Subgroups — #6497593

Order 512.

2460 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 361 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3228	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	#36645	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#36644	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#33312	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#33310	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#33224	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#33224	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#30278	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#28514	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
10	#27907	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
11	C₄×#431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#532	—	2	2	no	—
14	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
15	#3228	—	2	32	no	—
16	C₂×#500	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#498	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#486	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#486	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#482	C₂²	1	16	yes	—
21	C₂×#478	C₂²	1	16	yes	—
22	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
23	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#2862	C₂²	1	2	yes	—
28	#2859	C₂²	1	4	yes	—
29	#2858	—	2	2	no	—
30	#2858	C₂²	1	2	yes	—
31	#2857	—	2	2	no	—
32	#2857	—	2	2	no	—
33	#2856	—	2	2	no	—
34	#2856	C₂²	1	4	yes	—
35	C₄×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
36	C₄×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
37	C₄×#127	—	2	2	no	—
38	C₄×#127	C₂²	1	4	yes	—
39	#2285	C₂²	1	4	yes	—
40	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#2092	C₂²	1	32	yes	—
42	#1957	C₂²	1	8	yes	—
43	#1957	C₂²	1	8	yes	—
44	#1845	C₂²	1	8	yes	—
45	#1844	C₂²	1	8	yes	—
46	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
47	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
48	#1744	C₂²	1	2	yes	—
49	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
50	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×#41	—	2	2	no	—
52	#533	—	2	16	no	—
53	#532	—	2	16	no	—
54	#532	—	4	16	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#127	—	2	2	no	—
62	C₂×#127	—	2	2	no	—
63	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂×#124	—	2	2	no	—
67	C₂×#124	—	2	4	no	—
68	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
70	C₂×#121	—	2	2	no	—
71	C₂×#121	—	2	8	no	—
72	C₂×#121	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
77	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	#500	—	2	16	no	—
84	#498	—	2	16	no	—
85	#486	—	2	16	no	—
86	#486	—	2	16	no	—
87	#482	—	2	64	no	—
88	#478	—	2	64	no	—
89	#431	D₄	1	16	yes	complemented
90	C₂×#107	C₂³	1	16	yes	—
91	C₂×#106	C₂³	1	16	yes	—
92	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
94	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
95	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
100	#391	—	2	4	no	—
101	#391	—	2	4	no	—
102	#390	—	2	4	no	—
103	#390	—	2	8	no	—
104	#390	—	2	8	no	—
105	#390	C₂³	1	8	yes	—
106	#389	—	2	8	no	—
107	#389	—	2	8	no	—
108	#384	—	2	2	no	—
109	#384	—	2	2	no	—
110	#384	—	2	2	no	—
111	#384	C₂³	1	4	yes	—
112	#384	C₂³	1	4	yes	—
113	#384	C₂³	1	4	yes	—
114	#382	C₂³	1	8	yes	—
115	#380	—	2	8	no	—
116	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
117	C₄³	D₄	1	2	yes	—
118	C₄³	D₄	1	2	yes	—
119	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
120	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
121	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	#336	C₂³	1	8	yes	—
123	C₂×#41	—	4	16	no	—
124	C₂×#41	—	4	8	no	—
125	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
127	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
129	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
130	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
131	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
133	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
134	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
139	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
140	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
141	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
142	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
144	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
146	#127	—	2	8	no	—
147	#127	—	2	16	no	—
148	#127	—	4	8	no	—
149	#127	—	4	8	no	—
150	#125	—	2	16	no	—
151	#124	—	4	16	no	—
152	#124	—	4	8	no	—
153	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
154	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
155	#121	—	2	16	no	—
156	#121	—	4	32	no	—
157	#121	—	4	8	no	—
158	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
159	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
160	C₄×D₄	—	2	16	no	—
161	C₄×D₄	—	4	32	no	—
162	C₄×D₄	—	4	8	no	—
163	#117	—	2	16	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
173	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
197	#107	—	2	32	no	—
198	#106	—	2	32	no	—
199	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
200	#102	—	2	32	no	—
201	#102	—	2	32	no	—
202	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
203	C₄×C₈	—	2	8	no	—
204	C₄×C₈	—	2	8	no	—
205	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
206	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
207	#95	—	2	16	no	—
208	C₂⁴	—	2	4	no	—
209	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
210	#41	—	8	32	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
213	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
216	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
217	C₂×D₄	—	2	8	no	—
218	C₂×D₄	—	2	16	no	—
219	C₂×D₄	—	4	16	no	—
220	C₂×D₄	—	4	8	no	—
221	C₂×D₄	—	4	4	no	—
222	C₂×D₄	—	4	4	no	—
223	C₂×D₄	—	4	16	no	—
224	C₂×D₄	—	4	8	no	—
225	C₂×D₄	—	4	16	no	—
226	C₂×D₄	—	4	16	no	—
227	C₂×D₄	—	4	8	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
239	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₈	—	2	8	no	—
251	C₂×C₈	—	2	8	no	—
252	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
253	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
254	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
269	C₄²	—	2	8	no	—
270	C₄²	—	2	8	no	—
271	C₄²	—	2	4	no	—
272	C₄²	—	2	8	no	—
273	C₄²	—	2	4	no	—
274	C₄²	—	2	4	no	—
275	C₄²	—	4	8	no	—
276	C₄²	#127	1	4	yes	—
277	C₄²	#127	1	4	yes	—
278	C₄²	#135	1	8	yes	—
279	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
280	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
281	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
282	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	2	2	no	—
285	C₂³	—	2	2	no	—
286	C₂³	—	4	4	no	—
287	C₂³	—	4	8	no	—
288	C₂³	—	4	8	no	—
289	C₂³	—	4	8	no	—
290	C₂³	C₂×#127	1	2	yes	—
291	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
292	Q₈	—	8	8	no	—
293	Q₈	—	8	8	no	—
294	Q₈	—	8	8	no	—
295	D₄	—	4	16	no	—
296	D₄	—	8	16	no	—
297	D₄	—	8	8	no	—
298	D₄	—	8	8	no	—
299	D₄	—	8	32	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	8	no	—
304	C₂×C₄	—	2	8	no	—
305	C₂×C₄	—	2	8	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	4	16	no	—
310	C₂×C₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	4	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	8	no	—
314	C₂×C₄	—	4	8	no	—
315	C₂×C₄	—	4	8	no	—
316	C₂×C₄	—	8	16	no	—
317	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#536	1	8	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×#135	1	8	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
327	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
329	C₈	—	2	8	no	—
330	C₈	—	2	8	no	—
331	C₂²	—	2	2	no	—
332	C₂²	—	2	2	no	—
333	C₂²	—	2	2	no	—
334	C₂²	—	4	4	no	—
335	C₂²	—	8	16	no	—
336	C₂²	—	8	4	no	—
337	C₂²	—	8	4	no	—
338	C₂²	—	8	4	no	—
339	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	C₂×#536	1	2	yes	—
341	C₂²	C₂²×#135	1	2	yes	—
342	C₂²	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
343	C₄	—	2	2	no	—
344	C₄	—	2	2	no	—
345	C₄	—	2	2	no	—
346	C₄	—	4	4	no	—
347	C₄	—	8	4	no	—
348	C₄	—	8	4	no	—
349	C₄	—	8	4	no	—
350	C₄	#3147	1	4	yes	—
351	C₄	#3151	1	4	yes	—
352	C₄	#3228	1	16	yes	complemented
353	C₄	#3499	1	4	yes	—
354	C₂	—	4	2	no	—
355	C₂	—	16	4	no	—
356	C₂	#35317	1	1	yes	characteristic
357	C₂	C₂×#3147	1	1	yes	characteristic
358	C₂	C₂×#3151	1	1	yes	characteristic
359	C₂	C₂×#3228	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	#36644	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3228	C₂	semidirect
2. #36645	C₂	semidirect
4. #33312	C₂	semidirect
5. #33310	C₂	semidirect
6. #33224	C₂	semidirect
7. #33224	C₂	semidirect
8. #30278	C₂	semidirect
9. #28514	C₂	semidirect
10. #27907	C₂	semidirect
11. C₄×#431	C₂	semidirect
89. #431	D₄	semidirect
352. C₄	#3228	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3228	2
#36645	2
#36644	2
#33312	2
#33310	2
#33224	2
#30278	2
#28514	2
#27907	2
C₄×#431	2