Subgroups — #6494336

Order 512.

2494 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 335 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3209	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#3170	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂²×#494	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#35281	C₂	1	2	yes	maximal
5	#33302	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#33242	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#30262	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#28462	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	#25780	C₂	1	8	yes	maximal
10	C₈×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
14	#3209	—	2	16	no	—
15	#3170	—	2	8	no	—
16	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#494	—	2	8	no	—
18	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#494	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#494	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#494	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#494	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#494	C₂²	1	16	yes	—
24	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#487	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#467	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#462	C₂²	1	8	yes	—
28	C₂×#451	C₂²	1	8	yes	—
29	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#2868	C₂²	1	4	yes	—
33	#2862	C₂²	1	4	yes	—
34	#2660	—	2	4	no	—
35	#2567	—	2	4	no	—
36	#2546	C₂²	1	8	yes	—
37	#2502	—	2	4	no	—
38	#2434	C₂²	1	8	yes	—
39	#2317	—	2	4	no	—
40	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#2016	C₂²	1	32	yes	—
42	#1969	C₂²	1	16	yes	—
43	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
44	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
45	#1744	C₂²	1	2	yes	—
46	C₄²×C₈	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂³×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂²×Q₁₆	—	2	16	no	—
49	C₂²×Q₁₆	—	4	16	no	—
50	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	8	yes	—
52	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	16	yes	—
53	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	8	yes	—
54	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
55	#533	—	2	8	no	—
56	#533	—	2	8	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	16	yes	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×#125	—	2	2	no	—
67	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
68	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂×#117	—	2	2	no	—
72	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
74	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
75	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	#500	—	2	4	no	—
77	#494	—	2	16	no	—
78	#494	—	2	8	no	—
79	#494	—	2	8	no	—
80	#494	—	2	4	no	—
81	#494	—	2	16	no	—
82	#494	—	4	32	no	—
83	#487	—	2	8	no	—
84	#487	—	2	16	no	—
85	#467	—	2	16	no	—
86	#462	—	2	32	no	—
87	#451	—	2	32	no	—
88	C₄×Q₁₆	—	2	16	no	—
89	#431	D₄	1	8	yes	—
90	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
93	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
94	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	D₄	1	8	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	8	yes	—
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
101	#398	—	2	16	no	—
102	#395	—	2	16	no	—
103	#391	—	2	8	no	—
104	#391	C₂³	1	16	yes	—
105	#389	—	2	16	no	—
106	#385	—	2	16	no	—
107	#384	—	2	8	no	—
108	#384	—	2	8	no	—
109	#382	—	2	8	no	—
110	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
111	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
112	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
113	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
114	#376	D₄	1	2	yes	—
115	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
116	#336	C₂³	1	8	yes	—
117	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
119	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
120	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
121	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
122	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
123	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	8	yes	—
124	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
125	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
128	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
129	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
130	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
131	C₂×Q₁₆	—	2	32	no	—
132	C₂×Q₁₆	—	2	32	no	—
133	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
134	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
135	C₂×Q₁₆	—	4	64	no	—
136	C₂×Q₁₆	—	4	32	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
138	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
139	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
142	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	4	32	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
152	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
153	#125	—	4	8	no	—
154	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
155	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
156	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
157	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
158	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
159	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
160	#117	—	4	8	no	—
161	#117	Q₁₆	1	16	yes	complemented
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
178	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
188	#107	—	2	8	no	—
189	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
190	#103	—	2	16	no	—
191	#103	—	2	32	no	—
192	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
193	C₄×C₈	—	2	16	no	—
194	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
195	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
196	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
197	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
198	#95	—	2	32	no	—
199	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
200	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
201	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
203	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
204	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
212	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
213	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
220	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
221	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	8	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
233	Q₁₆	—	4	32	no	—
234	Q₁₆	—	4	16	no	—
235	Q₁₆	—	4	32	no	—
236	Q₁₆	—	8	32	no	—
237	C₂×C₈	—	2	8	no	—
238	C₂×C₈	—	2	4	no	—
239	C₂×C₈	—	2	16	no	—
240	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
241	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
242	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
243	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
244	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	8	32	no	—
256	C₄⋊C₄	C₂×Q₁₆	1	16	yes	complemented
257	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
258	C₂²⋊C₄	C₂×Q₁₆	1	16	yes	—
259	C₄²	—	2	8	no	—
260	C₄²	—	2	8	no	—
261	C₄²	—	4	8	no	—
262	C₄²	#127	1	4	yes	—
263	C₄²	#127	1	4	yes	—
264	C₄²	C₂×Q₁₆	1	16	yes	complemented
265	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
266	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
267	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
268	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	C₂×#127	1	2	yes	—
272	C₂³	C₂²×Q₁₆	1	4	yes	—
273	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
274	Q₈	—	4	16	no	—
275	Q₈	—	4	8	no	—
276	Q₈	—	4	8	no	—
277	Q₈	—	4	16	no	—
278	Q₈	—	8	16	no	—
279	Q₈	—	8	8	no	—
280	C₂×C₄	—	2	8	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	8	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	8	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	4	4	no	—
288	C₂×C₄	—	4	4	no	—
289	C₂×C₄	—	4	8	no	—
290	C₂×C₄	—	4	8	no	—
291	C₂×C₄	—	4	16	no	—
292	C₂×C₄	—	4	8	no	—
293	C₂×C₄	—	8	16	no	—
294	C₂×C₄	#494	1	16	yes	complemented
295	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	16	yes	—
301	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	4	yes	—
303	C₂×C₄	#578	1	4	yes	—
304	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
307	C₈	—	2	4	no	—
308	C₈	—	2	8	no	—
309	C₈	#535	1	8	yes	—
310	C₂²	—	2	2	no	—
311	C₂²	—	2	8	no	—
312	C₂²	—	2	2	no	—
313	C₂²	C₂×#494	1	4	yes	—
314	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
315	C₂²	#3498	1	2	yes	—
316	C₂²	C₂³×Q₁₆	1	2	yes	—
317	C₂²	C₂×#578	1	2	yes	—
318	C₄	—	2	2	no	—
319	C₄	—	2	16	no	—
320	C₄	—	2	2	no	—
321	C₄	—	8	8	no	—
322	C₄	—	8	4	no	—
323	C₄	—	8	4	no	—
324	C₄	C₂×#494	1	4	yes	—
325	C₄	C₂×#494	1	4	yes	—
326	C₄	#3156	1	4	yes	—
327	C₄	C₂×#535	1	2	yes	—
328	C₄	#3498	1	2	yes	—
329	C₂	—	2	4	no	—
330	C₂	#35274	1	1	yes	characteristic
331	C₂	C₂²×#494	1	1	yes	characteristic
332	C₂	C₂×#3156	1	1	yes	characteristic
333	C₂	#62416	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #33302	C₂	semidirect
6. #33242	C₂	semidirect
7. #30262	C₂	semidirect
8. #28462	C₂	semidirect
161. #117	Q₁₆	semidirect
256. C₄⋊C₄	C₂×Q₁₆	semidirect
264. C₄²	C₂×Q₁₆	semidirect
294. C₂×C₄	#494	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3209	2
C₂×#3170	2
C₂²×#494	2
#35281	2
#33302	2
#33242	2
#30262	2
#28462	2
#25780	2
C₈×#117	2