Subgroups — #6497575

Order 512.

1594 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 456 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60861	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂²×#499	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#60204	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#33221	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#29888	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#28734	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#28733	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#28702	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#28701	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#27675	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#27672	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#21830	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#20826	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#3444	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#125	C₂²	1	2	yes	—
16	#3236	—	2	4	no	—
17	#3234	—	2	4	no	—
18	#3232	—	2	8	no	—
19	#3166	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#499	—	2	2	no	—
21	C₂×#499	—	2	2	no	—
22	C₂×#499	—	2	2	no	—
23	C₂×#499	—	2	2	no	—
24	C₂×#499	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#499	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#499	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#499	C₂²	1	2	yes	—
28	#3142	C₂²	1	4	yes	—
29	#3092	C₂²	1	8	yes	—
30	#3080	C₂²	1	8	yes	—
31	#2966	—	2	2	no	—
32	#2966	—	2	2	no	—
33	#2965	—	2	2	no	—
34	C₈×#41	—	2	2	no	—
35	#2960	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#2960	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#2931	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#2931	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#2929	C₂²	1	2	yes	—
40	#2929	C₂²	1	2	yes	—
41	#2922	C₂²	1	2	yes	—
42	#2920	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#2920	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
46	C₄×#131	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	#2090	C₂²	1	8	yes	—
49	#2089	C₂²	1	8	yes	—
50	#2079	C₂²	1	8	yes	—
51	#2078	C₂²	1	8	yes	—
52	#1998	C₂²	1	4	yes	—
53	#1998	C₂²	1	4	yes	—
54	#1998	C₂²	1	8	yes	—
55	#1952	C₂²	1	8	yes	—
56	#1951	C₂²	1	8	yes	—
57	#1848	C₂²	1	2	yes	—
58	#1837	C₂²	1	2	yes	—
59	#1821	C₂²	1	8	yes	—
60	#1816	C₂²	1	8	yes	—
61	#1815	C₂²	1	8	yes	—
62	#1810	C₂²	1	2	yes	—
63	#1810	C₂²	1	2	yes	—
64	C₄×#108	C₂²	1	2	yes	—
65	C₄×#108	C₂²	1	2	yes	—
66	C₂×#131	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×#131	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#533	D₄	1	2	yes	—
71	#533	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	#532	D₄	1	2	yes	—
73	#532	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	#529	—	2	2	no	—
75	#529	—	2	2	no	—
76	#529	D₄	1	4	yes	—
77	C₂×#125	—	2	4	no	—
78	C₂×#125	—	2	4	no	—
79	C₂×#125	—	2	4	no	—
80	C₂×#125	—	2	4	no	—
81	C₂×#125	—	2	4	no	—
82	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
84	#525	—	2	2	no	—
85	#525	C₂³	1	2	yes	—
86	C₄×#41	—	2	2	no	—
87	C₄×#41	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
89	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	#501	—	2	8	no	—
92	#499	—	2	8	no	—
93	#499	—	2	2	no	—
94	#499	—	2	2	no	—
95	#499	—	2	2	no	—
96	#499	—	2	2	no	—
97	#499	—	2	4	no	—
98	#499	—	2	4	no	—
99	#499	—	2	4	no	—
100	#499	—	2	4	no	—
101	#499	—	2	4	no	—
102	#499	—	2	4	no	—
103	#491	—	2	4	no	—
104	#490	—	2	4	no	—
105	#488	—	2	8	no	—
106	#484	—	2	8	no	—
107	#483	—	2	8	no	—
108	#481	—	2	8	no	—
109	#480	—	2	8	no	—
110	#479	—	2	16	no	—
111	#478	—	2	16	no	—
112	#446	—	2	2	no	—
113	#446	—	2	2	no	—
114	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
115	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
116	#436	—	2	2	no	—
117	#436	—	2	2	no	—
118	#435	—	2	4	no	—
119	#435	—	2	4	no	—
120	C₈×D₄	—	2	4	no	—
121	C₈×D₄	—	2	4	no	—
122	C₈×D₄	—	2	2	no	—
123	C₈×D₄	—	2	2	no	—
124	#433	—	2	4	no	—
125	#432	—	2	2	no	—
126	#432	—	2	4	no	—
127	#431	—	2	2	no	—
128	#431	—	2	4	no	—
129	#431	—	2	4	no	—
130	C₂×#108	C₂³	1	4	yes	—
131	C₂×#108	C₂³	1	4	yes	—
132	#428	C₂³	1	16	yes	—
133	C₂×#107	—	2	2	no	—
134	C₂×#107	—	2	2	no	—
135	C₂×#107	—	2	2	no	—
136	C₂×#107	—	2	2	no	—
137	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
138	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
139	C₂×#106	—	2	4	no	—
140	C₂×#106	—	2	4	no	—
141	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
142	C₂×#106	C₂³	1	4	yes	—
143	#424	C₂³	1	2	yes	—
144	#424	C₂³	1	2	yes	—
145	#423	C₂³	1	4	yes	—
146	#423	C₂³	1	1	yes	characteristic
147	#423	C₂³	1	1	yes	characteristic
148	#417	C₂³	1	16	yes	—
149	#408	C₂³	1	2	yes	—
150	#408	C₂³	1	2	yes	—
151	#407	C₂³	1	4	yes	—
152	#407	C₂³	1	2	yes	—
153	#405	—	2	2	no	—
154	#405	—	2	2	no	—
155	#405	C₂³	1	2	yes	—
156	#405	C₂³	1	2	yes	—
157	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
158	C₄×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
159	C₄×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
160	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
169	#343	C₂³	1	16	yes	—
170	#343	C₂³	1	16	yes	—
171	#341	C₂³	1	4	yes	—
172	#341	C₂³	1	4	yes	—
173	C₂×#41	—	2	2	no	—
174	C₂×#41	C₂⁴	1	2	yes	—
175	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
177	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
178	#131	—	2	8	no	—
179	#131	—	2	8	no	—
180	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
181	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
182	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	2	yes	—
183	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	2	yes	—
184	C₂×M₁₆	C₂⁴	1	8	yes	—
185	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
187	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
197	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
199	#127	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
200	#126	—	2	4	no	—
201	#125	—	2	2	no	—
202	#125	—	2	8	no	—
203	#125	—	2	4	no	—
204	#125	—	2	4	no	—
205	#125	—	2	4	no	—
206	#125	—	2	4	no	—
207	#125	—	2	8	no	—
208	#125	—	4	4	no	—
209	#125	—	4	4	no	—
210	#125	—	4	4	no	—
211	#125	—	4	4	no	—
212	#125	C₂×D₄	1	2	yes	—
213	#124	—	2	2	no	—
214	#124	C₂×D₄	1	2	yes	—
215	#123	—	2	4	no	—
216	#123	—	2	2	no	—
217	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
218	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
219	C₂²⋊Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
220	#121	—	2	2	no	—
221	#121	—	2	2	no	—
222	#121	C₂×D₄	1	4	yes	—
223	#120	—	2	2	no	—
224	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
225	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
226	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
227	C₄×D₄	—	2	4	no	—
228	C₄×D₄	—	2	4	no	—
229	C₄×D₄	—	2	4	no	—
230	C₄×D₄	—	2	2	no	—
231	C₄×D₄	—	2	2	no	—
232	C₄×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
233	#117	—	2	2	no	—
234	#117	—	2	4	no	—
235	#117	—	2	2	no	—
236	#117	C₂⁴	1	2	yes	—
237	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
239	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
240	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
242	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
243	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
245	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
246	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
247	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
248	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
249	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
250	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
251	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
252	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
253	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
254	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
255	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
257	#108	—	2	8	no	—
258	#108	—	2	8	no	—
259	#107	—	2	4	no	—
260	#107	—	2	4	no	—
261	#107	—	2	4	no	—
262	#107	—	2	4	no	—
263	#107	—	2	16	no	—
264	#106	—	2	8	no	—
265	#106	—	2	4	no	—
266	#106	—	2	4	no	—
267	#106	—	2	16	no	—
268	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
269	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
270	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
271	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
272	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
273	#103	—	2	16	no	—
274	#102	—	2	16	no	—
275	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
276	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
277	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
278	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
279	#97	—	2	2	no	—
280	#97	—	2	2	no	—
281	#97	—	2	2	no	—
282	#97	—	2	4	no	—
283	C₄×C₈	—	2	2	no	—
284	C₄×C₈	—	2	2	no	—
285	C₄×C₈	—	2	2	no	—
286	C₄×C₈	—	2	4	no	—
287	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
288	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
289	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
290	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
291	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
292	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
293	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
294	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
295	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
296	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
297	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
298	#41	—	2	4	no	—
299	#41	—	2	4	no	—
300	#41	—	4	8	no	—
301	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
302	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
303	C₂×D₄	—	2	4	no	—
304	C₂×D₄	—	2	2	no	—
305	C₂×D₄	—	2	2	no	—
306	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
307	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
312	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
313	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
314	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
316	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
317	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
318	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
319	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
320	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
321	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
322	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
323	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
324	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
325	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
326	M₁₆	—	2	8	no	—
327	M₁₆	—	2	8	no	—
328	M₁₆	—	2	4	no	—
329	M₁₆	—	2	4	no	—
330	M₁₆	—	4	4	no	—
331	M₁₆	—	4	4	no	—
332	C₂×C₈	—	2	2	no	—
333	C₂×C₈	—	2	2	no	—
334	C₂×C₈	—	2	4	no	—
335	C₂×C₈	—	2	4	no	—
336	C₂×C₈	—	2	4	no	—
337	C₂×C₈	—	2	4	no	—
338	C₂×C₈	—	2	2	no	—
339	C₂×C₈	—	2	2	no	—
340	C₂×C₈	—	2	8	no	—
341	C₂×C₈	—	4	4	no	—
342	C₂×C₈	—	4	4	no	—
343	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
344	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
345	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
350	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
351	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
352	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
353	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
354	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
355	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
356	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
357	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
358	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
359	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
360	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
361	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
362	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
363	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
364	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
365	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
366	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
367	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
368	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
369	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
370	C₄²	—	2	4	no	—
371	C₄²	—	2	2	no	—
372	C₄²	#121	1	2	yes	—
373	C₄²	#121	1	2	yes	—
374	C₄²	#121	1	2	yes	—
375	C₄²	#121	1	2	yes	—
376	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
377	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
378	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
379	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
380	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
381	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
382	C₂³	—	2	2	no	—
383	C₂³	—	2	4	no	—
384	C₂³	—	2	2	no	—
385	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
386	C₂³	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
387	Q₈	—	2	4	no	—
388	Q₈	—	4	4	no	—
389	D₄	—	2	4	no	—
390	D₄	—	4	4	no	—
391	D₄	—	4	4	no	—
392	D₄	—	4	8	no	—
393	C₂×C₄	—	2	2	no	—
394	C₂×C₄	—	2	4	no	—
395	C₂×C₄	—	2	4	no	—
396	C₂×C₄	—	2	2	no	—
397	C₂×C₄	—	2	2	no	—
398	C₂×C₄	—	2	4	no	—
399	C₂×C₄	—	2	2	no	—
400	C₂×C₄	—	2	4	no	—
401	C₂×C₄	—	4	2	no	—
402	C₂×C₄	—	4	2	no	—
403	C₂×C₄	—	4	2	no	—
404	C₂×C₄	—	4	2	no	—
405	C₂×C₄	—	4	8	no	—
406	C₂×C₄	—	4	2	no	—
407	C₂×C₄	—	4	2	no	—
408	C₂×C₄	—	4	8	no	—
409	C₂×C₄	—	8	8	no	—
410	C₂×C₄	—	8	8	no	—
411	C₂×C₄	—	8	8	no	—
412	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
413	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
414	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
415	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
416	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
417	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
418	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
419	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
420	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
421	C₈	—	2	2	no	—
422	C₈	—	2	2	no	—
423	C₈	—	4	2	no	—
424	C₈	—	4	2	no	—
425	C₈	—	4	8	no	—
426	C₈	#536	1	2	yes	—
427	C₈	#536	1	2	yes	—
428	C₈	#536	1	2	yes	—
429	C₈	#536	1	2	yes	—
430	C₂²	—	2	8	no	—
431	C₂²	—	2	2	no	—
432	C₂²	—	2	2	no	—
433	C₂²	—	2	2	no	—
434	C₂²	—	4	4	no	—
435	C₂²	—	4	2	no	—
436	C₂²	#3067	1	4	yes	—
437	C₂²	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
438	C₂²	#3509	1	2	yes	—
439	C₄	—	2	2	no	—
440	C₄	—	2	2	no	—
441	C₄	—	2	2	no	—
442	C₄	—	2	2	no	—
443	C₄	—	2	2	no	—
444	C₄	—	4	4	no	—
445	C₄	—	4	2	no	—
446	C₄	—	8	8	no	—
447	C₄	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
448	C₄	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
449	C₄	#3499	1	2	yes	—
450	C₂	—	2	2	no	—
451	C₂	—	2	4	no	—
452	C₂	—	8	2	no	—
453	C₂	#35316	1	1	yes	characteristic
454	C₂	C₂×#3067	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂²×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	#3444	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#499	C₂	semidirect
4. #33221	C₂	semidirect
5. #29888	C₂	semidirect
6. #28734	C₂	semidirect
7. #28733	C₂	semidirect
8. #28702	C₂	semidirect
9. #28701	C₂	semidirect
10. #27675	C₂	semidirect
11. #27672	C₂	semidirect
12. #21830	C₂	semidirect
13. #20826	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60861	2
C₂²×#499	2
#60204	2
#33221	2
#29888	2
#28734	2
#28733	2
#28702	2
#28701	2
#27675	2
#27672	2
#21830	2
#20826	2