Subgroups — #6497661

Order 512.

2196 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 405 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3228	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#3169	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#3160	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#35298	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#33313	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#33312	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#33241	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#33241	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#30278	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#30277	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#28534	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
12	#27928	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
13	C₈×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
16	#3228	—	2	16	no	—
17	#3169	—	2	8	no	—
18	#3160	—	2	8	no	—
19	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#499	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#498	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#482	C₂²	1	8	yes	—
31	C₂×#478	C₂²	1	8	yes	—
32	C₂×#466	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#427	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#2868	C₂²	1	2	yes	—
38	#2862	C₂²	1	2	yes	—
39	#2858	C₂²	1	2	yes	—
40	#2858	C₂²	1	2	yes	—
41	#2620	—	2	4	no	—
42	#2566	C₂²	1	8	yes	—
43	#2545	—	2	4	no	—
44	#2500	C₂²	1	8	yes	—
45	#2432	—	2	4	no	—
46	#2326	—	2	4	no	—
47	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	#2094	C₂²	1	16	yes	—
49	#2092	C₂²	1	16	yes	—
50	#1970	C₂²	1	8	yes	—
51	#1970	C₂²	1	8	yes	—
52	#1846	C₂²	1	8	yes	—
53	#1845	C₂²	1	8	yes	—
54	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
55	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
56	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
57	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
58	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
59	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×#41	—	2	2	no	—
61	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
63	#533	—	2	8	no	—
64	#533	—	2	8	no	—
65	#532	—	2	8	no	—
66	#532	—	2	8	no	—
67	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂×#124	—	2	4	no	—
74	C₂×#124	—	2	2	no	—
75	C₂×#124	—	2	4	no	—
76	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
78	C₂×#121	—	2	2	no	—
79	C₂×#121	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
85	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	#500	—	2	4	no	—
88	#500	—	2	4	no	—
89	#500	—	2	4	no	—
90	#500	—	2	8	no	—
91	#499	—	2	16	no	—
92	#498	—	2	8	no	—
93	#498	—	2	8	no	—
94	#493	—	2	4	no	—
95	#486	—	2	8	no	—
96	#486	—	2	8	no	—
97	#486	—	2	8	no	—
98	#482	—	2	32	no	—
99	#478	—	2	32	no	—
100	#466	—	2	16	no	—
101	C₄×D₈	—	2	16	no	—
102	#431	D₄	1	8	yes	—
103	#427	—	2	16	no	—
104	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
105	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
109	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
110	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
112	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
113	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
114	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
115	C₂×C₄×C₈	D₄	1	8	yes	—
116	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
117	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
118	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
123	#396	—	2	16	no	—
124	#394	—	2	16	no	—
125	#391	—	2	4	no	—
126	#391	—	2	4	no	—
127	#390	—	2	4	no	—
128	#390	—	2	4	no	—
129	#390	C₂³	1	8	yes	—
130	#390	C₂³	1	8	yes	—
131	#388	—	2	16	no	—
132	#385	—	2	16	no	—
133	#384	—	2	4	no	—
134	#384	C₂³	1	8	yes	—
135	#382	C₂³	1	8	yes	—
136	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
137	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
138	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
139	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
140	#376	D₄	1	2	yes	—
141	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
142	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
143	#336	C₂³	1	4	yes	—
144	#336	C₂³	1	4	yes	—
145	C₂×#41	—	4	8	no	—
146	C₂×#41	—	8	8	no	—
147	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
148	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
149	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
150	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
151	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
152	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
153	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
154	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
155	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
158	C₂×D₈	—	2	8	no	—
159	C₂×D₈	—	2	16	no	—
160	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
161	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
162	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
163	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
164	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
165	C₂²×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
166	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
167	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
168	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
169	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
170	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
171	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
172	C₄⋊Q₈	—	8	8	no	—
173	#127	—	2	4	no	—
174	#127	—	2	4	no	—
175	#125	—	2	8	no	—
176	#125	—	2	8	no	—
177	#124	—	4	8	no	—
178	#124	—	4	16	no	—
179	#124	—	8	8	no	—
180	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
181	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
182	#121	—	2	8	no	—
183	#121	—	2	8	no	—
184	#121	—	4	8	no	—
185	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
186	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
187	C₄×D₄	—	2	8	no	—
188	C₄×D₄	—	2	8	no	—
189	C₄×D₄	—	4	8	no	—
190	#117	—	2	8	no	—
191	#117	—	2	8	no	—
192	#117	—	2	8	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
200	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
201	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
202	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
203	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
205	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
206	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
209	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
210	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
211	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
212	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
213	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
216	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
217	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
218	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
219	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
220	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
222	#107	—	2	8	no	—
223	#107	—	2	8	no	—
224	#107	—	2	8	no	—
225	#107	—	2	16	no	—
226	#106	—	2	16	no	—
227	#106	—	2	16	no	—
228	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
229	#102	—	2	16	no	—
230	#102	—	2	16	no	—
231	#102	—	2	16	no	—
232	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
233	C₄×C₈	—	2	8	no	—
234	C₄×C₈	—	2	8	no	—
235	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
236	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
237	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
238	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
239	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
240	#95	—	2	16	no	—
241	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
242	#95	C₂×D₄	1	4	yes	—
243	C₂⁴	—	2	4	no	—
244	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
245	#41	—	8	32	no	—
246	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
247	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
248	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
249	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
250	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
251	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
252	C₂×D₄	—	2	4	no	—
253	C₂×D₄	—	2	4	no	—
254	C₂×D₄	—	2	16	no	—
255	C₂×D₄	—	4	8	no	—
256	C₂×D₄	—	4	4	no	—
257	C₂×D₄	—	4	4	no	—
258	C₂×D₄	—	4	8	no	—
259	C₂×D₄	—	4	8	no	—
260	C₂×D₄	—	8	8	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
268	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
269	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
270	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
281	D₈	—	4	16	no	—
282	C₂×C₈	—	2	4	no	—
283	C₂×C₈	—	2	4	no	—
284	C₂×C₈	—	2	4	no	—
285	C₂×C₈	—	2	16	no	—
286	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
287	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
288	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
289	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
290	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
291	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
310	C₄²	—	2	4	no	—
311	C₄²	—	2	4	no	—
312	C₄²	—	2	4	no	—
313	C₄²	—	2	4	no	—
314	C₄²	—	2	4	no	—
315	C₄²	—	4	8	no	—
316	C₄²	#127	1	4	yes	—
317	C₄²	#127	1	4	yes	—
318	C₄²	#135	1	8	yes	—
319	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
320	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
321	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
322	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
323	C₂³	—	2	2	no	—
324	C₂³	—	2	2	no	—
325	C₂³	—	2	2	no	—
326	C₂³	—	4	4	no	—
327	C₂³	—	4	8	no	—
328	C₂³	—	4	8	no	—
329	C₂³	—	4	8	no	—
330	C₂³	C₂×#127	1	2	yes	—
331	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
332	Q₈	—	8	8	no	—
333	Q₈	—	8	8	no	—
334	Q₈	—	8	8	no	—
335	D₄	—	4	8	no	—
336	D₄	—	4	8	no	—
337	D₄	—	8	16	no	—
338	D₄	—	8	8	no	—
339	D₄	—	8	8	no	—
340	C₂×C₄	—	2	4	no	—
341	C₂×C₄	—	2	2	no	—
342	C₂×C₄	—	2	2	no	—
343	C₂×C₄	—	2	4	no	—
344	C₂×C₄	—	2	2	no	—
345	C₂×C₄	—	2	8	no	—
346	C₂×C₄	—	2	8	no	—
347	C₂×C₄	—	2	4	no	—
348	C₂×C₄	—	2	4	no	—
349	C₂×C₄	—	2	4	no	—
350	C₂×C₄	—	2	4	no	—
351	C₂×C₄	—	2	4	no	—
352	C₂×C₄	—	4	4	no	—
353	C₂×C₄	—	4	4	no	—
354	C₂×C₄	—	4	4	no	—
355	C₂×C₄	—	4	8	no	—
356	C₂×C₄	—	4	8	no	—
357	C₂×C₄	—	4	8	no	—
358	C₂×C₄	—	8	16	no	—
359	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	C₂×#135	1	8	yes	—
365	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
366	C₂×C₄	#576	1	4	yes	—
367	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
370	C₈	—	2	4	no	—
371	C₈	—	2	4	no	—
372	C₈	—	2	4	no	—
373	C₈	#536	1	8	yes	—
374	C₂²	—	2	2	no	—
375	C₂²	—	2	2	no	—
376	C₂²	—	2	2	no	—
377	C₂²	—	4	4	no	—
378	C₂²	—	8	16	no	—
379	C₂²	—	8	4	no	—
380	C₂²	—	8	4	no	—
381	C₂²	—	8	4	no	—
382	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	#3499	1	2	yes	—
384	C₂²	C₂²×#135	1	2	yes	—
385	C₂²	C₂×#576	1	2	yes	—
386	C₄	—	2	8	no	—
387	C₄	—	2	2	no	—
388	C₄	—	2	2	no	—
389	C₄	—	2	2	no	—
390	C₄	—	4	4	no	—
391	C₄	—	8	4	no	—
392	C₄	—	8	4	no	—
393	C₄	—	8	4	no	—
394	C₄	#3147	1	4	yes	—
395	C₄	#3155	1	4	yes	—
396	C₄	C₂×#536	1	2	yes	—
397	C₄	#3499	1	2	yes	—
398	C₂	—	4	2	no	—
399	C₂	—	16	4	no	—
400	C₂	#35317	1	1	yes	characteristic
401	C₂	C₂×#3147	1	1	yes	characteristic
402	C₂	C₂×#3155	1	1	yes	characteristic
403	C₂	#62474	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#3169	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3228	C₂	semidirect
3. C₂×#3160	C₂	semidirect
4. #35298	C₂	semidirect
5. #33313	C₂	semidirect
6. #33312	C₂	semidirect
7. #33241	C₂	semidirect
8. #33241	C₂	semidirect
9. #30278	C₂	semidirect
10. #30277	C₂	semidirect
11. #28534	C₂	semidirect
12. #27928	C₂	semidirect
13. C₈×#117	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3228	2
C₂×#3169	2
C₂×#3160	2
#35298	2
#33313	2
#33312	2
#33241	2
#30278	2
#30277	2
#28534	2
#27928	2
C₈×#117	2