Subgroups — #6495064

Order 512.

2122 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 343 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36640	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2858	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#33226	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#30219	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#28752	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#25859	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#21804	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#21803	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₄×#431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#124	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#488	C₂²	1	16	yes	complemented
14	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
15	#2864	—	2	2	no	—
16	#2859	C₂²	1	2	yes	complemented
17	#2859	C₂²	1	2	yes	complemented
18	#2858	—	2	2	no	—
19	#2858	—	2	2	no	—
20	#2858	C₂²	1	2	yes	—
21	#2858	C₂²	1	4	yes	—
22	#2858	C₂²	1	2	yes	—
23	#2851	—	2	2	no	—
24	#2851	C₂²	1	4	yes	—
25	C₄×#125	—	2	2	no	—
26	C₄×#125	C₂²	1	4	yes	complemented
27	#2296	—	2	2	no	—
28	C₂×#390	—	2	2	no	—
29	C₂×#390	—	2	2	no	—
30	#2285	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#2042	C₂²	1	32	yes	complemented
33	#1982	C₂²	1	8	yes	—
34	#1981	C₂²	1	8	yes	complemented
35	#1958	C₂²	1	16	yes	complemented
36	#1957	C₂²	1	8	yes	—
37	#1956	C₂²	1	8	yes	complemented
38	#1787	C₂²	1	8	yes	—
39	#1786	C₂²	1	8	yes	—
40	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	complemented
41	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
42	#1744	C₂²	1	2	yes	complemented
43	C₄²×C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
44	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
46	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
47	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×#127	—	2	1	no	—
54	C₂×#127	—	2	1	no	—
55	C₂×#127	—	2	8	no	—
56	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×#125	—	2	2	no	—
59	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂×#124	—	2	8	no	—
61	C₂×#124	—	4	16	no	—
62	C₂×#124	C₂³	1	8	yes	—
63	C₂×#124	C₂³	1	8	yes	—
64	C₂×#117	—	2	2	no	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
67	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
68	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
70	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	#488	—	4	32	no	—
73	#431	—	2	8	no	—
74	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂×#103	C₂³	1	32	yes	—
76	C₂×#102	C₂³	1	32	yes	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	8	yes	—
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
80	#390	—	2	4	no	—
81	#390	—	2	8	no	—
82	#390	—	2	4	no	—
83	#390	—	2	4	no	—
84	#390	—	2	4	no	—
85	#390	—	2	8	no	—
86	#389	—	2	4	no	—
87	#389	—	2	4	no	—
88	#389	—	2	4	no	—
89	#389	C₂³	1	8	yes	—
90	#387	—	2	8	no	—
91	#387	—	2	8	no	—
92	#385	—	2	8	no	—
93	#384	C₂³	1	4	yes	—
94	#382	—	2	2	no	—
95	#382	—	2	2	no	—
96	#382	C₂³	1	4	yes	—
97	#380	—	2	2	no	—
98	#380	C₂³	1	4	yes	—
99	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
100	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
101	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
102	C₄³	D₄	1	2	yes	—
103	C₄³	D₄	1	2	yes	—
104	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
105	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	#336	C₂³	1	8	yes	—
108	C₂⁵	—	2	2	no	—
109	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
111	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
112	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
113	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
119	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
120	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
121	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
122	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
123	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
124	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
125	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
126	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
127	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
131	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
132	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
133	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
134	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
135	#127	—	2	8	no	—
136	#127	—	2	8	no	—
137	#127	—	4	4	no	—
138	#127	—	4	4	no	—
139	#125	—	2	16	no	—
140	#125	—	4	8	no	—
141	#124	—	2	32	no	—
142	#124	—	4	16	no	—
143	#124	—	4	32	no	—
144	#117	—	4	8	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄²	#41	1	8	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
178	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
179	#103	—	4	32	no	—
180	#102	—	4	32	no	—
181	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
182	C₄×C₈	—	2	8	no	—
183	C₄×C₈	—	2	16	no	—
184	#95	—	2	4	no	—
185	#95	—	2	8	no	—
186	#95	—	2	8	no	—
187	#95	—	2	4	no	—
188	C₂⁴	—	2	4	no	—
189	C₂⁴	—	4	8	no	—
190	C₂⁴	—	4	8	no	—
191	C₂⁴	—	4	4	no	—
192	C₂⁴	—	4	8	no	—
193	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
195	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
196	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
197	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
198	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
199	C₂×D₄	—	2	8	no	—
200	C₂×D₄	—	2	16	no	—
201	C₂×D₄	—	4	8	no	—
202	C₂×D₄	—	4	8	no	—
203	C₂×D₄	—	4	4	no	—
204	C₂×D₄	—	4	4	no	—
205	C₂×D₄	—	4	4	no	—
206	C₂×D₄	—	4	4	no	—
207	C₂×D₄	—	4	4	no	—
208	C₂×D₄	—	4	8	no	—
209	C₂×D₄	—	4	8	no	—
210	C₂×D₄	—	4	8	no	—
211	C₂×D₄	—	8	16	no	—
212	C₂×D₄	—	8	16	no	—
213	C₂×D₄	—	8	16	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	#135	1	8	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₈	—	2	8	no	—
236	C₂×C₈	—	2	16	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
249	C₄²	—	2	8	no	—
250	C₄²	—	2	4	no	—
251	C₄²	—	2	8	no	—
252	C₄²	—	2	4	no	—
253	C₄²	—	2	4	no	—
254	C₄²	—	2	4	no	—
255	C₄²	—	2	4	no	—
256	C₄²	—	4	4	no	—
257	C₄²	—	4	8	no	—
258	C₄²	#124	1	4	yes	—
259	C₄²	#124	1	4	yes	—
260	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
261	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
262	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
263	C₂³	—	2	2	no	—
264	C₂³	—	2	2	no	—
265	C₂³	—	4	4	no	—
266	C₂³	—	4	8	no	—
267	C₂³	—	4	8	no	—
268	C₂³	—	4	8	no	—
269	C₂³	—	8	8	no	—
270	C₂³	—	8	8	no	—
271	C₂³	—	8	32	no	—
272	C₂³	—	8	8	no	—
273	C₂³	C₂×#124	1	2	yes	—
274	C₂³	C₂×#135	1	4	yes	—
275	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
276	Q₈	—	4	16	no	—
277	Q₈	—	8	8	no	—
278	D₄	—	4	16	no	—
279	D₄	—	8	8	no	—
280	D₄	—	8	8	no	—
281	D₄	—	8	8	no	—
282	D₄	—	8	8	no	—
283	D₄	—	8	8	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	8	no	—
289	C₂×C₄	—	2	8	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	4	16	no	—
294	C₂×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂×C₄	—	4	8	no	—
296	C₂×C₄	—	4	8	no	—
297	C₂×C₄	—	4	8	no	—
298	C₂×C₄	—	4	8	no	—
299	C₂×C₄	—	8	8	no	—
300	C₂×C₄	#488	1	16	yes	complemented
301	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	#535	1	8	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
309	C₂×C₄	#575	1	4	yes	—
310	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
312	C₈	—	4	8	no	—
313	C₂²	—	2	8	no	—
314	C₂²	—	2	2	no	—
315	C₂²	—	2	2	no	—
316	C₂²	—	8	16	no	—
317	C₂²	—	8	4	no	—
318	C₂²	—	8	4	no	—
319	C₂²	—	8	4	no	—
320	C₂²	—	16	16	no	—
321	C₂²	C₂×#488	1	4	yes	—
322	C₂²	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	C₂×#535	1	2	yes	—
324	C₂²	C₂²×#135	1	2	yes	—
325	C₂²	C₂×#575	1	2	yes	—
326	C₄	—	2	8	no	—
327	C₄	—	2	2	no	—
328	C₄	—	2	2	no	—
329	C₄	—	4	4	no	—
330	C₄	—	8	8	no	—
331	C₄	—	8	4	no	—
332	C₄	C₂×#488	1	4	yes	—
333	C₄	C₂×#488	1	4	yes	—
334	C₄	#3140	1	4	yes	—
335	C₄	#3508	1	4	yes	—
336	C₂	—	2	4	no	—
337	C₂	—	16	4	no	—
338	C₂	#35285	1	1	yes	characteristic
339	C₂	C₂²×#488	1	1	yes	characteristic
340	C₂	C₂×#3140	1	1	yes	characteristic
341	C₂	#60782	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #36640	C₂	semidirect
3. #33226	C₂	semidirect
4. #30219	C₂	semidirect
5. #28752	C₂	semidirect
6. #25859	C₂	semidirect
7. #21804	C₂	semidirect
9. C₄×#431	C₂	semidirect
13. C₂×#488	C₂²	semidirect
16. #2859	C₂²	semidirect
17. #2859	C₂²	semidirect
26. C₄×#125	C₂²	semidirect
32. #2042	C₂²	semidirect
34. #1981	C₂²	semidirect
35. #1958	C₂²	semidirect
37. #1956	C₂²	semidirect
40. C₄×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
42. #1744	C₂²	semidirect
43. C₄²×C₈	C₂²	semidirect
300. C₂×C₄	#488	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36640	2
C₂×#2858	2
#33226	2
#30219	2
#28752	2
#25859	2
#21804	2
#21803	2
C₄×#431	2