Subgroups — #6494348

Order 512.

2776 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 415 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3207	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#3169	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#3147	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#35293	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#33304	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#33252	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#30261	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#30258	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#28467	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
10	#25785	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
11	#20473	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#135	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
15	#3207	—	2	16	no	—
16	#3169	—	2	8	no	—
17	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#496	C₂²	1	16	yes	—
19	#3147	—	2	8	no	—
20	C₂×#495	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#487	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#466	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#463	C₂²	1	8	yes	—
32	C₂×#449	C₂²	1	8	yes	—
33	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#2867	C₂²	1	2	yes	—
37	#2862	C₂²	1	2	yes	—
38	#2858	C₂²	1	2	yes	—
39	#2858	C₂²	1	2	yes	—
40	#2619	—	2	4	no	—
41	#2544	—	2	4	no	—
42	#2544	C₂²	1	8	yes	—
43	#2431	—	2	4	no	—
44	#2431	C₂²	1	8	yes	—
45	#2328	—	2	4	no	—
46	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#2015	C₂²	1	16	yes	—
48	#2011	C₂²	1	16	yes	—
49	#1973	C₂²	1	16	yes	—
50	#1770	C₂²	1	4	yes	—
51	#1752	C₂²	1	4	yes	—
52	#1744	C₂²	1	2	yes	—
53	C₄×#97	C₂²	1	2	yes	—
54	C₂²×#41	—	2	2	no	—
55	C₂²×#41	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂×#135	—	2	16	no	—
57	C₂×#135	—	4	16	no	—
58	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
60	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
61	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂²×D₈	C₂³	1	8	yes	—
64	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
65	#532	—	2	8	no	—
66	#532	—	2	8	no	—
67	#532	—	2	8	no	—
68	#532	—	2	8	no	—
69	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#127	—	2	4	no	—
72	C₂×#127	—	2	4	no	—
73	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×#127	C₂³	1	8	yes	—
76	C₂×#124	—	2	2	no	—
77	C₂×#124	—	2	4	no	—
78	C₂×#124	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂×#124	C₂³	1	8	yes	—
80	C₂×#121	—	2	2	no	—
81	C₂×#121	—	2	2	no	—
82	C₂×#121	—	2	2	no	—
83	C₂×#121	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
85	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
86	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
89	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	#500	—	2	4	no	—
91	#496	—	4	32	no	—
92	#495	—	2	16	no	—
93	#494	—	2	4	no	—
94	#493	—	2	4	no	—
95	#493	—	2	4	no	—
96	#493	—	2	8	no	—
97	#492	—	2	8	no	—
98	#492	—	2	8	no	—
99	#487	—	2	8	no	—
100	#486	—	2	8	no	—
101	#486	—	2	8	no	—
102	#466	—	2	16	no	—
103	#463	—	2	32	no	—
104	#449	—	2	32	no	—
105	C₄×D₈	—	2	16	no	—
106	#431	D₄	1	8	yes	complemented
107	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
110	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
111	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
112	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×#97	C₂³	1	8	yes	—
114	C₂×C₄×C₈	D₄	1	8	yes	complemented
115	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
119	#394	—	2	16	no	—
120	#392	—	2	16	no	—
121	#391	—	2	4	no	—
122	#391	C₂³	1	8	yes	—
123	#390	—	2	4	no	—
124	#390	—	2	4	no	—
125	#390	—	2	4	no	—
126	#390	C₂³	1	8	yes	—
127	#386	—	2	16	no	—
128	#386	—	2	16	no	—
129	#382	—	2	4	no	—
130	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
131	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
132	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
133	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
134	#376	D₄	1	2	yes	—
135	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
136	#336	C₂³	1	8	yes	—
137	C₂×#41	—	2	8	no	—
138	C₂×#41	—	2	8	no	—
139	C₂×#41	—	4	16	no	—
140	C₂×#41	—	4	8	no	—
141	C₂×#41	—	8	8	no	—
142	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
144	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
145	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
146	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
147	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
148	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
149	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
150	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
151	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
152	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
153	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
154	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
155	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
158	#135	—	4	64	no	—
159	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
160	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
161	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
162	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
163	C₂×SD₁₆	—	2	32	no	—
164	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
165	C₂×D₈	—	2	8	no	—
166	C₂×D₈	—	2	8	no	—
167	C₂×D₈	—	2	16	no	—
168	C₂×D₈	—	2	16	no	—
169	C₂×D₈	—	4	8	no	—
170	C₂×D₈	—	4	16	no	—
171	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
172	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
173	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
174	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
175	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
176	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
177	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
178	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
179	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
180	#127	—	2	4	no	—
181	#127	—	2	4	no	—
182	#127	—	2	4	no	—
183	#127	—	2	4	no	—
184	#127	—	4	16	no	—
185	#127	—	4	16	no	—
186	#127	—	8	8	no	—
187	#124	—	2	8	no	—
188	#124	—	2	8	no	—
189	#124	—	4	16	no	—
190	#124	—	4	8	no	—
191	#124	—	8	8	no	—
192	#121	—	2	8	no	—
193	#121	—	2	8	no	—
194	#121	—	4	8	no	—
195	#121	—	4	8	no	—
196	#121	—	4	8	no	—
197	C₄×D₄	—	2	8	no	—
198	C₄×D₄	—	2	8	no	—
199	C₄×D₄	—	4	8	no	—
200	C₄×D₄	—	4	8	no	—
201	C₄×D₄	—	4	8	no	—
202	#117	—	4	4	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
207	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
212	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
213	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
214	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
215	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
216	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
217	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
220	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
221	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
222	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
224	#107	—	2	8	no	—
225	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
226	#103	—	2	16	no	—
227	#102	—	2	16	no	—
228	#102	—	2	16	no	—
229	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
230	#97	—	2	16	no	—
231	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
232	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
233	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
234	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
235	#95	—	2	16	no	—
236	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
237	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
238	C₂⁴	—	2	4	no	—
239	C₂⁴	—	2	4	no	—
240	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
241	#41	—	4	32	no	—
242	#41	—	8	16	no	—
243	#41	—	8	32	no	—
244	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
245	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
246	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
247	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
248	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
249	C₂×D₄	—	2	4	no	—
250	C₂×D₄	—	2	4	no	—
251	C₂×D₄	—	2	4	no	—
252	C₂×D₄	—	2	4	no	—
253	C₂×D₄	—	2	16	no	—
254	C₂×D₄	—	2	16	no	—
255	C₂×D₄	—	4	32	no	—
256	C₂×D₄	—	4	8	no	—
257	C₂×D₄	—	4	8	no	—
258	C₂×D₄	—	4	4	no	—
259	C₂×D₄	—	4	4	no	—
260	C₂×D₄	—	4	4	no	—
261	C₂×D₄	—	4	4	no	—
262	C₂×D₄	—	4	8	no	—
263	C₂×D₄	—	4	8	no	—
264	C₂×D₄	—	4	8	no	—
265	C₂×D₄	—	4	8	no	—
266	C₂×D₄	—	8	16	no	—
267	C₂×D₄	—	8	16	no	—
268	C₂×D₄	—	8	8	no	—
269	C₂×D₄	—	8	8	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
277	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
278	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
279	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
280	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
281	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
282	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
288	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
289	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
290	Q₁₆	—	4	16	no	—
291	SD₁₆	—	4	32	no	—
292	SD₁₆	—	8	16	no	—
293	D₈	—	4	16	no	—
294	D₈	—	4	16	no	—
295	D₈	—	8	16	no	—
296	C₂×C₈	—	2	8	no	—
297	C₂×C₈	—	2	4	no	—
298	C₂×C₈	—	2	16	no	—
299	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
300	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
301	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
302	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
303	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
304	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
308	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
316	C₄²	—	2	8	no	—
317	C₄²	—	2	8	no	—
318	C₄²	—	2	8	no	—
319	C₄²	#127	1	4	yes	—
320	C₄²	#127	1	4	yes	—
321	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
322	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
323	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
324	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
325	C₂³	—	2	2	no	—
326	C₂³	—	2	2	no	—
327	C₂³	—	2	2	no	—
328	C₂³	—	4	4	no	—
329	C₂³	—	4	4	no	—
330	C₂³	—	4	8	no	—
331	C₂³	—	4	8	no	—
332	C₂³	—	4	8	no	—
333	C₂³	—	4	8	no	—
334	C₂³	—	4	8	no	—
335	C₂³	—	4	8	no	—
336	C₂³	C₂×#127	1	2	yes	—
337	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
338	Q₈	—	4	8	no	—
339	Q₈	—	4	8	no	—
340	Q₈	—	8	8	no	—
341	D₄	—	4	8	no	—
342	D₄	—	4	8	no	—
343	D₄	—	4	8	no	—
344	D₄	—	4	8	no	—
345	D₄	—	8	16	no	—
346	D₄	—	8	16	no	—
347	D₄	—	8	8	no	—
348	D₄	—	8	8	no	—
349	D₄	—	8	8	no	—
350	D₄	—	8	8	no	—
351	D₄	—	16	32	no	—
352	C₂×C₄	—	2	2	no	—
353	C₂×C₄	—	2	2	no	—
354	C₂×C₄	—	2	2	no	—
355	C₂×C₄	—	2	8	no	—
356	C₂×C₄	—	2	8	no	—
357	C₂×C₄	—	2	4	no	—
358	C₂×C₄	—	2	4	no	—
359	C₂×C₄	—	2	8	no	—
360	C₂×C₄	—	2	8	no	—
361	C₂×C₄	—	2	8	no	—
362	C₂×C₄	—	4	4	no	—
363	C₂×C₄	—	4	4	no	—
364	C₂×C₄	—	4	8	no	—
365	C₂×C₄	—	4	8	no	—
366	C₂×C₄	—	8	16	no	—
367	C₂×C₄	—	8	16	no	—
368	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	#575	1	4	yes	—
374	C₂×C₄	#576	1	4	yes	—
375	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
378	C₈	—	2	4	no	—
379	C₈	—	2	8	no	—
380	C₈	#535	1	8	yes	—
381	C₂²	—	2	2	no	—
382	C₂²	—	2	2	no	—
383	C₂²	—	2	2	no	—
384	C₂²	—	4	4	no	—
385	C₂²	—	8	4	no	—
386	C₂²	—	8	4	no	—
387	C₂²	—	8	16	no	—
388	C₂²	—	8	16	no	—
389	C₂²	—	8	4	no	—
390	C₂²	—	8	4	no	—
391	C₂²	—	8	4	no	—
392	C₂²	—	8	4	no	—
393	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
394	C₂²	#3498	1	2	yes	—
395	C₂²	C₂×#575	1	2	yes	—
396	C₂²	C₂×#576	1	2	yes	—
397	C₄	—	2	2	no	—
398	C₄	—	2	2	no	—
399	C₄	—	2	2	no	—
400	C₄	—	4	8	no	—
401	C₄	—	8	4	no	—
402	C₄	—	8	4	no	—
403	C₄	#3150	1	4	yes	—
404	C₄	#3155	1	4	yes	—
405	C₄	C₂×#535	1	2	yes	—
406	C₄	#3498	1	2	yes	—
407	C₂	—	4	2	no	—
408	C₂	—	16	4	no	—
409	C₂	—	16	4	no	—
410	C₂	#35274	1	1	yes	characteristic
411	C₂	C₂×#3150	1	1	yes	characteristic
412	C₂	C₂×#3155	1	1	yes	characteristic
413	C₂	#62426	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3207	C₂	semidirect
2. C₂×#3169	C₂	semidirect
3. C₂×#3147	C₂	semidirect
4. #35293	C₂	semidirect
5. #33304	C₂	semidirect
6. #33252	C₂	semidirect
7. #30261	C₂	semidirect
8. #30258	C₂	semidirect
9. #28467	C₂	semidirect
10. #25785	C₂	semidirect
11. #20473	C₂	semidirect
106. #431	D₄	semidirect
114. C₂×C₄×C₈	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3207	2
C₂×#3169	2
C₂×#3147	2
#35293	2
#33304	2
#33252	2
#30261	2
#30258	2
#28467	2
#25785	2
#20473	2