Subgroups — #6495002

Order 512.

1536 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 361 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36645	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#36640	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#33316	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#33297	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#30307	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#29214	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#28695	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#27954	C₂	1	4	yes	maximal
9	#25817	C₂	1	4	yes	maximal
10	#21984	C₂	1	4	yes	maximal
11	#20463	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#501	C₂²	1	8	yes	—
14	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
15	#2868	C₂²	1	2	yes	—
16	#2864	—	2	2	no	—
17	#2862	C₂²	1	2	yes	—
18	#2859	C₂²	1	2	yes	—
19	#2859	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2859	C₂²	1	2	yes	—
21	#2859	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2859	C₂²	1	2	yes	—
23	#2857	—	2	2	no	—
24	#2857	—	2	2	no	—
25	#2851	—	2	2	no	—
26	#2851	C₂²	1	2	yes	—
27	#2851	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
29	C₄×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
30	C₄×#125	—	2	2	no	—
31	C₄×#125	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×#125	C₂²	1	2	yes	—
33	#2296	—	2	2	no	—
34	#2285	C₂²	1	2	yes	—
35	#2285	C₂²	1	2	yes	—
36	#2285	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#2085	C₂²	1	16	yes	—
39	#2059	C₂²	1	16	yes	—
40	#1993	C₂²	1	8	yes	—
41	#1992	C₂²	1	8	yes	—
42	#1949	C₂²	1	16	yes	—
43	#1854	C₂²	1	16	yes	—
44	#1847	C₂²	1	8	yes	—
45	#1845	C₂²	1	4	yes	—
46	#1844	C₂²	1	4	yes	—
47	#1834	C₂²	1	8	yes	—
48	#1767	C₂²	1	2	yes	—
49	#1767	C₂²	1	2	yes	—
50	#1749	C₂²	1	2	yes	—
51	#1749	C₂²	1	2	yes	—
52	#1744	C₂²	1	2	yes	—
53	C₄×#97	C₂²	1	2	yes	—
54	#533	—	4	8	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂×#125	—	2	2	no	—
59	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
63	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
64	C₂×#117	—	2	2	no	—
65	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
67	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	#501	—	4	16	no	—
72	#431	Q₈	1	16	yes	complemented
73	C₂×#107	C₂³	1	16	yes	—
74	C₂×#106	C₂³	1	16	yes	—
75	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
80	#391	—	2	4	no	—
81	#391	—	2	4	no	—
82	#389	—	2	2	no	—
83	#389	—	2	2	no	—
84	#389	—	2	4	no	—
85	#389	—	2	4	no	—
86	#389	—	2	4	no	—
87	#389	—	2	4	no	—
88	#389	—	2	2	no	—
89	#389	—	2	2	no	—
90	#389	—	2	2	no	—
91	#389	—	2	2	no	—
92	#389	C₂³	1	4	yes	—
93	#389	C₂³	1	4	yes	—
94	#387	—	2	4	no	—
95	#387	—	2	4	no	—
96	#387	—	2	4	no	—
97	#387	—	2	4	no	—
98	#385	—	2	4	no	—
99	#385	—	2	4	no	—
100	#384	—	2	2	no	—
101	#384	—	2	2	no	—
102	#384	C₂³	1	2	yes	—
103	#384	C₂³	1	4	yes	—
104	#384	C₂³	1	2	yes	—
105	#384	C₂³	1	4	yes	—
106	#382	—	2	2	no	—
107	#382	—	2	2	no	—
108	#382	C₂³	1	2	yes	—
109	#382	C₂³	1	2	yes	—
110	#382	C₂³	1	4	yes	—
111	#382	C₂³	1	4	yes	—
112	#380	—	2	2	no	—
113	#380	—	2	2	no	—
114	#380	—	2	2	no	—
115	#380	—	2	4	no	—
116	#380	C₂³	1	4	yes	—
117	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
118	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
119	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
120	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
121	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
122	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
123	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
124	C₄³	D₄	1	2	yes	—
125	C₄³	D₄	1	2	yes	—
126	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
128	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
129	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
130	#340	C₂³	1	32	yes	—
131	#336	C₂³	1	4	yes	—
132	#336	C₂³	1	4	yes	—
133	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
134	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
140	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
141	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
142	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
143	#125	—	2	8	no	—
144	#125	—	2	8	no	—
145	#125	—	4	8	no	—
146	#125	—	4	8	no	—
147	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
148	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
149	#117	—	4	8	no	—
150	#117	—	4	8	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
166	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
174	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
175	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	8	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
195	#107	—	4	16	no	—
196	#106	—	4	16	no	—
197	C₄⋊C₈	C₂×Q₈	1	16	yes	—
198	C₂²⋊C₈	C₂×Q₈	1	16	yes	—
199	#97	—	2	8	no	—
200	#97	—	2	8	no	—
201	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	16	yes	—
202	#95	—	2	8	no	—
203	#95	—	2	4	no	—
204	#95	—	2	4	no	—
205	#95	—	2	4	no	—
206	#95	—	2	4	no	—
207	#95	—	2	4	no	—
208	#95	—	2	4	no	—
209	#95	—	2	4	no	—
210	#95	—	2	4	no	—
211	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
213	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
241	C₂×C₈	—	2	8	no	—
242	C₂×C₈	—	2	8	no	—
243	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	16	yes	—
244	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
263	C₄²	—	2	4	no	—
264	C₄²	—	2	4	no	—
265	C₄²	—	2	4	no	—
266	C₄²	—	2	4	no	—
267	C₄²	—	2	4	no	—
268	C₄²	—	2	4	no	—
269	C₄²	—	2	2	no	—
270	C₄²	—	2	2	no	—
271	C₄²	—	4	2	no	—
272	C₄²	—	4	2	no	—
273	C₄²	—	4	2	no	—
274	C₄²	—	4	2	no	—
275	C₄²	—	4	8	no	—
276	C₄²	—	4	8	no	—
277	C₄²	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
278	C₄²	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
279	C₄²	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
280	C₄²	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
281	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
282	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
283	C₂³	—	2	1	no	—
284	C₂³	—	2	1	no	—
285	C₂³	—	2	2	no	—
286	C₂³	—	2	2	no	—
287	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
288	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
289	Q₈	—	8	16	no	—
290	C₂×C₄	—	2	1	no	—
291	C₂×C₄	—	2	1	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	8	no	—
299	C₂×C₄	—	2	8	no	—
300	C₂×C₄	—	2	8	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	4	8	no	—
308	C₂×C₄	—	4	8	no	—
309	C₂×C₄	—	4	8	no	—
310	C₂×C₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	4	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	8	no	—
317	C₂×C₄	—	4	8	no	—
318	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	#535	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	#536	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	#575	1	4	yes	—
326	C₂×C₄	#575	1	4	yes	—
327	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
330	C₈	—	2	16	no	—
331	C₂²	—	2	2	no	—
332	C₂²	—	2	2	no	—
333	C₂²	—	2	2	no	—
334	C₂²	—	4	2	no	—
335	C₂²	—	4	2	no	—
336	C₂²	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	C₂×#575	1	2	yes	—
340	C₂²	C₂×#575	1	2	yes	—
341	C₄	—	2	4	no	—
342	C₄	—	2	4	no	—
343	C₄	—	2	2	no	—
344	C₄	—	2	2	no	—
345	C₄	—	2	2	no	—
346	C₄	—	4	2	no	—
347	C₄	—	4	2	no	—
348	C₄	—	8	4	no	—
349	C₄	—	8	8	no	—
350	C₄	—	8	4	no	—
351	C₄	#3162	1	4	yes	—
352	C₄	#3166	1	4	yes	—
353	C₄	#3503	1	4	yes	—
354	C₂	—	4	2	no	—
355	C₂	#35281	1	1	yes	characteristic
356	C₂	C₂×#3162	1	1	yes	characteristic
357	C₂	C₂×#3166	1	1	yes	characteristic
358	C₂	#60801	1	2	yes	—
359	C₂	#60862	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #33316	C₂	semidirect
4. #33297	C₂	semidirect
5. #30307	C₂	semidirect
6. #29214	C₂	semidirect
7. #28695	C₂	semidirect
72. #431	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36645	2
#36640	2
#33316	2
#33297	2
#30307	2
#29214	2
#28695	2
#27954	2
#25817	2
#21984	2
#20463	2