Subgroups — #6499450

Order 512.

2034 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 384 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36644	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2859	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#33286	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#30230	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#30218	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#29334	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#29130	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	#21859	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#20463	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#532	—	2	2	no	—
11	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×#125	—	2	1	no	—
13	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
14	#2868	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#2867	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#2859	—	2	1	no	—
17	#2859	—	2	1	no	—
18	#2859	—	2	2	no	—
19	#2859	C₂²	1	2	yes	—
20	#2859	C₂²	1	2	yes	—
21	#2859	C₂²	1	4	yes	—
22	#2858	—	2	2	no	—
23	#2858	C₂²	1	2	yes	—
24	#2856	—	2	1	no	—
25	#2856	—	2	1	no	—
26	#2856	C₂²	1	4	yes	—
27	C₄×#127	—	2	1	no	—
28	C₄×#127	—	2	1	no	—
29	C₄×#127	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#389	—	2	2	no	—
31	C₂×#389	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#382	—	2	1	no	—
34	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#2100	C₂²	1	16	yes	—
36	#2041	C₂²	1	16	yes	—
37	#1990	C₂²	1	8	yes	—
38	#1957	C₂²	1	8	yes	—
39	#1936	C₂²	1	32	yes	—
40	#1874	C₂²	1	16	yes	—
41	#1802	C₂²	1	16	yes	—
42	#1767	C₂²	1	4	yes	—
43	#1749	C₂²	1	4	yes	—
44	#1744	C₂²	1	2	yes	—
45	C₄×#97	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂²×#41	—	2	2	no	—
47	#532	—	2	16	no	—
48	#532	—	4	16	no	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×#127	—	2	1	no	—
52	C₂×#127	—	2	1	no	—
53	C₂×#127	—	2	2	no	—
54	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂×#125	—	2	2	no	—
57	C₂×#125	—	2	4	no	—
58	C₂×#125	—	2	2	no	—
59	C₂×#125	—	4	8	no	—
60	C₂×#124	—	2	2	no	—
61	C₂×#124	—	2	4	no	—
62	C₂×#121	—	2	2	no	—
63	C₂×#121	—	2	4	no	—
64	C₂×#121	—	2	4	no	—
65	C₂×#121	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
71	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
72	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
73	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	#431	—	2	8	no	—
80	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂×#102	C₂³	1	32	yes	—
82	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂×#97	C₂³	1	8	yes	—
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
85	#390	—	2	2	no	—
86	#390	—	2	2	no	—
87	#390	—	2	4	no	—
88	#390	—	2	4	no	—
89	#390	—	2	4	no	—
90	#390	—	2	4	no	—
91	#390	C₂³	1	8	yes	—
92	#389	—	2	4	no	—
93	#389	—	2	4	no	—
94	#389	—	2	4	no	—
95	#389	—	2	4	no	—
96	#389	—	2	4	no	—
97	#389	—	2	4	no	—
98	#389	C₂³	1	8	yes	—
99	#389	C₂³	1	8	yes	—
100	#384	—	2	1	no	—
101	#384	—	2	1	no	—
102	#384	—	2	2	no	—
103	#384	—	2	2	no	—
104	#384	C₂³	1	4	yes	—
105	#384	C₂³	1	4	yes	—
106	#384	C₂³	1	4	yes	—
107	#382	—	2	2	no	—
108	#382	—	2	4	no	—
109	#382	—	2	2	no	—
110	C₂×#95	—	2	4	no	—
111	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₄³	D₄	1	2	yes	—
114	C₄³	C₂³	1	2	yes	—
115	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	#340	C₂³	1	32	yes	—
118	#336	C₂³	1	8	yes	—
119	C₂×#41	—	4	8	no	—
120	C₂×#41	—	4	16	no	—
121	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
128	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
129	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
130	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
136	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
137	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
138	#127	—	2	8	no	—
139	#127	—	4	8	no	—
140	#127	—	4	8	no	—
141	#127	—	4	4	no	—
142	#127	—	4	4	no	—
143	#125	—	4	16	no	—
144	#125	—	4	8	no	—
145	#125	—	4	8	no	—
146	#124	—	4	16	no	—
147	#124	—	4	8	no	—
148	#121	—	2	16	no	—
149	#121	—	4	16	no	—
150	#121	—	4	16	no	—
151	#121	—	4	8	no	—
152	C₄×D₄	—	2	16	no	—
153	C₄×D₄	—	4	16	no	—
154	C₄×D₄	—	4	16	no	—
155	C₄×D₄	—	4	8	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
179	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄²	#41	1	8	yes	—
195	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
196	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
197	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
199	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
200	#102	—	4	32	no	—
201	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
202	#97	—	4	8	no	—
203	C₄×C₈	—	2	8	no	—
204	#95	—	2	8	no	—
205	#95	—	2	8	no	—
206	C₂⁴	—	2	4	no	—
207	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
208	#41	—	8	32	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
211	C₂×D₄	—	2	8	no	—
212	C₂×D₄	—	2	16	no	—
213	C₂×D₄	—	4	8	no	—
214	C₂×D₄	—	4	8	no	—
215	C₂×D₄	—	4	8	no	—
216	C₂×D₄	—	4	8	no	—
217	C₂×D₄	—	4	8	no	—
218	C₂×D₄	—	4	16	no	—
219	C₂×D₄	—	4	4	no	—
220	C₂×D₄	—	4	4	no	—
221	C₂×D₄	—	4	8	no	—
222	C₂×D₄	—	4	8	no	—
223	C₂×D₄	—	4	4	no	—
224	C₂×D₄	—	4	8	no	—
225	C₂×D₄	—	4	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
242	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
244	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₈	—	2	8	no	—
257	C₂×C₈	—	2	16	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
274	C₄²	—	2	4	no	—
275	C₄²	—	2	4	no	—
276	C₄²	—	2	4	no	—
277	C₄²	—	2	4	no	—
278	C₄²	—	2	2	no	—
279	C₄²	—	2	4	no	—
280	C₄²	—	2	4	no	—
281	C₄²	—	2	2	no	—
282	C₄²	—	2	4	no	—
283	C₄²	—	2	4	no	—
284	C₄²	—	4	2	no	—
285	C₄²	—	4	2	no	—
286	C₄²	#124	1	4	yes	—
287	C₄²	#124	1	4	yes	—
288	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
289	C₄²	#137	1	4	yes	—
290	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
291	C₄²	C₂×#41	1	4	yes	—
292	C₂³	—	2	2	no	—
293	C₂³	—	2	1	no	—
294	C₂³	—	2	1	no	—
295	C₂³	—	4	4	no	—
296	C₂³	—	4	8	no	—
297	C₂³	—	4	8	no	—
298	C₂³	—	4	4	no	—
299	C₂³	—	4	4	no	—
300	C₂³	C₂×#124	1	2	yes	—
301	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
302	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
303	Q₈	—	8	8	no	—
304	D₄	—	4	16	no	—
305	D₄	—	8	16	no	—
306	D₄	—	8	16	no	—
307	D₄	—	8	16	no	—
308	D₄	—	8	8	no	—
309	D₄	—	8	8	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	1	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	1	no	—
317	C₂×C₄	—	2	8	no	—
318	C₂×C₄	—	2	8	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	8	no	—
326	C₂×C₄	—	4	8	no	—
327	C₂×C₄	—	4	4	no	—
328	C₂×C₄	—	4	8	no	—
329	C₂×C₄	—	4	8	no	—
330	C₂×C₄	—	4	8	no	—
331	C₂×C₄	—	4	8	no	—
332	C₂×C₄	—	8	16	no	—
333	C₂×C₄	—	8	16	no	—
334	C₂×C₄	#490	1	16	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
341	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
343	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×#137	1	4	yes	—
345	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	#585	1	4	yes	—
348	C₈	—	4	8	no	—
349	C₂²	—	2	2	no	—
350	C₂²	—	2	4	no	—
351	C₂²	—	2	4	no	—
352	C₂²	—	2	2	no	—
353	C₂²	—	8	4	no	—
354	C₂²	—	8	8	no	—
355	C₂²	—	8	8	no	—
356	C₂²	—	8	4	no	—
357	C₂²	—	8	4	no	—
358	C₂²	C₂×#490	1	4	yes	—
359	C₂²	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	#3449	1	2	yes	—
361	C₂²	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
363	C₂²	C₂²×#137	1	1	yes	characteristic
364	C₄	—	2	2	no	—
365	C₄	—	2	4	no	—
366	C₄	—	2	4	no	—
367	C₄	—	2	2	no	—
368	C₄	—	4	2	no	—
369	C₄	—	4	2	no	—
370	C₄	—	8	8	no	—
371	C₄	—	8	4	no	—
372	C₄	C₂×#490	1	4	yes	—
373	C₄	C₂×#490	1	4	yes	—
374	C₄	#3141	1	4	yes	—
375	C₄	#3512	1	4	yes	—
376	C₂	—	2	4	no	—
377	C₂	—	16	4	no	—
378	C₂	#35341	1	1	yes	characteristic
379	C₂	C₂²×#490	1	1	yes	characteristic
380	C₂	C₂×#3141	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#60968	1	2	yes	—
382	C₂	#60969	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	#36644	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2859	C₂	semidirect
3. #33286	C₂	semidirect
4. #30230	C₂	semidirect
5. #30218	C₂	semidirect
6. #29334	C₂	semidirect
7. #29130	C₂	semidirect
8. #21859	C₂	semidirect
9. #20463	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36644	2
C₂×#2859	2
#33286	2
#30230	2
#30218	2
#29334	2
#29130	2
#21859	2
#20463	2