Subgroups — #6497472

Order 512.

1832 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 428 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#500	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2966	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#37617	C₂	1	2	yes	maximal
4	#33215	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#29880	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#28712	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#28704	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#28683	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#28675	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#27666	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#27662	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#21841	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#20818	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#529	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#500	—	2	8	no	—
17	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
21	#2966	—	2	8	no	—
22	C₂×#446	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#436	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#435	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#433	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#2821	—	2	4	no	—
35	#2658	—	2	2	no	—
36	#2642	—	2	2	no	—
37	#2628	C₂²	1	8	yes	—
38	#2623	—	2	4	no	—
39	#2547	C₂²	1	4	yes	—
40	#2546	C₂²	1	4	yes	—
41	#2487	C₂²	1	8	yes	—
42	#2436	—	2	2	no	—
43	#2434	—	2	2	no	—
44	#2283	C₂²	1	2	yes	—
45	#2087	C₂²	1	8	yes	—
46	#2086	C₂²	1	8	yes	—
47	#2076	C₂²	1	8	yes	—
48	#2075	C₂²	1	8	yes	—
49	#1993	C₂²	1	8	yes	—
50	#1988	C₂²	1	4	yes	—
51	#1988	C₂²	1	4	yes	—
52	#1944	C₂²	1	8	yes	—
53	#1942	C₂²	1	8	yes	—
54	#1846	C₂²	1	2	yes	—
55	#1835	C₂²	1	2	yes	—
56	#1824	C₂²	1	8	yes	—
57	#1809	C₂²	1	8	yes	—
58	#1808	C₂²	1	2	yes	—
59	#1808	C₂²	1	8	yes	—
60	#1807	C₂²	1	2	yes	—
61	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
62	C₄×#106	C₂²	1	2	yes	—
63	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
64	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
72	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
73	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
75	#529	—	2	4	no	—
76	#529	—	2	4	no	—
77	C₂×#126	D₄	1	2	yes	—
78	C₂×#125	D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×#124	—	2	4	no	—
80	C₂×#124	D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂×#123	D₄	1	2	yes	—
82	C₂×C₂²⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×#121	D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
89	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	#500	—	2	8	no	—
92	#500	—	2	8	no	—
93	#500	—	2	8	no	—
94	#500	—	2	8	no	—
95	#446	—	2	4	no	—
96	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
97	#436	—	2	4	no	—
98	#435	—	2	8	no	—
99	C₈×D₄	—	2	8	no	—
100	C₈×D₄	—	2	4	no	—
101	#433	—	2	8	no	—
102	#432	—	2	4	no	—
103	C₂×#107	—	2	8	no	—
104	C₂×#107	—	2	8	no	—
105	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
114	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
115	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
116	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
118	#405	—	2	8	no	—
119	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₄×C₈	D₄	1	8	yes	—
122	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	#400	—	2	8	no	—
128	#400	—	2	8	no	—
129	#399	—	2	8	no	—
130	#399	—	2	8	no	—
131	#398	—	2	8	no	—
132	#397	—	2	8	no	—
133	#395	—	2	8	no	—
134	#393	—	2	8	no	—
135	#391	—	2	4	no	—
136	#391	—	2	4	no	—
137	#389	C₂³	1	16	yes	—
138	#386	—	2	8	no	—
139	#385	—	2	8	no	—
140	#383	—	2	2	no	—
141	#382	C₂³	1	4	yes	—
142	#381	—	2	2	no	—
143	#380	C₂³	1	4	yes	—
144	#380	C₂³	1	16	yes	—
145	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
146	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
147	#376	—	2	2	no	—
148	#340	C₂³	1	4	yes	—
149	#340	C₂³	1	16	yes	—
150	#340	C₂³	1	4	yes	—
151	#340	C₂³	1	16	yes	—
152	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
153	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
154	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
155	C₂²×Q₈	—	8	8	no	—
156	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
160	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
163	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
164	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
165	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
166	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
168	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
170	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
171	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
172	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
173	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
174	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
176	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
178	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
179	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
180	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
181	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
182	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
183	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
184	C₄⋊Q₈	—	8	8	no	—
185	#126	—	2	8	no	—
186	#125	—	2	4	no	—
187	#124	—	2	4	no	—
188	#124	—	8	8	no	—
189	#123	—	2	8	no	—
190	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
191	#121	—	2	4	no	—
192	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
193	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
194	C₄×D₄	—	2	4	no	—
195	C₄×D₄	—	2	4	no	—
196	C₄×D₄	—	2	2	no	—
197	C₄×D₄	—	2	2	no	—
198	#117	—	2	4	no	—
199	#117	—	2	4	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
208	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
209	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
211	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
213	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
214	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
215	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
216	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
217	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
218	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
219	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
220	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
221	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
222	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
223	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
226	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
227	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
228	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
229	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
230	#107	—	2	8	no	—
231	#107	—	2	8	no	—
232	#107	—	2	8	no	—
233	#107	—	2	8	no	—
234	#107	—	2	8	no	—
235	#106	—	2	8	no	—
236	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
237	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
238	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
239	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
240	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
241	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
242	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
243	#97	—	2	4	no	—
244	#97	—	2	4	no	—
245	C₄×C₈	—	2	4	no	—
246	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
247	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
248	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
249	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
250	#95	—	2	4	no	—
251	#95	—	2	4	no	—
252	#95	—	2	4	no	—
253	#95	—	2	4	no	—
254	#95	—	2	16	no	—
255	#95	—	2	16	no	—
256	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
257	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
259	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
260	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
261	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
262	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
263	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
264	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
265	C₂×Q₈	—	8	32	no	—
266	C₂×D₄	—	2	4	no	—
267	C₂×D₄	—	2	8	no	—
268	C₂×D₄	—	2	2	no	—
269	C₂×D₄	—	2	4	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
279	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
280	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
281	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
282	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
283	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
284	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
285	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
288	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
289	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
290	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
291	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
292	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
294	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
295	M₁₆	—	4	8	no	—
296	C₂×C₈	—	2	2	no	—
297	C₂×C₈	—	2	2	no	—
298	C₂×C₈	—	2	8	no	—
299	C₂×C₈	—	2	8	no	—
300	C₂×C₈	—	2	2	no	—
301	C₂×C₈	—	2	2	no	—
302	C₂×C₈	—	2	4	no	—
303	C₂×C₈	—	2	4	no	—
304	C₂×C₈	—	4	8	no	—
305	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
306	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
307	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
308	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
309	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
310	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
311	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
312	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
313	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
314	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
315	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
316	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
317	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
318	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
319	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
320	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
321	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
322	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
323	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
324	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
325	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
326	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
327	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
328	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
329	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
330	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
331	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
332	C₄²	—	2	2	no	—
333	C₄²	—	2	2	no	—
334	C₄²	—	4	8	no	—
335	C₄²	#121	1	4	yes	—
336	C₄²	#121	1	4	yes	—
337	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
338	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
339	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
340	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
341	C₂³	—	2	2	no	—
342	C₂³	—	2	2	no	—
343	C₂³	—	2	2	no	—
344	C₂³	—	2	4	no	—
345	C₂³	—	2	4	no	—
346	C₂³	—	2	4	no	—
347	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
348	C₂³	#578	1	4	yes	—
349	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
350	Q₈	—	4	4	no	—
351	Q₈	—	8	16	no	—
352	Q₈	—	8	16	no	—
353	D₄	—	4	8	no	—
354	D₄	—	4	4	no	—
355	C₂×C₄	—	2	2	no	—
356	C₂×C₄	—	2	8	no	—
357	C₂×C₄	—	2	2	no	—
358	C₂×C₄	—	2	2	no	—
359	C₂×C₄	—	2	2	no	—
360	C₂×C₄	—	2	2	no	—
361	C₂×C₄	—	2	2	no	—
362	C₂×C₄	—	2	4	no	—
363	C₂×C₄	—	2	8	no	—
364	C₂×C₄	—	2	2	no	—
365	C₂×C₄	—	2	2	no	—
366	C₂×C₄	—	2	2	no	—
367	C₂×C₄	—	2	4	no	—
368	C₂×C₄	—	2	4	no	—
369	C₂×C₄	—	2	4	no	—
370	C₂×C₄	—	4	2	no	—
371	C₂×C₄	—	4	2	no	—
372	C₂×C₄	—	4	4	no	—
373	C₂×C₄	—	4	8	no	—
374	C₂×C₄	—	4	8	no	—
375	C₂×C₄	—	4	8	no	—
376	C₂×C₄	—	4	8	no	—
377	C₂×C₄	—	4	8	no	—
378	C₂×C₄	—	4	8	no	—
379	C₂×C₄	—	8	16	no	—
380	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
384	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	#576	1	4	yes	—
386	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
387	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
388	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
389	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
390	C₈	—	2	2	no	—
391	C₈	—	2	2	no	—
392	C₈	—	4	2	no	—
393	C₈	—	4	2	no	—
394	C₈	#536	1	4	yes	—
395	C₈	#536	1	4	yes	—
396	C₂²	—	2	8	no	—
397	C₂²	—	2	2	no	—
398	C₂²	—	2	2	no	—
399	C₂²	—	4	8	no	—
400	C₂²	—	4	2	no	—
401	C₂²	—	4	2	no	—
402	C₂²	—	4	2	no	—
403	C₂²	#3059	1	4	yes	—
404	C₂²	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
405	C₂²	#3499	1	2	yes	—
406	C₂²	C₂×#576	1	2	yes	—
407	C₂²	C₂×#578	1	2	yes	—
408	C₄	—	2	2	no	—
409	C₄	—	2	2	no	—
410	C₄	—	2	2	no	—
411	C₄	—	2	2	no	—
412	C₄	—	4	2	no	—
413	C₄	—	4	2	no	—
414	C₄	—	4	2	no	—
415	C₄	—	8	8	no	—
416	C₄	—	8	8	no	—
417	C₄	#3058	1	4	yes	—
418	C₄	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
419	C₄	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
420	C₄	#3509	1	2	yes	—
421	C₂	—	2	4	no	—
422	C₂	—	8	2	no	—
423	C₂	#35316	1	1	yes	characteristic
424	C₂	C₂×#3058	1	1	yes	characteristic
425	C₂	C₂×#3059	1	1	yes	characteristic
426	C₂	#62488	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#121	D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#529 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#500	C₂	semidirect
4. #33215	C₂	semidirect
5. #29880	C₂	semidirect
6. #28712	C₂	semidirect
7. #28704	C₂	semidirect
8. #28683	C₂	semidirect
9. #28675	C₂	semidirect
10. #27666	C₂	semidirect
11. #27662	C₂	semidirect
12. #21841	C₂	semidirect
13. #20818	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#500	2
C₂×#2966	2
#37617	2
#33215	2
#29880	2
#28712	2
#28704	2
#28683	2
#28675	2
#27666	2
#27662	2
#21841	2
#20818	2