Subgroups — #6497456

Order 512.

1888 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 426 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3160	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×C₈×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#35297	C₂	1	2	yes	maximal
4	#33209	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#33209	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#29877	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#28708	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#28679	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#27660	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
10	#21835	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#20817	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#3160	—	2	8	no	—
15	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#499	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
19	C₈×#41	—	2	8	no	—
20	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#427	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#2857	C₂²	1	4	yes	—
29	#2857	C₂²	1	4	yes	—
30	#2625	—	2	2	no	—
31	#2616	—	2	2	no	—
32	#2584	C₂²	1	4	yes	—
33	#2581	—	2	2	no	—
34	#2562	C₂²	1	4	yes	—
35	#2536	—	2	2	no	—
36	#2485	C₂²	1	8	yes	—
37	#2415	—	2	4	no	—
38	#2323	—	2	4	no	—
39	#2285	C₂²	1	2	yes	—
40	#2088	C₂²	1	16	yes	—
41	#2077	C₂²	1	16	yes	—
42	#1990	C₂²	1	4	yes	—
43	#1990	C₂²	1	4	yes	—
44	#1989	C₂²	1	8	yes	—
45	#1942	C₂²	1	8	yes	—
46	#1942	C₂²	1	8	yes	—
47	#1845	C₂²	1	2	yes	—
48	#1834	C₂²	1	2	yes	—
49	#1825	C₂²	1	8	yes	—
50	#1808	C₂²	1	4	yes	—
51	#1808	C₂²	1	8	yes	—
52	#1808	C₂²	1	8	yes	—
53	C₄×#107	C₂²	1	4	yes	—
54	C₂²×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
57	#533	—	2	8	no	—
58	#533	—	2	8	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
63	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
66	C₄×#41	—	2	4	no	—
67	C₄×#41	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×#117	—	2	2	no	—
77	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
78	C₂×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	#500	—	2	4	no	—
83	#500	—	2	4	no	—
84	#499	—	2	16	no	—
85	#498	—	2	8	no	—
86	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
87	C₈×D₄	—	2	16	no	—
88	C₈×D₄	—	2	8	no	—
89	#431	—	2	4	no	—
90	#431	—	2	8	no	—
91	#427	—	2	16	no	—
92	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
93	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
96	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
101	C₂×C₄×C₈	D₄	1	8	yes	—
102	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
107	#400	—	2	4	no	—
108	#398	—	2	4	no	—
109	#397	—	2	8	no	—
110	#395	—	2	4	no	—
111	#394	—	2	4	no	—
112	#394	—	2	8	no	—
113	#391	—	2	4	no	—
114	#391	—	2	4	no	—
115	#389	—	2	8	no	—
116	#389	—	2	4	no	—
117	#389	—	2	4	no	—
118	#389	C₂³	1	8	yes	—
119	#389	C₂³	1	8	yes	—
120	#388	—	2	8	no	—
121	#388	—	2	8	no	—
122	#387	—	2	8	no	—
123	#384	C₂³	1	4	yes	—
124	#382	—	2	2	no	—
125	#380	—	2	4	no	—
126	#380	—	2	4	no	—
127	#380	—	2	2	no	—
128	#380	C₂³	1	8	yes	—
129	#380	C₂³	1	8	yes	—
130	#380	C₂³	1	4	yes	—
131	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
132	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
133	#340	C₂³	1	8	yes	—
134	#340	C₂³	1	16	yes	—
135	#340	C₂³	1	16	yes	—
136	C₂×#41	—	2	4	no	—
137	C₂×#41	—	2	8	no	—
138	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
148	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
153	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
154	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
155	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
156	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
157	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
160	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
161	#125	—	2	8	no	—
162	#125	—	2	8	no	—
163	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
164	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
165	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
166	C₂²⋊Q₈	—	8	8	no	—
167	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
168	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
169	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
170	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
171	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
172	C₄×D₄	—	2	8	no	—
173	C₄×D₄	—	2	4	no	—
174	C₄×D₄	—	2	4	no	—
175	C₄×D₄	—	2	4	no	—
176	C₄×D₄	—	2	2	no	—
177	C₄×D₄	—	2	2	no	—
178	#117	—	2	4	no	—
179	#117	—	2	8	no	—
180	#117	—	2	8	no	—
181	#117	—	2	8	no	—
182	#117	—	8	4	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
196	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
197	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
205	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
206	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
207	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
208	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
209	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
210	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
211	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
214	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
215	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
216	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
218	#107	—	2	8	no	—
219	#107	—	2	8	no	—
220	#107	—	2	16	no	—
221	#106	—	2	16	no	—
222	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
223	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
224	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
225	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
226	C₄×C₈	—	2	8	no	—
227	C₄×C₈	—	2	4	no	—
228	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
229	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
230	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
231	#95	—	2	4	no	—
232	#95	—	2	4	no	—
233	#95	—	2	8	no	—
234	#95	—	2	8	no	—
235	#95	—	2	8	no	—
236	#95	—	2	8	no	—
237	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
239	#41	—	2	32	no	—
240	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
241	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
242	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
243	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
244	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
245	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
246	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
247	C₂×D₄	—	2	4	no	—
248	C₂×D₄	—	2	4	no	—
249	C₂×D₄	—	2	4	no	—
250	C₂×D₄	—	2	2	no	—
251	C₂×D₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
269	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
270	C₂²×C₄	#135	1	8	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
276	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
281	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₈	—	2	4	no	—
283	C₂×C₈	—	2	16	no	—
284	C₂×C₈	—	2	4	no	—
285	C₂×C₈	—	2	4	no	—
286	C₂×C₈	—	2	4	no	—
287	C₂×C₈	—	4	16	no	—
288	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
289	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
290	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
291	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
307	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
315	C₄²	—	2	4	no	—
316	C₄²	—	2	4	no	—
317	C₄²	—	2	2	no	—
318	C₄²	—	2	2	no	—
319	C₄²	—	4	8	no	—
320	C₄²	—	8	4	no	—
321	C₄²	#121	1	4	yes	—
322	C₄²	#121	1	4	yes	—
323	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
324	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
325	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
326	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
327	C₂³	—	2	2	no	—
328	C₂³	—	2	2	no	—
329	C₂³	—	2	2	no	—
330	C₂³	—	2	2	no	—
331	C₂³	—	2	2	no	—
332	C₂³	—	2	2	no	—
333	C₂³	—	2	2	no	—
334	C₂³	—	2	1	no	—
335	C₂³	—	2	2	no	—
336	C₂³	—	2	1	no	—
337	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
338	C₂³	C₂×#135	1	4	yes	—
339	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
340	Q₈	—	2	8	no	—
341	Q₈	—	8	8	no	—
342	Q₈	—	8	8	no	—
343	D₄	—	2	8	no	—
344	D₄	—	2	16	no	—
345	C₂×C₄	—	2	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	2	no	—
348	C₂×C₄	—	2	2	no	—
349	C₂×C₄	—	2	1	no	—
350	C₂×C₄	—	2	1	no	—
351	C₂×C₄	—	2	4	no	—
352	C₂×C₄	—	2	4	no	—
353	C₂×C₄	—	2	8	no	—
354	C₂×C₄	—	2	16	no	—
355	C₂×C₄	—	2	8	no	—
356	C₂×C₄	—	2	2	no	—
357	C₂×C₄	—	2	2	no	—
358	C₂×C₄	—	2	2	no	—
359	C₂×C₄	—	2	2	no	—
360	C₂×C₄	—	2	2	no	—
361	C₂×C₄	—	2	2	no	—
362	C₂×C₄	—	4	4	no	—
363	C₂×C₄	—	4	4	no	—
364	C₂×C₄	—	4	8	no	—
365	C₂×C₄	—	4	4	no	—
366	C₂×C₄	—	4	4	no	—
367	C₂×C₄	—	4	8	no	—
368	C₂×C₄	—	4	8	no	—
369	C₂×C₄	—	4	8	no	—
370	C₂×C₄	—	4	8	no	—
371	C₂×C₄	—	4	4	no	—
372	C₂×C₄	—	4	4	no	—
373	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
379	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
380	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
383	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
385	C₈	—	2	4	no	—
386	C₈	—	4	4	no	—
387	C₈	#536	1	8	yes	—
388	C₂²	—	2	4	no	—
389	C₂²	—	2	4	no	—
390	C₂²	—	2	2	no	—
391	C₂²	—	2	4	no	—
392	C₂²	—	2	2	no	—
393	C₂²	—	2	2	no	—
394	C₂²	—	4	2	no	—
395	C₂²	—	4	2	no	—
396	C₂²	—	4	2	no	—
397	C₂²	—	4	2	no	—
398	C₂²	—	4	2	no	—
399	C₂²	—	4	2	no	—
400	C₂²	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
401	C₂²	#3499	1	2	yes	—
402	C₂²	C₂²×#135	1	2	yes	—
403	C₂²	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
404	C₂²	C₂×#578	1	1	yes	characteristic
405	C₄	—	2	2	no	—
406	C₄	—	2	4	no	—
407	C₄	—	2	2	no	—
408	C₄	—	2	2	no	—
409	C₄	—	4	2	no	—
410	C₄	—	4	2	no	—
411	C₄	—	8	8	no	—
412	C₄	—	8	4	no	—
413	C₄	—	8	4	no	—
414	C₄	#3050	1	4	yes	—
415	C₄	#3061	1	4	yes	—
416	C₄	C₂×#536	1	2	yes	—
417	C₄	#3509	1	2	yes	—
418	C₂	—	4	4	no	—
419	C₂	—	4	2	no	—
420	C₂	#35316	1	1	yes	characteristic
421	C₂	C₂×#3050	1	1	yes	characteristic
422	C₂	C₂×#3061	1	1	yes	characteristic
423	C₂	#62473	1	2	yes	—
424	C₂	#62474	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×#41	D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3160	C₂	semidirect
4. #33209	C₂	semidirect
5. #33209	C₂	semidirect
6. #29877	C₂	semidirect
7. #28708	C₂	semidirect
8. #28679	C₂	semidirect
9. #27660	C₂	semidirect
10. #21835	C₂	semidirect
11. #20817	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3160	2
C₂×C₈×#41	2
#35297	2
#33209	2
#29877	2
#28708	2
#28679	2
#27660	2
#21835	2
#20817	2