Subgroups — #6497457

Order 512.

1888 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 409 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3160	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×C₈×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#35297	C₂	1	2	yes	maximal
4	#33207	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#29878	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#29876	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#28707	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#28678	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#27659	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
10	#21835	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#20816	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#3160	—	2	8	no	—
15	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#499	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
19	C₈×#41	—	2	8	no	—
20	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#427	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#2857	C₂²	1	4	yes	—
29	#2857	C₂²	1	4	yes	—
30	#2625	—	2	2	no	—
31	#2616	—	2	2	no	—
32	#2584	C₂²	1	4	yes	—
33	#2581	—	2	2	no	—
34	#2562	C₂²	1	4	yes	—
35	#2536	—	2	2	no	—
36	#2485	C₂²	1	8	yes	—
37	#2415	—	2	4	no	—
38	#2323	—	2	4	no	—
39	#2285	C₂²	1	2	yes	—
40	#2087	C₂²	1	8	yes	—
41	#2086	C₂²	1	8	yes	—
42	#2076	C₂²	1	8	yes	—
43	#2075	C₂²	1	8	yes	—
44	#1990	C₂²	1	4	yes	—
45	#1990	C₂²	1	4	yes	—
46	#1989	C₂²	1	8	yes	—
47	#1941	C₂²	1	16	yes	—
48	#1844	C₂²	1	2	yes	—
49	#1834	C₂²	1	2	yes	—
50	#1825	C₂²	1	8	yes	—
51	#1807	C₂²	1	4	yes	—
52	#1807	C₂²	1	16	yes	—
53	C₄×#106	C₂²	1	4	yes	—
54	C₂²×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
57	#533	—	2	8	no	—
58	#533	—	2	8	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
63	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
66	C₄×#41	—	2	4	no	—
67	C₄×#41	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×#117	—	2	2	no	—
77	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
78	C₂×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	#500	—	2	4	no	—
83	#500	—	2	4	no	—
84	#499	—	2	16	no	—
85	#498	—	2	8	no	—
86	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
87	C₈×D₄	—	2	16	no	—
88	C₈×D₄	—	2	8	no	—
89	#431	—	2	4	no	—
90	#431	—	2	8	no	—
91	#427	—	2	16	no	—
92	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
95	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
96	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
101	C₂×C₄×C₈	D₄	1	8	yes	—
102	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
107	#400	—	2	4	no	—
108	#398	—	2	4	no	—
109	#397	—	2	8	no	—
110	#395	—	2	4	no	—
111	#394	—	2	4	no	—
112	#394	—	2	8	no	—
113	#391	—	2	4	no	—
114	#391	—	2	4	no	—
115	#389	—	2	8	no	—
116	#389	—	2	4	no	—
117	#389	—	2	4	no	—
118	#389	C₂³	1	8	yes	—
119	#389	C₂³	1	8	yes	—
120	#388	—	2	8	no	—
121	#388	—	2	8	no	—
122	#387	—	2	8	no	—
123	#384	C₂³	1	4	yes	—
124	#382	—	2	2	no	—
125	#380	—	2	4	no	—
126	#380	—	2	4	no	—
127	#380	—	2	2	no	—
128	#380	C₂³	1	8	yes	—
129	#380	C₂³	1	8	yes	—
130	#380	C₂³	1	4	yes	—
131	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
132	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
133	#340	C₂³	1	8	yes	—
134	#340	C₂³	1	16	yes	—
135	#340	C₂³	1	16	yes	—
136	C₂×#41	—	2	4	no	—
137	C₂×#41	—	2	8	no	—
138	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
148	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
152	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
153	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
154	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
155	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
156	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
157	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
160	#125	—	2	8	no	—
161	#125	—	2	8	no	—
162	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
163	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
164	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
165	C₂²⋊Q₈	—	8	8	no	—
166	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
167	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
168	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
169	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
170	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
171	C₄×D₄	—	2	8	no	—
172	C₄×D₄	—	2	4	no	—
173	C₄×D₄	—	2	4	no	—
174	C₄×D₄	—	2	4	no	—
175	C₄×D₄	—	2	2	no	—
176	C₄×D₄	—	2	2	no	—
177	#117	—	2	4	no	—
178	#117	—	2	8	no	—
179	#117	—	2	8	no	—
180	#117	—	2	8	no	—
181	#117	—	8	4	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
196	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
204	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
205	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
206	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
207	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
208	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
209	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
210	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
213	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
214	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
215	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
216	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
217	#107	—	2	8	no	—
218	#107	—	2	8	no	—
219	#106	—	2	16	no	—
220	#106	—	2	16	no	—
221	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
222	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
223	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
224	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
225	C₄×C₈	—	2	8	no	—
226	C₄×C₈	—	2	4	no	—
227	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
228	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
229	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
230	#95	—	2	4	no	—
231	#95	—	2	4	no	—
232	#95	—	2	8	no	—
233	#95	—	2	8	no	—
234	#95	—	2	8	no	—
235	#95	—	2	8	no	—
236	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
238	#41	—	2	32	no	—
239	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
240	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
241	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
242	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
243	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
244	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
245	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
246	C₂×D₄	—	2	4	no	—
247	C₂×D₄	—	2	4	no	—
248	C₂×D₄	—	2	4	no	—
249	C₂×D₄	—	2	2	no	—
250	C₂×D₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
265	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	#135	1	8	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
276	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₈	—	2	4	no	—
279	C₂×C₈	—	2	16	no	—
280	C₂×C₈	—	2	4	no	—
281	C₂×C₈	—	2	8	no	—
282	C₂×C₈	—	4	16	no	—
283	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
284	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
285	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
286	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
302	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
310	C₄²	—	2	4	no	—
311	C₄²	—	2	4	no	—
312	C₄²	—	2	2	no	—
313	C₄²	—	2	2	no	—
314	C₄²	—	4	8	no	—
315	C₄²	—	8	4	no	—
316	C₄²	#121	1	4	yes	—
317	C₄²	#121	1	4	yes	—
318	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
319	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
320	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
321	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
322	C₂³	—	2	2	no	—
323	C₂³	—	2	4	no	—
324	C₂³	—	2	2	no	—
325	C₂³	—	2	2	no	—
326	C₂³	—	2	2	no	—
327	C₂³	—	2	4	no	—
328	C₂³	—	2	2	no	—
329	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
330	C₂³	C₂×#135	1	4	yes	—
331	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
332	Q₈	—	2	8	no	—
333	Q₈	—	8	8	no	—
334	Q₈	—	8	8	no	—
335	D₄	—	2	8	no	—
336	D₄	—	2	16	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	2	2	no	—
342	C₂×C₄	—	2	4	no	—
343	C₂×C₄	—	2	4	no	—
344	C₂×C₄	—	2	8	no	—
345	C₂×C₄	—	2	16	no	—
346	C₂×C₄	—	2	8	no	—
347	C₂×C₄	—	2	2	no	—
348	C₂×C₄	—	2	2	no	—
349	C₂×C₄	—	2	4	no	—
350	C₂×C₄	—	2	4	no	—
351	C₂×C₄	—	4	4	no	—
352	C₂×C₄	—	4	4	no	—
353	C₂×C₄	—	4	8	no	—
354	C₂×C₄	—	4	4	no	—
355	C₂×C₄	—	4	4	no	—
356	C₂×C₄	—	4	8	no	—
357	C₂×C₄	—	4	8	no	—
358	C₂×C₄	—	4	8	no	—
359	C₂×C₄	—	4	8	no	—
360	C₂×C₄	—	4	4	no	—
361	C₂×C₄	—	4	4	no	—
362	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
368	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
369	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
370	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
373	C₈	—	2	4	no	—
374	C₈	—	4	4	no	—
375	C₈	#536	1	8	yes	—
376	C₂²	—	2	8	no	—
377	C₂²	—	2	2	no	—
378	C₂²	—	2	4	no	—
379	C₂²	—	2	2	no	—
380	C₂²	—	2	2	no	—
381	C₂²	—	4	4	no	—
382	C₂²	—	4	4	no	—
383	C₂²	—	4	2	no	—
384	C₂²	—	4	2	no	—
385	C₂²	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
386	C₂²	#3499	1	2	yes	—
387	C₂²	C₂²×#135	1	2	yes	—
388	C₂²	C₂×#577	1	2	yes	—
389	C₄	—	2	2	no	—
390	C₄	—	2	4	no	—
391	C₄	—	2	2	no	—
392	C₄	—	2	2	no	—
393	C₄	—	4	2	no	—
394	C₄	—	4	2	no	—
395	C₄	—	8	8	no	—
396	C₄	—	8	4	no	—
397	C₄	—	8	4	no	—
398	C₄	#3050	1	4	yes	—
399	C₄	#3060	1	4	yes	—
400	C₄	C₂×#536	1	2	yes	—
401	C₄	#3509	1	2	yes	—
402	C₂	—	4	4	no	—
403	C₂	—	4	2	no	—
404	C₂	#35316	1	1	yes	characteristic
405	C₂	C₂×#3050	1	1	yes	characteristic
406	C₂	C₂×#3060	1	1	yes	characteristic
407	C₂	#62470	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×#41	D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3160	C₂	semidirect
4. #33207	C₂	semidirect
5. #29878	C₂	semidirect
6. #29876	C₂	semidirect
7. #28707	C₂	semidirect
8. #28678	C₂	semidirect
9. #27659	C₂	semidirect
10. #21835	C₂	semidirect
11. #20816	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3160	2
C₂×C₈×#41	2
#35297	2
#33207	2
#29878	2
#29876	2
#28707	2
#28678	2
#27659	2
#21835	2
#20816	2