	—	2	4	no	—
221	C₂×D₄	—	2	8	no	—
222	C₂×D₄	—	2	4	no	—
223	C₂×D₄	—	2	8	no	—
224	C₂×D₄	—	2	16	no	—
225	C₂×D₄	—	2	32	no	—
226	C₂×D₄	—	4	32	no	—
227	C₂×D₄	—	4	8	no	—
228	C₂×D₄	—	4	16	no	—
229	C₂×D₄	—	4	4	no	—
230	C₂×D₄	—	4	4	no	—
231	C₂×D₄	—	4	8	no	—
232	C₂×D₄	—	4	8	no	—
233	C₂×D₄	—	4	8	no	—
234	C₂×D₄	—	4	8	no	—
235	C₂×D₄	—	4	8	no	—
236	C₂×D₄	—	4	16	no	—
237	C₂×D₄	—	4	16	no	—
238	C₂×D₄	—	4	8	no	—
239	C₂×D₄	—	4	64	no	—
240	C₂×D₄	—	4	8	no	—
241	C₂×D₄	—	4	16	no	—
242	C₂×D₄	—	8	16	no	—
243	C₂×D₄	—	8	8	no	—
244	C₂×D₄	—	8	8	no	—
245	C₂×D₄	—	8	32	no	—
246	C₂×D₄	—	8	32	no	—
247	C₂×D₄	—	8	32	no	—
248	C₂×D₄	—	8	32	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
254	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	8	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
266	D₈	—	4	32	no	—
267	D₈	—	4	16	no	—
268	D₈	—	4	32	no	—
269	D₈	—	8	32	no	—
270	C₂×C₈	—	2	8	no	—
271	C₂×C₈	—	2	4	no	—
272	C₂×C₈	—	2	16	no	—
273	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
274	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
275	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
276	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
277	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
280	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	16	yes	complemented
281	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	4	64	no	—
284	C₂²⋊C₄	C₂×D₈	1	16	yes	—
285	C₄²	—	2	8	no	—
286	C₄²	—	2	8	no	—
287	C₄²	#127	1	4	yes	—
288	C₄²	#127	1	4	yes	—
289	C₄²	C₂×D₈	1	16	yes	complemented
290	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
291	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
292	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
293	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
294	C₂³	—	2	2	no	—
295	C₂³	—	2	2	no	—
296	C₂³	—	4	4	no	—
297	C₂³	—	4	8	no	—
298	C₂³	—	4	8	no	—
299	C₂³	—	4	16	no	—
300	C₂³	—	4	16	no	—
301	C₂³	—	4	8	no	—
302	C₂³	—	4	8	no	—
303	C₂³	—	4	16	no	—
304	C₂³	—	8	16	no	—
305	C₂³	—	8	16	no	—
306	C₂³	—	8	16	no	—
307	C₂³	—	16	32	no	—
308	C₂³	C₂×#127	1	2	yes	—
309	C₂³	C₂²×D₈	1	4	yes	—
310	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
311	Q₈	—	8	8	no	—
312	D₄	—	4	16	no	—
313	D₄	—	4	8	no	—
314	D₄	—	4	8	no	—
315	D₄	—	4	16	no	—
316	D₄	—	8	16	no	—
317	D₄	—	8	16	no	—
318	D₄	—	8	16	no	—
319	D₄	—	8	16	no	—
320	D₄	—	8	16	no	—
321	D₄	—	8	8	no	—
322	D₄	—	8	8	no	—
323	D₄	—	8	16	no	—
324	D₄	—	16	64	no	—
325	C₂×C₄	—	2	8	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	8	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	8	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	2	4	no	—
332	C₂×C₄	—	4	4	no	—
333	C₂×C₄	—	4	8	no	—
334	C₂×C₄	—	8	16	no	—
335	C₂×C₄	#493	1	16	yes	complemented
336	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	16	yes	—
342	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	4	yes	—
343	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	4	yes	—
344	C₂×C₄	#576	1	4	yes	—
345	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
348	C₈	—	2	4	no	—
349	C₈	—	2	8	no	—
350	C₈	#535	1	8	yes	complemented
351	C₂²	—	2	2	no	—
352	C₂²	—	2	8	no	—
353	C₂²	—	2	2	no	—
354	C₂²	—	8	8	no	—
355	C₂²	—	8	4	no	—
356	C₂²	—	8	16	no	—
357	C₂²	—	8	32	no	—
358	C₂²	—	8	4	no	—
359	C₂²	—	8	8	no	—
360	C₂²	—	8	8	no	—
361	C₂²	—	8	4	no	—
362	C₂²	—	16	32	no	—
363	C₂²	C₂×#493	1	4	yes	—
364	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	#3498	1	2	yes	—
366	C₂²	C₂³×D₈	1	2	yes	—
367	C₂²	C₂×#576	1	2	yes	—
368	C₄	—	2	2	no	—
369	C₄	—	2	16	no	—
370	C₄	—	2	2	no	—
371	C₄	—	8	4	no	—
372	C₄	C₂×#493	1	4	yes	—
373	C₄	C₂×#493	1	4	yes	—
374	C₄	#3155	1	4	yes	—
375	C₄	C₂×#535	1	2	yes	—
376	C₄	#3498	1	2	yes	—
377	C₂	—	2	4	no	—
378	C₂	—	16	4	no	—
379	C₂	—	16	8	no	—
380	C₂	#35274	1	1	yes	characteristic
381	C₂	C₂²×#493	1	1	yes	characteristic
382	C₂	C₂×#3155	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#62415	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3205	C₂	semidirect
2. C₂×#3169	C₂	semidirect
3. C₂²×#493	C₂	semidirect
4. #35274	C₂	semidirect
5. #33301	C₂	semidirect
6. #33241	C₂	semidirect
7. #30258	C₂	semidirect
8. #28458	C₂	semidirect
9. #25779	C₂	semidirect
10. C₈×#117	C₂	semidirect
17. C₂×#500	C₂²	semidirect
22. C₂×#493	C₂²	semidirect
23. C₂×#493	C₂²	semidirect
24. C₂×#493	C₂²	semidirect
25. C₂×#486	C₂²	semidirect
26. C₂×#486	C₂²	semidirect
28. C₂×#459	C₂²	semidirect
30. C₂×C₄×D₈	C₂²	semidirect
33. #2867	C₂²	semidirect
34. #2858	C₂²	semidirect
37. #2541	C₂²	semidirect
41. #2011	C₂²	semidirect
42. #1970	C₂²	semidirect
43. C₈×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
45. #1744	C₂²	semidirect
46. C₄²×C₈	C₂²	semidirect
95. #431	D₄	semidirect
101. C₂×C₄×C₈	D₄	semidirect
181. #117	D₈	semidirect
280. C₄⋊C₄	C₂×D₈	semidirect
289. C₄²	C₂×D₈	semidirect
335. C₂×C₄	#493	semidirect
350. C₈	#535	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3205	2
C₂×#3169	2
C₂²×#493	2
#35274	2
#33301	2
#33241	2
#30258	2
#28458	2
#25779	2
C₈×#117	2