Subgroups — #6494337

Order 512.

2556 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 422 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3210	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#3170	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#3147	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#35298	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#33303	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#33302	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#33242	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#33241	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#30263	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#30261	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#28466	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
12	#25778	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
13	C₈×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂²×#135	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
17	#3210	—	2	16	no	—
18	#3170	—	2	8	no	—
19	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#3147	—	2	8	no	—
21	C₂×#495	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#495	C₂²	1	8	yes	—
23	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#494	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#494	C₂²	1	8	yes	—
27	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#467	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×#464	C₂²	1	8	yes	—
35	C₂×#452	C₂²	1	8	yes	—
36	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#2868	C₂²	1	2	yes	—
40	#2862	C₂²	1	2	yes	—
41	#2858	C₂²	1	2	yes	—
42	#2858	C₂²	1	2	yes	—
43	#2620	—	2	4	no	—
44	#2566	—	2	4	no	—
45	#2545	C₂²	1	8	yes	—
46	#2500	—	2	4	no	—
47	#2432	C₂²	1	8	yes	—
48	#2326	—	2	4	no	—
49	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
50	#2015	C₂²	1	16	yes	—
51	#2013	C₂²	1	16	yes	—
52	#1970	C₂²	1	8	yes	—
53	#1969	C₂²	1	8	yes	—
54	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
55	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
56	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
57	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
58	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
59	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×#41	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂×#135	—	2	16	no	—
62	C₂×#135	—	4	16	no	—
63	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	8	yes	—
66	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
67	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
68	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
70	#533	—	2	8	no	—
71	#533	—	2	8	no	—
72	#532	—	2	8	no	—
73	#532	—	2	8	no	—
74	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
77	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×#125	—	2	2	no	—
80	C₂×#124	—	2	4	no	—
81	C₂×#124	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂×#124	C₂³	1	8	yes	—
83	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
84	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×#121	—	2	2	no	—
86	C₂×#121	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
88	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
90	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
91	C₂×#117	—	2	2	no	—
92	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
93	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	#500	—	2	4	no	—
95	#495	—	2	16	no	—
96	#495	—	4	16	no	—
97	#494	—	2	4	no	—
98	#494	—	2	4	no	—
99	#494	—	2	8	no	—
100	#494	—	4	16	no	—
101	#493	—	2	4	no	—
102	#492	—	2	8	no	—
103	#492	—	2	8	no	—
104	#487	—	2	8	no	—
105	#487	—	2	8	no	—
106	#486	—	2	8	no	—
107	#467	—	2	16	no	—
108	#464	—	2	32	no	—
109	#452	—	2	32	no	—
110	C₄×Q₁₆	—	2	16	no	—
111	#431	D₄	1	8	yes	—
112	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
114	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
115	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
116	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₄×C₈	D₄	1	8	yes	—
119	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
120	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
121	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
126	#396	—	2	16	no	—
127	#394	—	2	16	no	—
128	#391	—	2	4	no	—
129	#391	C₂³	1	8	yes	—
130	#390	—	2	4	no	—
131	#390	—	2	4	no	—
132	#390	—	2	4	no	—
133	#390	C₂³	1	8	yes	—
134	#388	—	2	16	no	—
135	#385	—	2	16	no	—
136	#384	—	2	4	no	—
137	#384	—	2	4	no	—
138	#382	—	2	4	no	—
139	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
140	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
141	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
142	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
143	#376	D₄	1	2	yes	—
144	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
145	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
146	#336	C₂³	1	4	yes	—
147	#336	C₂³	1	4	yes	—
148	C₂×#41	—	2	8	no	—
149	C₂×#41	—	2	8	no	—
150	C₂×#41	—	4	16	no	—
151	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
152	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
153	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
154	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
155	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
156	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
157	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
158	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
159	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
162	#135	—	4	64	no	—
163	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
164	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
165	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
166	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
167	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
168	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
169	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
170	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
171	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
172	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
173	C₂×D₈	—	2	8	no	—
174	C₂×D₈	—	2	16	no	—
175	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
176	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
177	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
178	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
179	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
180	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
181	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
182	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
183	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
184	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
185	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
186	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
187	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
188	#127	—	2	4	no	—
189	#127	—	2	4	no	—
190	#125	—	4	8	no	—
191	#124	—	2	8	no	—
192	#124	—	2	8	no	—
193	#124	—	4	16	no	—
194	#124	—	4	16	no	—
195	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
196	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
197	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
198	#121	—	4	8	no	—
199	#121	—	4	8	no	—
200	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
201	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
202	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
203	C₄×D₄	—	4	8	no	—
204	C₄×D₄	—	4	8	no	—
205	#117	—	2	8	no	—
206	#117	—	4	8	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
210	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
211	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
212	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
213	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
215	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
216	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
217	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
218	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
219	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
220	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
221	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
222	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
223	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
224	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
225	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
226	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
227	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
230	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
231	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
232	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
233	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
234	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
236	#107	—	2	8	no	—
237	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
238	#103	—	2	16	no	—
239	#103	—	2	16	no	—
240	#102	—	2	16	no	—
241	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
242	C₄×C₈	—	2	8	no	—
243	C₄×C₈	—	2	8	no	—
244	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
245	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
246	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
247	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
248	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
249	#95	—	2	16	no	—
250	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
251	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
252	C₂⁴	—	2	4	no	—
253	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
254	#41	—	4	32	no	—
255	#41	—	8	16	no	—
256	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
257	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
258	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
259	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
260	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
261	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
262	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
263	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
264	C₂×D₄	—	2	4	no	—
265	C₂×D₄	—	2	4	no	—
266	C₂×D₄	—	2	16	no	—
267	C₂×D₄	—	4	8	no	—
268	C₂×D₄	—	4	4	no	—
269	C₂×D₄	—	4	4	no	—
270	C₂×D₄	—	4	8	no	—
271	C₂×D₄	—	4	8	no	—
272	C₂×D₄	—	8	8	no	—
273	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
280	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
281	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
282	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
283	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
284	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
286	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
288	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
289	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
290	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
291	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
293	Q₁₆	—	4	16	no	—
294	Q₁₆	—	4	16	no	—
295	Q₁₆	—	8	16	no	—
296	SD₁₆	—	4	32	no	—
297	SD₁₆	—	8	16	no	—
298	D₈	—	4	16	no	—
299	C₂×C₈	—	2	4	no	—
300	C₂×C₈	—	2	4	no	—
301	C₂×C₈	—	2	4	no	—
302	C₂×C₈	—	2	16	no	—
303	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
304	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
305	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
306	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
307	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
308	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
309	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
310	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
311	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
312	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
313	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
314	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
315	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
316	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
317	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
318	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
322	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
323	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
324	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
325	C₄²	—	2	4	no	—
326	C₄²	—	2	4	no	—
327	C₄²	—	2	4	no	—
328	C₄²	—	2	4	no	—
329	C₄²	—	2	4	no	—
330	C₄²	—	4	8	no	—
331	C₄²	#127	1	4	yes	—
332	C₄²	#127	1	4	yes	—
333	C₄²	#135	1	8	yes	complemented
334	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
335	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
336	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
337	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
338	C₂³	—	2	2	no	—
339	C₂³	—	2	2	no	—
340	C₂³	—	2	2	no	—
341	C₂³	—	4	4	no	—
342	C₂³	—	4	8	no	—
343	C₂³	—	4	8	no	—
344	C₂³	—	4	8	no	—
345	C₂³	C₂×#127	1	2	yes	—
346	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
347	Q₈	—	4	8	no	—
348	Q₈	—	4	8	no	—
349	Q₈	—	4	8	no	—
350	Q₈	—	4	8	no	—
351	Q₈	—	8	8	no	—
352	D₄	—	4	8	no	—
353	D₄	—	4	8	no	—
354	D₄	—	8	16	no	—
355	D₄	—	8	8	no	—
356	D₄	—	8	8	no	—
357	C₂×C₄	—	2	4	no	—
358	C₂×C₄	—	2	2	no	—
359	C₂×C₄	—	2	2	no	—
360	C₂×C₄	—	2	4	no	—
361	C₂×C₄	—	2	2	no	—
362	C₂×C₄	—	2	8	no	—
363	C₂×C₄	—	2	8	no	—
364	C₂×C₄	—	2	4	no	—
365	C₂×C₄	—	2	4	no	—
366	C₂×C₄	—	2	4	no	—
367	C₂×C₄	—	2	4	no	—
368	C₂×C₄	—	2	4	no	—
369	C₂×C₄	—	4	4	no	—
370	C₂×C₄	—	4	4	no	—
371	C₂×C₄	—	4	4	no	—
372	C₂×C₄	—	4	8	no	—
373	C₂×C₄	—	4	8	no	—
374	C₂×C₄	—	4	8	no	—
375	C₂×C₄	—	8	16	no	—
376	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	C₂×#135	1	8	yes	—
382	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
383	C₂×C₄	#578	1	4	yes	—
384	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
385	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
386	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
387	C₈	—	2	4	no	—
388	C₈	—	2	4	no	—
389	C₈	—	2	4	no	—
390	C₈	#535	1	8	yes	—
391	C₂²	—	2	2	no	—
392	C₂²	—	2	2	no	—
393	C₂²	—	2	2	no	—
394	C₂²	—	4	4	no	—
395	C₂²	—	8	4	no	—
396	C₂²	—	8	16	no	—
397	C₂²	—	8	4	no	—
398	C₂²	—	8	4	no	—
399	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
400	C₂²	#3498	1	2	yes	—
401	C₂²	C₂²×#135	1	2	yes	—
402	C₂²	C₂×#578	1	2	yes	—
403	C₄	—	2	2	no	—
404	C₄	—	2	8	no	—
405	C₄	—	2	2	no	—
406	C₄	—	2	2	no	—
407	C₄	—	4	4	no	—
408	C₄	—	8	4	no	—
409	C₄	—	8	4	no	—
410	C₄	—	8	4	no	—
411	C₄	#3147	1	4	yes	—
412	C₄	#3156	1	4	yes	—
413	C₄	C₂×#535	1	2	yes	—
414	C₄	#3498	1	2	yes	—
415	C₂	—	4	2	no	—
416	C₂	—	16	4	no	—
417	C₂	#35274	1	1	yes	characteristic
418	C₂	C₂×#3147	1	1	yes	characteristic
419	C₂	C₂×#3156	1	1	yes	characteristic
420	C₂	#62418	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#3147	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3210	C₂	semidirect
2. C₂×#3170	C₂	semidirect
4. #35298	C₂	semidirect
5. #33303	C₂	semidirect
6. #33302	C₂	semidirect
7. #33242	C₂	semidirect
8. #33241	C₂	semidirect
9. #30263	C₂	semidirect
10. #30261	C₂	semidirect
11. #28466	C₂	semidirect
12. #25778	C₂	semidirect
13. C₈×#117	C₂	semidirect
333. C₄²	#135	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3210	2
C₂×#3170	2
C₂×#3147	2
#35298	2
#33303	2
#33302	2
#33242	2
#33241	2
#30263	2
#30261	2
#28466	2
#25778	2
C₈×#117	2