Subgroups — #6497588

Order 512.

2778 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 330 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3227	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	#36644	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#2868	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#33310	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#33224	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#30277	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#28509	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	#27906	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	C₄×#431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#532	—	2	2	no	—
11	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
13	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
14	#3227	—	2	32	no	—
15	C₂×#498	C₂²	1	8	yes	—
16	C₂×#486	C₂²	1	8	yes	—
17	C₂×#481	C₂²	1	16	yes	—
18	C₂×#476	C₂²	1	16	yes	—
19	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
20	#2868	—	2	2	no	—
21	#2868	—	2	2	no	—
22	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2868	C₂²	1	2	yes	—
24	#2868	C₂²	1	2	yes	—
25	#2868	C₂²	1	4	yes	—
26	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#2858	—	2	2	no	—
28	#2858	C₂²	1	2	yes	—
29	#2856	—	2	2	no	—
30	#2856	C₂²	1	4	yes	—
31	C₄×#127	—	2	2	no	—
32	C₄×#127	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#384	—	2	2	no	—
34	C₂×#384	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#2094	C₂²	1	32	yes	—
37	#1957	C₂²	1	16	yes	—
38	#1844	C₂²	1	16	yes	—
39	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
40	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
41	#1744	C₂²	1	2	yes	—
42	C₄²×C₈	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂²×#41	—	2	2	no	—
44	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
45	#532	—	2	16	no	—
46	#532	—	4	16	no	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂×#127	—	2	2	no	—
59	C₂×#127	—	2	2	no	—
60	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×#124	—	2	2	no	—
63	C₂×#124	—	2	4	no	—
64	C₂×#121	—	2	2	no	—
65	C₂×#121	—	2	8	no	—
66	C₂×#121	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
69	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
71	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
72	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	#498	—	2	32	no	—
78	#486	—	2	32	no	—
79	#481	—	2	64	no	—
80	#476	—	2	64	no	—
81	#431	D₄	1	16	yes	complemented
82	C₂×#106	C₂³	1	32	yes	—
83	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×#102	C₂³	1	32	yes	—
85	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	8	yes	—
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
88	#390	—	2	4	no	—
89	#390	—	2	8	no	—
90	#390	—	2	8	no	—
91	#390	C₂³	1	8	yes	—
92	#384	—	2	2	no	—
93	#384	—	2	8	no	—
94	#384	—	2	8	no	—
95	#384	—	2	4	no	—
96	#384	—	2	4	no	—
97	#384	C₂³	1	4	yes	—
98	#384	C₂³	1	8	yes	—
99	#384	C₂³	1	8	yes	—
100	C₄³	D₄	1	2	yes	—
101	C₄³	D₄	1	2	yes	—
102	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
103	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	#336	C₂³	1	8	yes	—
106	C₂×#41	—	4	8	no	—
107	C₂×#41	—	4	16	no	—
108	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
110	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
111	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
112	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
118	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
119	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
120	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
125	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
126	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
127	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
128	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
129	C₄⋊Q₈	—	4	32	no	—
130	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
131	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
132	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
133	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
134	#127	—	2	8	no	—
135	#127	—	2	16	no	—
136	#127	—	4	8	no	—
137	#127	—	4	8	no	—
138	#124	—	4	8	no	—
139	#124	—	4	16	no	—
140	#121	—	2	16	no	—
141	#121	—	4	8	no	—
142	#121	—	4	32	no	—
143	C₄×D₄	—	2	16	no	—
144	C₄×D₄	—	4	8	no	—
145	C₄×D₄	—	4	32	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
163	C₂×C₄²	SD₁₆	1	16	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
178	#106	—	2	64	no	—
179	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
180	#102	—	2	64	no	—
181	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
182	C₄×C₈	—	2	16	no	—
183	C₄×C₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
184	C₂⁴	—	2	4	no	—
185	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
186	#41	—	8	32	no	—
187	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
188	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
189	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
190	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
191	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
192	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
193	C₂×Q₈	—	8	32	no	—
194	C₂×D₄	—	2	8	no	—
195	C₂×D₄	—	2	16	no	—
196	C₂×D₄	—	4	8	no	—
197	C₂×D₄	—	4	16	no	—
198	C₂×D₄	—	4	4	no	—
199	C₂×D₄	—	4	4	no	—
200	C₂×D₄	—	4	16	no	—
201	C₂×D₄	—	4	16	no	—
202	C₂×D₄	—	4	8	no	—
203	C₂×D₄	—	4	8	no	—
204	C₂×D₄	—	4	16	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
215	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	16	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	8	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
228	C₂×C₈	—	2	16	no	—
229	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	16	yes	—
230	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
233	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
234	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
242	C₄²	—	2	8	no	—
243	C₄²	—	2	4	no	—
244	C₄²	—	2	8	no	—
245	C₄²	—	2	4	no	—
246	C₄²	#127	1	4	yes	—
247	C₄²	#127	1	4	yes	—
248	C₄²	C₂×SD₁₆	1	16	yes	—
249	C₄²	C₂×SD₁₆	1	8	yes	—
250	C₄²	C₂×SD₁₆	1	8	yes	—
251	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
252	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
253	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
254	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
255	C₂³	—	2	2	no	—
256	C₂³	—	2	2	no	—
257	C₂³	—	4	4	no	—
258	C₂³	—	4	8	no	—
259	C₂³	—	4	8	no	—
260	C₂³	—	4	8	no	—
261	C₂³	C₂×#127	1	2	yes	—
262	C₂³	C₂²×SD₁₆	1	4	yes	—
263	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
264	Q₈	—	8	16	no	—
265	Q₈	—	8	8	no	—
266	Q₈	—	8	16	no	—
267	D₄	—	4	16	no	—
268	D₄	—	8	16	no	—
269	D₄	—	8	8	no	—
270	D₄	—	8	8	no	—
271	D₄	—	8	32	no	—
272	C₂×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	8	no	—
277	C₂×C₄	—	2	32	no	—
278	C₂×C₄	—	2	8	no	—
279	C₂×C₄	—	4	4	no	—
280	C₂×C₄	—	4	8	no	—
281	C₂×C₄	—	4	8	no	—
282	C₂×C₄	—	4	16	no	—
283	C₂×C₄	—	8	16	no	—
284	C₂×C₄	—	8	16	no	—
285	C₂×C₄	#492	1	16	yes	—
286	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	#536	1	8	yes	—
292	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	8	yes	—
293	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	4	yes	—
294	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	4	yes	—
295	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	8	yes	—
296	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
297	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
298	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
300	C₈	—	2	16	no	—
301	C₂²	—	2	8	no	—
302	C₂²	—	2	2	no	—
303	C₂²	—	2	2	no	—
304	C₂²	—	8	16	no	—
305	C₂²	—	8	4	no	—
306	C₂²	—	8	4	no	—
307	C₂²	—	8	4	no	—
308	C₂²	C₂×#492	1	4	yes	—
309	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
310	C₂²	C₂×#536	1	2	yes	—
311	C₂²	C₂³×SD₁₆	1	2	yes	—
312	C₂²	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
313	C₄	—	2	8	no	—
314	C₄	—	2	2	no	—
315	C₄	—	2	2	no	—
316	C₄	—	8	4	no	—
317	C₄	—	8	8	no	—
318	C₄	C₂×#492	1	4	yes	—
319	C₄	C₂×#492	1	4	yes	—
320	C₄	#3151	1	4	yes	—
321	C₄	#3227	1	16	yes	complemented
322	C₄	#3499	1	4	yes	—
323	C₂	—	2	4	no	—
324	C₂	—	16	4	no	—
325	C₂	#35317	1	1	yes	characteristic
326	C₂	C₂²×#492	1	1	yes	characteristic
327	C₂	C₂×#3151	1	1	yes	characteristic
328	C₂	C₂×#3227	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	#36644	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3227	C₂	semidirect
3. C₂×#2868	C₂	semidirect
4. #33310	C₂	semidirect
5. #33224	C₂	semidirect
6. #30277	C₂	semidirect
7. #28509	C₂	semidirect
8. #27906	C₂	semidirect
9. C₄×#431	C₂	semidirect
81. #431	D₄	semidirect
321. C₄	#3227	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3227	2
#36644	2
C₂×#2868	2
#33310	2
#33224	2
#30277	2
#28509	2
#27906	2
C₄×#431	2