Subgroups — #6497620

Order 512.

2432 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 434 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3235	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	#36645	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#36644	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#33316	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#33231	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#30283	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#28521	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#28509	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#28508	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#27917	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#27907	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	C₄×#432	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#532	—	2	2	no	—
15	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
16	#3235	—	2	32	no	—
17	C₂×#501	C₂²	1	8	yes	—
18	C₂×#490	C₂²	1	8	yes	—
19	C₂×#482	C₂²	1	16	yes	—
20	C₂×#476	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂×#474	C₂²	1	8	yes	—
22	C₂×#432	C₂²	1	2	yes	—
23	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#2862	C₂²	1	2	yes	—
28	#2859	C₂²	1	2	yes	—
29	#2859	C₂²	1	2	yes	—
30	#2858	—	2	2	no	—
31	#2858	C₂²	1	2	yes	—
32	#2857	—	2	2	no	—
33	#2857	—	2	2	no	—
34	#2856	—	2	2	no	—
35	#2856	C₂²	1	2	yes	—
36	#2856	C₂²	1	2	yes	—
37	C₄×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
38	C₄×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
39	C₄×#127	—	2	2	no	—
40	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
41	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
42	#2285	C₂²	1	2	yes	—
43	#2285	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#2094	C₂²	1	8	yes	—
46	#2093	C₂²	1	8	yes	—
47	#2092	C₂²	1	16	yes	—
48	#1961	C₂²	1	8	yes	—
49	#1957	C₂²	1	4	yes	—
50	#1957	C₂²	1	4	yes	—
51	#1847	C₂²	1	8	yes	—
52	#1845	C₂²	1	4	yes	—
53	#1844	C₂²	1	4	yes	—
54	#1767	C₂²	1	2	yes	—
55	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
56	#1749	C₂²	1	2	yes	—
57	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
58	#1745	C₂²	1	2	yes	—
59	C₄×#97	C₂²	1	2	yes	—
60	C₂²×#41	—	2	2	no	—
61	#533	—	2	16	no	—
62	#532	—	2	16	no	—
63	#532	—	4	16	no	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×#127	—	2	2	no	—
71	C₂×#127	—	2	2	no	—
72	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂×#124	—	2	2	no	—
77	C₂×#124	—	2	4	no	—
78	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
79	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
80	C₂×#121	—	2	2	no	—
81	C₂×#121	—	2	4	no	—
82	C₂×#121	—	2	4	no	—
83	C₂×#121	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
85	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
86	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
88	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
89	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
92	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
93	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	#501	—	2	32	no	—
97	#490	—	2	32	no	—
98	#482	—	2	64	no	—
99	#476	—	2	32	no	—
100	#474	—	2	32	no	—
101	#432	D₄	1	16	yes	complemented
102	C₂×#107	C₂³	1	16	yes	—
103	C₂×#106	C₂³	1	16	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
106	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
107	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
111	#391	—	2	4	no	—
112	#391	—	2	4	no	—
113	#390	—	2	4	no	—
114	#390	—	2	4	no	—
115	#390	—	2	4	no	—
116	#390	—	2	4	no	—
117	#390	—	2	4	no	—
118	#390	C₂³	1	4	yes	—
119	#390	C₂³	1	4	yes	—
120	#389	—	2	4	no	—
121	#389	—	2	4	no	—
122	#389	—	2	4	no	—
123	#389	—	2	4	no	—
124	#384	—	2	2	no	—
125	#384	—	2	2	no	—
126	#384	—	2	2	no	—
127	#384	C₂³	1	2	yes	—
128	#384	C₂³	1	2	yes	—
129	#384	C₂³	1	2	yes	—
130	#384	C₂³	1	2	yes	—
131	#384	C₂³	1	2	yes	—
132	#384	C₂³	1	2	yes	—
133	#382	C₂³	1	4	yes	—
134	#382	C₂³	1	4	yes	—
135	#380	—	2	4	no	—
136	#380	—	2	4	no	—
137	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
138	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₄³	D₄	1	2	yes	—
140	C₄³	D₄	1	2	yes	—
141	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
142	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
143	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
144	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
145	#336	C₂³	1	4	yes	—
146	#336	C₂³	1	4	yes	—
147	C₂×#41	—	4	16	no	—
148	C₂×#41	—	4	8	no	—
149	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
150	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
151	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
152	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
153	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
154	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
155	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
156	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
157	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
158	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
159	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
165	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
166	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
167	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
168	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
169	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
170	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
171	#127	—	2	8	no	—
172	#127	—	2	8	no	—
173	#127	—	2	8	no	—
174	#127	—	4	8	no	—
175	#127	—	4	8	no	—
176	#125	—	2	16	no	—
177	#124	—	4	16	no	—
178	#124	—	4	8	no	—
179	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
180	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
181	#121	—	2	16	no	—
182	#121	—	4	16	no	—
183	#121	—	4	16	no	—
184	#121	—	4	8	no	—
185	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
186	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
187	C₄×D₄	—	2	16	no	—
188	C₄×D₄	—	4	16	no	—
189	C₄×D₄	—	4	8	no	—
190	C₄×D₄	—	4	16	no	—
191	#117	—	2	16	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
204	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
205	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
206	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
211	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
212	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
213	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
214	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
215	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
216	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
217	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
218	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
219	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
220	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
221	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
222	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
223	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
224	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
225	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
228	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
229	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
230	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
231	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
232	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
233	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
234	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
235	#107	—	2	32	no	—
236	#106	—	2	32	no	—
237	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
238	#102	—	2	32	no	—
239	#102	—	2	32	no	—
240	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
241	#97	—	2	8	no	—
242	#97	C₂×D₄	1	16	yes	—
243	C₄×C₈	—	2	8	no	—
244	#95	—	2	8	no	—
245	#95	—	2	8	no	—
246	C₂⁴	—	2	4	no	—
247	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
248	#41	—	8	32	no	—
249	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
250	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
251	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
252	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
253	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
254	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
255	C₂×D₄	—	2	8	no	—
256	C₂×D₄	—	2	8	no	—
257	C₂×D₄	—	2	8	no	—
258	C₂×D₄	—	4	8	no	—
259	C₂×D₄	—	4	8	no	—
260	C₂×D₄	—	4	8	no	—
261	C₂×D₄	—	4	8	no	—
262	C₂×D₄	—	4	16	no	—
263	C₂×D₄	—	4	8	no	—
264	C₂×D₄	—	4	4	no	—
265	C₂×D₄	—	4	4	no	—
266	C₂×D₄	—	4	8	no	—
267	C₂×D₄	—	4	8	no	—
268	C₂×D₄	—	4	8	no	—
269	C₂×D₄	—	4	8	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
282	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
283	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
284	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
285	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
286	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
288	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
289	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
290	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
291	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
293	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
294	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
295	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
296	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
297	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₈	—	2	8	no	—
299	C₂×C₈	—	2	8	no	—
300	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	16	yes	—
301	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
302	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
303	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
308	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
309	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
310	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
311	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
312	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
313	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
314	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
320	C₄²	—	2	4	no	—
321	C₄²	—	2	4	no	—
322	C₄²	—	2	4	no	—
323	C₄²	—	2	4	no	—
324	C₄²	—	2	4	no	—
325	C₄²	—	2	4	no	—
326	C₄²	—	2	4	no	—
327	C₄²	—	2	2	no	—
328	C₄²	—	2	2	no	—
329	C₄²	—	4	2	no	—
330	C₄²	—	4	2	no	—
331	C₄²	—	4	8	no	—
332	C₄²	#127	1	4	yes	—
333	C₄²	#127	1	4	yes	—
334	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
335	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
336	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
337	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
338	C₄²	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
339	C₂³	—	2	1	no	—
340	C₂³	—	2	1	no	—
341	C₂³	—	2	2	no	—
342	C₂³	—	2	2	no	—
343	C₂³	—	4	4	no	—
344	C₂³	—	4	4	no	—
345	C₂³	—	4	4	no	—
346	C₂³	—	4	8	no	—
347	C₂³	—	4	8	no	—
348	C₂³	C₂×#127	1	2	yes	—
349	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
350	Q₈	—	8	8	no	—
351	Q₈	—	8	8	no	—
352	Q₈	—	8	8	no	—
353	D₄	—	4	16	no	—
354	D₄	—	8	16	no	—
355	D₄	—	8	8	no	—
356	D₄	—	8	8	no	—
357	D₄	—	8	16	no	—
358	D₄	—	8	16	no	—
359	C₂×C₄	—	2	2	no	—
360	C₂×C₄	—	2	1	no	—
361	C₂×C₄	—	2	1	no	—
362	C₂×C₄	—	2	2	no	—
363	C₂×C₄	—	2	2	no	—
364	C₂×C₄	—	2	2	no	—
365	C₂×C₄	—	2	2	no	—
366	C₂×C₄	—	2	2	no	—
367	C₂×C₄	—	2	2	no	—
368	C₂×C₄	—	2	8	no	—
369	C₂×C₄	—	2	8	no	—
370	C₂×C₄	—	2	2	no	—
371	C₂×C₄	—	2	2	no	—
372	C₂×C₄	—	2	2	no	—
373	C₂×C₄	—	4	4	no	—
374	C₂×C₄	—	4	8	no	—
375	C₂×C₄	—	4	8	no	—
376	C₂×C₄	—	4	4	no	—
377	C₂×C₄	—	4	4	no	—
378	C₂×C₄	—	4	4	no	—
379	C₂×C₄	—	4	8	no	—
380	C₂×C₄	—	4	8	no	—
381	C₂×C₄	—	4	8	no	—
382	C₂×C₄	—	8	16	no	—
383	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
384	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
386	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	#536	1	4	yes	—
389	C₂×C₄	#536	1	4	yes	—
390	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
391	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
392	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
393	C₂×C₄	#575	1	4	yes	—
394	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
395	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
396	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
397	C₈	—	2	16	no	—
398	C₂²	—	2	2	no	—
399	C₂²	—	2	2	no	—
400	C₂²	—	2	2	no	—
401	C₂²	—	4	2	no	—
402	C₂²	—	4	2	no	—
403	C₂²	—	8	8	no	—
404	C₂²	—	8	8	no	—
405	C₂²	—	8	4	no	—
406	C₂²	—	8	4	no	—
407	C₂²	—	8	4	no	—
408	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
409	C₂²	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
410	C₂²	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
411	C₂²	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
412	C₂²	C₂×#575	1	2	yes	—
413	C₄	—	2	4	no	—
414	C₄	—	2	4	no	—
415	C₄	—	2	2	no	—
416	C₄	—	2	2	no	—
417	C₄	—	2	2	no	—
418	C₄	—	2	2	no	—
419	C₄	—	4	2	no	—
420	C₄	—	8	4	no	—
421	C₄	—	8	4	no	—
422	C₄	—	8	4	no	—
423	C₄	#3151	1	4	yes	—
424	C₄	#3235	1	8	yes	complemented
425	C₄	#3499	1	4	yes	—
426	C₂	—	4	2	no	—
427	C₂	—	16	4	no	—
428	C₂	#35317	1	1	yes	characteristic
429	C₂	C₂×#3151	1	1	yes	characteristic
430	C₂	#60639	1	1	yes	characteristic
431	C₂	C₂×#3235	1	2	yes	—
432	C₂	#60864	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	#36644	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3235	C₂	semidirect
2. #36645	C₂	semidirect
4. #33316	C₂	semidirect
5. #33231	C₂	semidirect
6. #30283	C₂	semidirect
7. #28521	C₂	semidirect
8. #28509	C₂	semidirect
9. #28508	C₂	semidirect
10. #27917	C₂	semidirect
11. #27907	C₂	semidirect
12. C₄×#432	C₂	semidirect
101. #432	D₄	semidirect
424. C₄	#3235	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3235	2
#36645	2
#36644	2
#33316	2
#33231	2
#30283	2
#28521	2
#28509	2
#28508	2
#27917	2
#27907	2
C₄×#432	2