Subgroups — #6497454

Order 512.

2154 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 393 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#500	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×C₈×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#35316	C₂	1	2	yes	maximal
4	#33209	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#29876	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#28704	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#28675	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#27661	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	#21833	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#20817	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#536	—	2	2	no	—
12	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#500	—	2	8	no	—
15	C₂×#500	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
18	C₈×#41	—	2	8	no	—
19	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×#107	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#2857	C₂²	1	8	yes	—
28	#2621	—	2	4	no	—
29	#2547	—	2	2	no	—
30	#2547	C₂²	1	4	yes	—
31	#2546	—	2	2	no	—
32	#2546	C₂²	1	4	yes	—
33	#2486	—	2	4	no	—
34	#2486	C₂²	1	8	yes	—
35	#2310	—	2	2	no	—
36	#2285	C₂²	1	2	yes	—
37	#2086	C₂²	1	16	yes	—
38	#2075	C₂²	1	16	yes	—
39	#1990	C₂²	1	8	yes	—
40	#1988	C₂²	1	8	yes	—
41	#1942	C₂²	1	16	yes	—
42	#1845	C₂²	1	2	yes	—
43	#1834	C₂²	1	2	yes	—
44	#1823	C₂²	1	8	yes	—
45	#1808	C₂²	1	4	yes	—
46	#1808	C₂²	1	16	yes	—
47	C₄×#107	C₂²	1	4	yes	—
48	C₂²×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
50	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
52	#536	—	4	16	no	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂×#124	—	2	4	no	—
61	C₂×#123	—	2	8	no	—
62	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
63	C₄×#41	—	2	4	no	—
64	C₄×#41	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×#117	—	2	2	no	—
72	C₂×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
75	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	#500	—	2	8	no	—
79	#500	—	2	8	no	—
80	#500	—	2	16	no	—
81	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
82	C₈×D₄	—	2	16	no	—
83	C₈×D₄	—	2	8	no	—
84	#431	—	2	4	no	—
85	#431	—	2	8	no	—
86	C₂×#107	—	2	16	no	—
87	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
88	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
89	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
90	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
95	C₂×C₄×C₈	D₄	1	8	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
101	#398	—	2	8	no	—
102	#398	—	2	8	no	—
103	#397	—	2	8	no	—
104	#397	—	2	8	no	—
105	#391	—	2	4	no	—
106	#391	—	2	4	no	—
107	#391	—	2	8	no	—
108	#389	—	2	8	no	—
109	#389	C₂³	1	16	yes	—
110	#384	C₂³	1	4	yes	—
111	#382	—	2	2	no	—
112	#381	—	2	8	no	—
113	#380	—	2	8	no	—
114	#380	—	2	2	no	—
115	#380	C₂³	1	16	yes	—
116	#380	C₂³	1	4	yes	—
117	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
118	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
119	#340	C₂³	1	8	yes	—
120	#340	C₂³	1	32	yes	—
121	C₂×#41	—	2	4	no	—
122	C₂×#41	—	2	4	no	—
123	C₂×#41	D₈	1	8	yes	—
124	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
125	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
126	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
127	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
128	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
129	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
145	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
152	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
153	#124	—	4	16	no	—
154	#123	—	4	32	no	—
155	C₂²⋊Q₈	—	4	32	no	—
156	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
157	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
158	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
159	C₄×D₄	—	2	8	no	—
160	C₄×D₄	—	2	4	no	—
161	C₄×D₄	—	2	4	no	—
162	C₄×D₄	—	2	4	no	—
163	C₄×D₄	—	2	2	no	—
164	C₄×D₄	—	2	2	no	—
165	#117	—	2	4	no	—
166	#117	—	2	8	no	—
167	#117	—	4	8	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
182	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
190	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
196	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
197	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
198	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
200	#107	—	2	16	no	—
201	#107	—	2	16	no	—
202	#107	—	2	16	no	—
203	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
204	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
205	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
206	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
207	C₄×C₈	—	2	8	no	—
208	C₄×C₈	—	2	4	no	—
209	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
210	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
211	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
212	#95	—	2	4	no	—
213	#95	—	2	4	no	—
214	#95	—	2	16	no	—
215	#95	—	2	16	no	—
216	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
217	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
218	#41	—	2	32	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
221	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
222	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
223	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
224	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
227	C₂×Q₈	—	8	32	no	—
228	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
229	C₂×D₄	—	2	4	no	—
230	C₂×D₄	—	2	4	no	—
231	C₂×D₄	—	2	2	no	—
232	C₂×D₄	—	2	2	no	—
233	C₂×D₄	C₂×D₈	1	8	yes	—
234	C₂×D₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
249	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
250	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	8	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₈	—	2	4	no	—
266	C₂×C₈	—	2	16	no	—
267	C₂×C₈	—	2	4	no	—
268	C₂×C₈	—	2	8	no	—
269	C₂×C₈	—	4	16	no	—
270	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
271	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
272	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
273	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
281	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
291	C₄²	—	2	4	no	—
292	C₄²	—	2	4	no	—
293	C₄²	—	2	2	no	—
294	C₄²	—	2	2	no	—
295	C₄²	—	4	8	no	—
296	C₄²	#121	1	4	yes	—
297	C₄²	#121	1	4	yes	—
298	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
299	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
300	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
301	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
302	C₂³	—	2	2	no	—
303	C₂³	—	2	2	no	—
304	C₂³	—	2	2	no	—
305	C₂³	—	2	4	no	—
306	C₂³	—	2	2	no	—
307	C₂³	—	2	4	no	—
308	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
309	C₂³	C₂²×D₈	1	4	yes	—
310	C₂³	C₂²×D₈	1	2	yes	—
311	C₂³	C₂×#135	1	2	yes	—
312	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
313	Q₈	—	2	8	no	—
314	Q₈	—	8	16	no	—
315	Q₈	—	8	16	no	—
316	D₄	—	2	16	no	—
317	D₄	—	2	8	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	2	16	no	—
325	C₂×C₄	—	2	8	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	4	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	4	4	no	—
331	C₂×C₄	—	4	4	no	—
332	C₂×C₄	—	4	8	no	—
333	C₂×C₄	—	4	8	no	—
334	C₂×C₄	—	4	8	no	—
335	C₂×C₄	—	4	8	no	—
336	C₂×C₄	—	4	8	no	—
337	C₂×C₄	—	4	8	no	—
338	C₂×C₄	—	4	8	no	—
339	C₂×C₄	—	8	16	no	—
340	C₂×C₄	#466	1	16	yes	—
341	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	4	yes	—
347	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	#578	1	4	yes	—
352	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
355	C₈	—	2	4	no	—
356	C₈	—	4	4	no	—
357	C₈	#536	1	8	yes	complemented
358	C₂²	—	2	4	no	—
359	C₂²	—	2	4	no	—
360	C₂²	—	2	2	no	—
361	C₂²	—	2	2	no	—
362	C₂²	—	2	8	no	—
363	C₂²	—	2	4	no	—
364	C₂²	—	4	4	no	—
365	C₂²	—	4	2	no	—
366	C₂²	—	4	2	no	—
367	C₂²	C₂×#466	1	4	yes	—
368	C₂²	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	#3499	1	2	yes	—
370	C₂²	C₂³×D₈	1	1	yes	characteristic
371	C₂²	C₂²×#135	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	C₂×#578	1	2	yes	—
373	C₄	—	2	4	no	—
374	C₄	—	2	2	no	—
375	C₄	—	2	2	no	—
376	C₄	—	4	2	no	—
377	C₄	—	4	2	no	—
378	C₄	—	8	8	no	—
379	C₄	—	8	8	no	—
380	C₄	C₂×#466	1	4	yes	—
381	C₄	C₂×#466	1	4	yes	—
382	C₄	#3059	1	4	yes	—
383	C₄	C₂×#536	1	2	yes	—
384	C₄	#3509	1	2	yes	—
385	C₂	—	2	4	no	—
386	C₂	—	4	4	no	—
387	C₂	#35316	1	1	yes	characteristic
388	C₂	C₂²×#466	1	1	yes	characteristic
389	C₂	C₂×#3059	1	1	yes	characteristic
390	C₂	#62471	1	2	yes	—
391	C₂	#62473	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×#41	D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#500	C₂	semidirect
4. #33209	C₂	semidirect
5. #29876	C₂	semidirect
6. #28704	C₂	semidirect
7. #28675	C₂	semidirect
8. #27661	C₂	semidirect
9. #21833	C₂	semidirect
10. #20817	C₂	semidirect
357. C₈	#536	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#500	2
C₂×C₈×#41	2
#35316	2
#33209	2
#29876	2
#28704	2
#28675	2
#27661	2
#21833	2
#20817	2