Subgroups — #6495122

Order 512.

1744 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 437 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36631	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2859	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#33291	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#33226	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#30207	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#29144	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#29143	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#28720	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#27973	C₂	1	2	yes	maximal
10	#27972	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#25907	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#21861	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
13	C₄×#431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂×#529	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#125	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#488	C₂²	1	8	yes	—
17	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
18	#2861	C₂²	1	2	yes	—
19	#2860	—	2	2	no	—
20	#2859	—	2	2	no	—
21	#2859	—	2	2	no	—
22	#2859	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2859	C₂²	1	2	yes	—
24	#2859	C₂²	1	2	yes	—
25	#2859	C₂²	1	2	yes	—
26	#2859	C₂²	1	2	yes	—
27	#2858	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#2857	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#2856	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#2854	—	2	2	no	—
31	#2850	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₄×#124	C₂²	1	2	yes	—
35	C₄×#121	—	2	2	no	—
36	#2293	—	2	2	no	—
37	C₂×#389	—	2	2	no	—
38	C₂×#389	—	2	2	no	—
39	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#2072	C₂²	1	8	yes	—
43	#2071	C₂²	1	8	yes	—
44	#2026	C₂²	1	8	yes	—
45	#2025	C₂²	1	8	yes	—
46	#1991	C₂²	1	8	yes	—
47	#1991	C₂²	1	8	yes	—
48	#1958	C₂²	1	8	yes	—
49	#1957	C₂²	1	4	yes	—
50	#1956	C₂²	1	4	yes	—
51	#1874	C₂²	1	8	yes	—
52	#1872	C₂²	1	8	yes	—
53	#1834	C₂²	1	4	yes	—
54	#1834	C₂²	1	4	yes	—
55	#1805	C₂²	1	8	yes	—
56	#1804	C₂²	1	8	yes	—
57	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
58	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
59	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
60	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
61	#1744	C₂²	1	2	yes	—
62	C₄²×C₈	C₂²	1	2	yes	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#529	—	2	16	no	—
66	C₂×#126	—	2	2	no	—
67	C₂×#125	—	2	4	no	—
68	C₂×#125	—	4	8	no	—
69	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂×#125	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂×#124	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×#124	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×#123	—	2	2	no	—
75	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×#121	—	2	2	no	—
77	C₂×#121	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×#117	—	2	2	no	—
83	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
84	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
85	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
86	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
88	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
89	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	#488	—	4	16	no	—
93	#431	—	2	8	no	—
94	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
96	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
97	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
101	#391	C₂³	1	2	yes	—
102	#391	C₂³	1	2	yes	—
103	#390	—	2	2	no	—
104	#390	—	2	2	no	—
105	#390	—	2	2	no	—
106	#390	—	2	2	no	—
107	#390	C₂³	1	2	yes	—
108	#390	C₂³	1	2	yes	—
109	#389	—	2	2	no	—
110	#389	—	2	2	no	—
111	#389	—	2	2	no	—
112	#389	—	2	4	no	—
113	#389	—	2	4	no	—
114	#389	—	2	4	no	—
115	#389	—	2	4	no	—
116	#389	—	2	4	no	—
117	#389	—	2	4	no	—
118	#389	—	2	4	no	—
119	#389	—	2	4	no	—
120	#389	—	2	2	no	—
121	#388	—	2	4	no	—
122	#388	—	2	4	no	—
123	#388	—	2	4	no	—
124	#388	—	2	4	no	—
125	#386	—	2	4	no	—
126	#384	—	2	2	no	—
127	#384	—	2	2	no	—
128	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
129	#384	C₂³	1	1	yes	characteristic
130	#384	C₂³	1	4	yes	—
131	#384	C₂³	1	4	yes	—
132	#382	—	2	2	no	—
133	#382	—	2	2	no	—
134	#382	C₂³	1	4	yes	—
135	#382	C₂³	1	2	yes	—
136	#382	C₂³	1	4	yes	—
137	#380	—	2	2	no	—
138	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×#95	—	2	2	no	—
141	C₂×#95	—	2	2	no	—
142	C₄³	D₄	1	2	yes	—
143	C₄³	D₄	1	2	yes	—
144	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
145	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
146	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
147	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
148	#340	C₂³	1	16	yes	—
149	#340	C₂³	1	16	yes	—
150	#336	C₂³	1	4	yes	—
151	#336	C₂³	1	4	yes	—
152	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
153	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
154	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
155	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
156	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
157	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
158	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
164	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
165	#127	—	2	4	no	—
166	#126	—	4	8	no	—
167	#125	—	2	8	no	—
168	#125	—	2	16	no	—
169	#125	—	4	8	no	—
170	#125	—	4	16	no	—
171	#124	—	2	8	no	—
172	#124	—	2	8	no	—
173	#123	—	4	8	no	—
174	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
175	#121	—	2	8	no	—
176	#121	—	4	8	no	—
177	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
178	C₄×D₄	—	2	8	no	—
179	C₄×D₄	—	4	8	no	—
180	C₄×D₄	—	4	8	no	—
181	#117	—	4	8	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
201	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
202	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
203	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
205	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
206	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
211	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
212	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
213	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
214	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
215	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
216	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
217	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
218	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
219	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
220	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
221	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
222	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
223	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
224	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
225	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
226	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂×C₄²	#41	1	8	yes	—
229	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
230	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
231	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
232	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
233	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
234	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
235	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
236	#103	—	4	16	no	—
237	#102	—	4	16	no	—
238	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
239	C₄×C₈	—	2	8	no	—
240	C₄×C₈	—	2	8	no	—
241	C₄×C₈	—	2	8	no	—
242	#95	—	2	4	no	—
243	#95	—	2	4	no	—
244	#95	—	2	4	no	—
245	#95	—	2	4	no	—
246	#95	—	2	4	no	—
247	#95	—	2	4	no	—
248	#95	—	2	4	no	—
249	C₂⁴	—	2	2	no	—
250	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
252	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
253	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
254	C₂×D₄	—	2	4	no	—
255	C₂×D₄	—	2	4	no	—
256	C₂×D₄	—	2	4	no	—
257	C₂×D₄	—	4	4	no	—
258	C₂×D₄	—	4	8	no	—
259	C₂×D₄	—	4	4	no	—
260	C₂×D₄	—	4	4	no	—
261	C₂×D₄	—	4	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
273	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
278	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
279	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
280	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
281	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
282	C₂²×C₄	#135	1	8	yes	—
283	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
284	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
286	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
288	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
289	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
290	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
291	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
292	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
293	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₈	—	2	8	no	—
295	C₂×C₈	—	2	8	no	—
296	C₂×C₈	—	2	8	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
308	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
309	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
310	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
311	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
312	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
313	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
322	C₄²	—	2	4	no	—
323	C₄²	—	2	4	no	—
324	C₄²	—	2	4	no	—
325	C₄²	—	2	4	no	—
326	C₄²	—	2	4	no	—
327	C₄²	—	2	4	no	—
328	C₄²	—	2	4	no	—
329	C₄²	—	2	4	no	—
330	C₄²	—	2	2	no	—
331	C₄²	—	2	2	no	—
332	C₄²	—	4	2	no	—
333	C₄²	—	4	2	no	—
334	C₄²	—	4	4	no	—
335	C₄²	#124	1	4	yes	—
336	C₄²	#124	1	4	yes	—
337	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
338	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
339	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
340	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
341	C₂³	—	2	1	no	—
342	C₂³	—	2	1	no	—
343	C₂³	—	2	2	no	—
344	C₂³	—	4	2	no	—
345	C₂³	—	4	2	no	—
346	C₂³	—	4	2	no	—
347	C₂³	—	4	4	no	—
348	C₂³	—	4	4	no	—
349	C₂³	C₂×#124	1	2	yes	—
350	C₂³	C₂×#135	1	4	yes	—
351	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
352	Q₈	—	4	8	no	—
353	D₄	—	4	8	no	—
354	D₄	—	8	8	no	—
355	D₄	—	8	8	no	—
356	C₂×C₄	—	2	8	no	—
357	C₂×C₄	—	2	1	no	—
358	C₂×C₄	—	2	2	no	—
359	C₂×C₄	—	2	1	no	—
360	C₂×C₄	—	2	2	no	—
361	C₂×C₄	—	2	2	no	—
362	C₂×C₄	—	2	2	no	—
363	C₂×C₄	—	2	2	no	—
364	C₂×C₄	—	2	2	no	—
365	C₂×C₄	—	2	2	no	—
366	C₂×C₄	—	2	2	no	—
367	C₂×C₄	—	2	16	no	—
368	C₂×C₄	—	2	8	no	—
369	C₂×C₄	—	2	2	no	—
370	C₂×C₄	—	2	2	no	—
371	C₂×C₄	—	2	2	no	—
372	C₂×C₄	—	4	4	no	—
373	C₂×C₄	—	4	8	no	—
374	C₂×C₄	—	4	2	no	—
375	C₂×C₄	—	4	2	no	—
376	C₂×C₄	—	4	2	no	—
377	C₂×C₄	—	4	2	no	—
378	C₂×C₄	—	4	8	no	—
379	C₂×C₄	—	4	2	no	—
380	C₂×C₄	—	4	4	no	—
381	C₂×C₄	—	4	8	no	—
382	C₂×C₄	—	4	4	no	—
383	C₂×C₄	—	4	8	no	—
384	C₂×C₄	—	8	8	no	—
385	C₂×C₄	—	8	16	no	—
386	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
389	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
390	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	#535	1	4	yes	—
392	C₂×C₄	#536	1	4	yes	—
393	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
394	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
395	C₂×C₄	#575	1	4	yes	—
396	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
397	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
398	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
399	C₈	—	4	8	no	—
400	C₂²	—	2	4	no	—
401	C₂²	—	2	4	no	—
402	C₂²	—	2	2	no	—
403	C₂²	—	2	2	no	—
404	C₂²	—	8	4	no	—
405	C₂²	—	8	4	no	—
406	C₂²	—	8	2	no	—
407	C₂²	—	8	2	no	—
408	C₂²	—	8	2	no	—
409	C₂²	#3131	1	4	yes	—
410	C₂²	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
411	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
412	C₂²	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
413	C₂²	C₂²×#135	1	2	yes	—
414	C₂²	C₂×#575	1	2	yes	—
415	C₄	—	2	4	no	—
416	C₄	—	2	4	no	—
417	C₄	—	2	2	no	—
418	C₄	—	2	2	no	—
419	C₄	—	2	2	no	—
420	C₄	—	2	2	no	—
421	C₄	—	2	2	no	—
422	C₄	—	4	2	no	—
423	C₄	—	8	8	no	—
424	C₄	—	8	2	no	—
425	C₄	—	8	2	no	—
426	C₄	—	8	2	no	—
427	C₄	#3232	1	8	yes	—
428	C₄	#3511	1	4	yes	—
429	C₂	—	2	4	no	—
430	C₂	—	16	2	no	—
431	C₂	#35289	1	1	yes	characteristic
432	C₂	C₂×#3131	1	1	yes	characteristic
433	C₂	#60618	1	1	yes	characteristic
434	C₂	#60782	1	2	yes	—
435	C₂	C₂×#3232	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	#2856	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2859	C₂	semidirect
3. #33291	C₂	semidirect
4. #33226	C₂	semidirect
5. #30207	C₂	semidirect
6. #29144	C₂	semidirect
7. #29143	C₂	semidirect
8. #28720	C₂	semidirect
10. #27972	C₂	semidirect
11. #25907	C₂	semidirect
12. #21861	C₂	semidirect
13. C₄×#431	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36631	2
C₂×#2859	2
#33291	2
#33226	2
#30207	2
#29144	2
#29143	2
#28720	2
#27973	2
#27972	2
#25907	2
#21861	2
C₄×#431	2