Subgroups — #6495127

Order 512.

2074 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 396 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36644	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2859	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#33294	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#33231	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#30204	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#29149	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#28724	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#27982	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#25913	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#21859	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#20463	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#532	—	2	2	no	—
13	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#125	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#490	C₂²	1	8	yes	—
16	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
17	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2859	—	2	2	no	—
20	#2859	—	2	2	no	—
21	#2859	C₂²	1	2	yes	—
22	#2859	C₂²	1	2	yes	—
23	#2859	C₂²	1	2	yes	—
24	#2859	C₂²	1	2	yes	—
25	#2858	—	2	2	no	—
26	#2858	C₂²	1	2	yes	—
27	#2856	—	2	2	no	—
28	#2856	C₂²	1	2	yes	—
29	#2856	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄×#127	—	2	2	no	—
31	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#389	—	2	2	no	—
34	C₂×#389	—	2	2	no	—
35	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#2073	C₂²	1	16	yes	—
39	#2025	C₂²	1	16	yes	—
40	#1992	C₂²	1	8	yes	—
41	#1990	C₂²	1	8	yes	—
42	#1961	C₂²	1	8	yes	—
43	#1957	C₂²	1	8	yes	—
44	#1874	C₂²	1	16	yes	—
45	#1836	C₂²	1	8	yes	—
46	#1802	C₂²	1	16	yes	—
47	#1767	C₂²	1	2	yes	—
48	#1767	C₂²	1	2	yes	—
49	#1749	C₂²	1	2	yes	—
50	#1749	C₂²	1	2	yes	—
51	#1744	C₂²	1	2	yes	—
52	C₄×#97	C₂²	1	2	yes	—
53	C₂²×#41	—	2	2	no	—
54	#532	—	2	16	no	—
55	#532	—	4	16	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×#127	—	2	2	no	—
59	C₂×#127	—	2	2	no	—
60	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×#125	—	2	4	no	—
64	C₂×#125	—	4	8	no	—
65	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×#124	—	2	2	no	—
68	C₂×#124	—	2	4	no	—
69	C₂×#121	—	2	2	no	—
70	C₂×#121	—	2	4	no	—
71	C₂×#121	—	2	4	no	—
72	C₂×#121	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
75	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
76	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
78	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
79	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
80	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#490	—	4	16	no	—
87	#431	—	2	8	no	—
88	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂×#102	C₂³	1	32	yes	—
90	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
94	#390	—	2	4	no	—
95	#390	—	2	4	no	—
96	#390	—	2	4	no	—
97	#390	—	2	4	no	—
98	#390	—	2	4	no	—
99	#390	C₂³	1	4	yes	—
100	#390	C₂³	1	4	yes	—
101	#389	—	2	4	no	—
102	#389	—	2	4	no	—
103	#389	—	2	4	no	—
104	#389	—	2	4	no	—
105	#389	—	2	4	no	—
106	#389	—	2	4	no	—
107	#389	—	2	4	no	—
108	#389	—	2	4	no	—
109	#384	—	2	2	no	—
110	#384	—	2	2	no	—
111	#384	—	2	2	no	—
112	#384	C₂³	1	2	yes	—
113	#384	C₂³	1	2	yes	—
114	#384	C₂³	1	4	yes	—
115	#384	C₂³	1	4	yes	—
116	#382	—	2	4	no	—
117	#382	C₂³	1	4	yes	—
118	#382	C₂³	1	4	yes	—
119	C₂×#95	—	2	4	no	—
120	C₄³	D₄	1	2	yes	—
121	C₄³	D₄	1	2	yes	—
122	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
123	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
124	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
125	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
126	#340	C₂³	1	32	yes	—
127	#336	C₂³	1	4	yes	—
128	#336	C₂³	1	4	yes	—
129	C₂×#41	—	4	8	no	—
130	C₂×#41	—	4	16	no	—
131	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
132	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
133	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
134	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
135	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
136	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
137	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
138	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
139	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
140	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
148	#127	—	2	8	no	—
149	#127	—	2	8	no	—
150	#127	—	2	8	no	—
151	#127	—	4	8	no	—
152	#127	—	4	8	no	—
153	#125	—	2	16	no	—
154	#125	—	4	8	no	—
155	#125	—	4	16	no	—
156	#124	—	4	16	no	—
157	#124	—	4	8	no	—
158	#121	—	2	16	no	—
159	#121	—	4	16	no	—
160	#121	—	4	16	no	—
161	#121	—	4	8	no	—
162	C₄×D₄	—	2	16	no	—
163	C₄×D₄	—	4	16	no	—
164	C₄×D₄	—	4	16	no	—
165	C₄×D₄	—	4	8	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
195	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
197	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
198	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
199	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₄²	#41	1	8	yes	—
203	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
209	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
210	#102	—	4	32	no	—
211	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
212	#97	—	2	8	no	—
213	#97	—	2	8	no	—
214	C₄×C₈	—	2	8	no	—
215	#95	—	2	8	no	—
216	#95	—	2	8	no	—
217	C₂⁴	—	2	4	no	—
218	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
219	#41	—	8	32	no	—
220	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
221	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
222	C₂×D₄	—	2	8	no	—
223	C₂×D₄	—	2	8	no	—
224	C₂×D₄	—	2	8	no	—
225	C₂×D₄	—	4	8	no	—
226	C₂×D₄	—	4	8	no	—
227	C₂×D₄	—	4	8	no	—
228	C₂×D₄	—	4	8	no	—
229	C₂×D₄	—	4	8	no	—
230	C₂×D₄	—	4	16	no	—
231	C₂×D₄	—	4	4	no	—
232	C₂×D₄	—	4	4	no	—
233	C₂×D₄	—	4	8	no	—
234	C₂×D₄	—	4	8	no	—
235	C₂×D₄	—	4	8	no	—
236	C₂×D₄	—	4	8	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
253	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₈	—	2	8	no	—
268	C₂×C₈	—	2	8	no	—
269	C₂×C₈	—	2	8	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
281	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
286	C₄²	—	2	4	no	—
287	C₄²	—	2	4	no	—
288	C₄²	—	2	4	no	—
289	C₄²	—	2	4	no	—
290	C₄²	—	2	4	no	—
291	C₄²	—	2	4	no	—
292	C₄²	—	2	4	no	—
293	C₄²	—	2	4	no	—
294	C₄²	—	2	2	no	—
295	C₄²	—	2	2	no	—
296	C₄²	—	4	2	no	—
297	C₄²	—	4	2	no	—
298	C₄²	#124	1	4	yes	—
299	C₄²	#124	1	4	yes	—
300	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
301	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
302	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
303	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
304	C₂³	—	2	1	no	—
305	C₂³	—	2	1	no	—
306	C₂³	—	2	2	no	—
307	C₂³	—	4	4	no	—
308	C₂³	—	4	4	no	—
309	C₂³	—	4	4	no	—
310	C₂³	—	4	8	no	—
311	C₂³	—	4	8	no	—
312	C₂³	C₂×#124	1	2	yes	—
313	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
314	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
315	Q₈	—	8	8	no	—
316	D₄	—	4	16	no	—
317	D₄	—	8	16	no	—
318	D₄	—	8	16	no	—
319	D₄	—	8	16	no	—
320	D₄	—	8	8	no	—
321	D₄	—	8	8	no	—
322	C₂×C₄	—	2	1	no	—
323	C₂×C₄	—	2	1	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	8	no	—
330	C₂×C₄	—	2	8	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	4	8	no	—
338	C₂×C₄	—	4	8	no	—
339	C₂×C₄	—	4	4	no	—
340	C₂×C₄	—	4	8	no	—
341	C₂×C₄	—	4	8	no	—
342	C₂×C₄	—	4	8	no	—
343	C₂×C₄	—	4	8	no	—
344	C₂×C₄	—	8	16	no	—
345	C₂×C₄	—	8	16	no	—
346	C₂×C₄	#490	1	16	yes	complemented
347	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	#535	1	4	yes	—
353	C₂×C₄	#536	1	4	yes	—
354	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
355	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
356	C₂×C₄	#575	1	4	yes	—
357	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
360	C₈	—	4	8	no	—
361	C₂²	—	2	4	no	—
362	C₂²	—	2	4	no	—
363	C₂²	—	2	2	no	—
364	C₂²	—	2	2	no	—
365	C₂²	—	8	8	no	—
366	C₂²	—	8	4	no	—
367	C₂²	—	8	8	no	—
368	C₂²	—	8	4	no	—
369	C₂²	—	8	4	no	—
370	C₂²	C₂×#490	1	4	yes	—
371	C₂²	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
375	C₂²	C₂×#575	1	2	yes	—
376	C₄	—	2	4	no	—
377	C₄	—	2	4	no	—
378	C₄	—	2	2	no	—
379	C₄	—	2	2	no	—
380	C₄	—	4	2	no	—
381	C₄	—	4	2	no	—
382	C₄	—	8	8	no	—
383	C₄	—	8	4	no	—
384	C₄	C₂×#490	1	4	yes	—
385	C₄	C₂×#490	1	4	yes	—
386	C₄	#3142	1	4	yes	—
387	C₄	#3511	1	4	yes	—
388	C₂	—	2	4	no	—
389	C₂	—	16	4	no	—
390	C₂	#35289	1	1	yes	characteristic
391	C₂	C₂²×#490	1	1	yes	characteristic
392	C₂	C₂×#3142	1	1	yes	characteristic
393	C₂	#60803	1	2	yes	—
394	C₂	#60864	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	#36644	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2859	C₂	semidirect
3. #33294	C₂	semidirect
4. #33231	C₂	semidirect
5. #30204	C₂	semidirect
6. #29149	C₂	semidirect
7. #28724	C₂	semidirect
8. #27982	C₂	semidirect
9. #25913	C₂	semidirect
10. #21859	C₂	semidirect
11. #20463	C₂	semidirect
346. C₂×C₄	#490	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36644	2
C₂×#2859	2
#33294	2
#33231	2
#30204	2
#29149	2
#28724	2
#27982	2
#25913	2
#21859	2
#20463	2