Subgroups — #6497602

Order 512.

2436 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 350 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3228	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	#36645	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#36644	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#33314	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#33235	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#30277	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#30276	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#28516	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	#27917	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
10	#20463	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#532	—	2	2	no	—
13	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
14	#3228	—	2	32	no	—
15	C₂×#500	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#498	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#486	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#486	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#482	C₂²	1	16	yes	—
20	C₂×#478	C₂²	1	16	yes	—
21	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
22	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2862	C₂²	1	2	yes	—
27	#2859	C₂²	1	4	yes	—
28	#2858	—	2	2	no	—
29	#2858	C₂²	1	2	yes	—
30	#2857	—	2	2	no	—
31	#2857	—	2	2	no	—
32	#2856	—	2	2	no	—
33	#2856	C₂²	1	4	yes	—
34	C₄×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
35	C₄×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
36	C₄×#127	—	2	2	no	—
37	C₄×#127	C₂²	1	4	yes	—
38	#2285	C₂²	1	4	yes	—
39	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#2094	C₂²	1	16	yes	—
41	#2093	C₂²	1	16	yes	—
42	#1961	C₂²	1	16	yes	—
43	#1847	C₂²	1	16	yes	—
44	#1767	C₂²	1	4	yes	—
45	#1749	C₂²	1	4	yes	—
46	#1744	C₂²	1	2	yes	—
47	C₄×#97	C₂²	1	2	yes	—
48	C₂²×#41	—	2	2	no	—
49	#533	—	2	16	no	—
50	#532	—	2	16	no	—
51	#532	—	4	16	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×#127	—	2	2	no	—
59	C₂×#127	—	2	2	no	—
60	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂×#124	—	2	2	no	—
64	C₂×#124	—	2	4	no	—
65	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
67	C₂×#121	—	2	2	no	—
68	C₂×#121	—	2	8	no	—
69	C₂×#121	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
74	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	#500	—	2	16	no	—
81	#498	—	2	16	no	—
82	#486	—	2	16	no	—
83	#486	—	2	16	no	—
84	#482	—	2	64	no	—
85	#478	—	2	64	no	—
86	#431	D₄	1	16	yes	complemented
87	C₂×#107	C₂³	1	16	yes	—
88	C₂×#106	C₂³	1	16	yes	—
89	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
91	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
92	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂×#97	C₂³	1	8	yes	—
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
95	#391	—	2	4	no	—
96	#391	—	2	4	no	—
97	#390	—	2	4	no	—
98	#390	—	2	8	no	—
99	#390	—	2	8	no	—
100	#390	C₂³	1	8	yes	—
101	#389	—	2	8	no	—
102	#389	—	2	8	no	—
103	#384	—	2	2	no	—
104	#384	—	2	2	no	—
105	#384	—	2	2	no	—
106	#384	C₂³	1	4	yes	—
107	#384	C₂³	1	4	yes	—
108	#384	C₂³	1	4	yes	—
109	#382	C₂³	1	8	yes	—
110	#380	—	2	8	no	—
111	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
112	C₄³	D₄	1	2	yes	—
113	C₄³	D₄	1	2	yes	—
114	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
115	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	#336	C₂³	1	8	yes	—
118	C₂×#41	—	4	16	no	—
119	C₂×#41	—	4	8	no	—
120	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
128	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
129	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
134	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
135	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
136	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
137	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
138	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
139	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
140	#127	—	2	8	no	—
141	#127	—	2	16	no	—
142	#127	—	4	8	no	—
143	#127	—	4	8	no	—
144	#125	—	2	16	no	—
145	#124	—	4	8	no	—
146	#124	—	4	16	no	—
147	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
148	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
149	#121	—	2	16	no	—
150	#121	—	4	32	no	—
151	#121	—	4	8	no	—
152	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
153	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
154	C₄×D₄	—	2	16	no	—
155	C₄×D₄	—	4	32	no	—
156	C₄×D₄	—	4	8	no	—
157	#117	—	2	16	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
191	#107	—	2	32	no	—
192	#106	—	2	32	no	—
193	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
194	#102	—	2	32	no	—
195	#102	—	2	32	no	—
196	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
197	#97	—	2	16	no	—
198	C₄×C₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
199	#95	—	2	16	no	—
200	C₂⁴	—	2	4	no	—
201	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
202	#41	—	8	32	no	—
203	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
204	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
205	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
206	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
207	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
209	C₂×D₄	—	2	8	no	—
210	C₂×D₄	—	2	16	no	—
211	C₂×D₄	—	4	16	no	—
212	C₂×D₄	—	4	16	no	—
213	C₂×D₄	—	4	16	no	—
214	C₂×D₄	—	4	8	no	—
215	C₂×D₄	—	4	4	no	—
216	C₂×D₄	—	4	4	no	—
217	C₂×D₄	—	4	16	no	—
218	C₂×D₄	—	4	8	no	—
219	C₂×D₄	—	4	8	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
231	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
242	C₂×C₈	—	2	16	no	—
243	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	16	yes	—
244	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
259	C₄²	—	2	8	no	—
260	C₄²	—	2	8	no	—
261	C₄²	—	2	4	no	—
262	C₄²	—	2	4	no	—
263	C₄²	—	2	4	no	—
264	C₄²	—	2	4	no	—
265	C₄²	—	4	4	no	—
266	C₄²	—	4	8	no	—
267	C₄²	#127	1	4	yes	—
268	C₄²	#127	1	4	yes	—
269	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
270	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
271	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
272	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	2	no	—
276	C₂³	—	4	4	no	—
277	C₂³	—	4	8	no	—
278	C₂³	—	4	8	no	—
279	C₂³	—	4	8	no	—
280	C₂³	C₂×#127	1	2	yes	—
281	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
282	Q₈	—	8	8	no	—
283	Q₈	—	8	8	no	—
284	Q₈	—	8	8	no	—
285	D₄	—	4	16	no	—
286	D₄	—	8	32	no	—
287	D₄	—	8	16	no	—
288	D₄	—	8	8	no	—
289	D₄	—	8	8	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	8	no	—
298	C₂×C₄	—	2	8	no	—
299	C₂×C₄	—	2	8	no	—
300	C₂×C₄	—	4	16	no	—
301	C₂×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	4	no	—
304	C₂×C₄	—	4	8	no	—
305	C₂×C₄	—	4	8	no	—
306	C₂×C₄	—	4	8	no	—
307	C₂×C₄	—	8	16	no	—
308	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#536	1	8	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	#575	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
319	C₈	—	2	16	no	—
320	C₂²	—	2	2	no	—
321	C₂²	—	2	2	no	—
322	C₂²	—	2	2	no	—
323	C₂²	—	4	4	no	—
324	C₂²	—	8	16	no	—
325	C₂²	—	8	4	no	—
326	C₂²	—	8	4	no	—
327	C₂²	—	8	4	no	—
328	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	C₂×#536	1	2	yes	—
330	C₂²	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
331	C₂²	C₂×#575	1	2	yes	—
332	C₄	—	2	8	no	—
333	C₄	—	2	8	no	—
334	C₄	—	2	2	no	—
335	C₄	—	2	2	no	—
336	C₄	—	2	2	no	—
337	C₄	—	8	4	no	—
338	C₄	—	8	4	no	—
339	C₄	—	8	4	no	—
340	C₄	#3150	1	4	yes	—
341	C₄	#3151	1	4	yes	—
342	C₄	#3499	1	4	yes	—
343	C₂	—	4	2	no	—
344	C₂	—	16	4	no	—
345	C₂	#35317	1	1	yes	characteristic
346	C₂	C₂×#3150	1	1	yes	characteristic
347	C₂	C₂×#3151	1	1	yes	characteristic
348	C₂	#60864	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	#36644	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3228	C₂	semidirect
2. #36645	C₂	semidirect
4. #33314	C₂	semidirect
5. #33235	C₂	semidirect
6. #30277	C₂	semidirect
7. #30276	C₂	semidirect
8. #28516	C₂	semidirect
9. #27917	C₂	semidirect
10. #20463	C₂	semidirect
86. #431	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3228	2
#36645	2
#36644	2
#33314	2
#33235	2
#30277	2
#30276	2
#28516	2
#27917	2
#20463	2