Subgroups — #6506421

Order 512.

2940 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 365 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#35020	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2435	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#29104	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#27256	C₂	1	16	yes	maximal, complemented
5	#25859	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#21759	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂×#1786	C₂	1	2	yes	maximal
8	#20523	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂⁴×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#124	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#488	C₂²	1	8	yes	complemented
13	C₂²×#102	C₂²	1	8	yes	—
14	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
15	#2851	C₂²	1	4	yes	complemented
16	#2646	—	2	2	no	—
17	#2569	—	2	4	no	—
18	#2442	C₂²	1	8	yes	complemented
19	#2435	—	2	4	no	—
20	#2435	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂×#394	—	2	2	no	—
22	#2315	—	2	2	no	—
23	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#380	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#379	—	2	2	no	—
26	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#2073	C₂²	1	8	yes	complemented
28	#2042	C₂²	1	16	yes	complemented
29	#2025	C₂²	1	8	yes	complemented
30	#1958	C₂²	1	8	yes	complemented
31	#1934	C₂²	1	16	yes	complemented
32	#1892	C₂²	1	8	yes	complemented
33	#1872	C₂²	1	8	yes	complemented
34	#1824	C₂²	1	4	yes	complemented
35	#1787	C₂²	1	4	yes	complemented
36	#1786	C₂²	1	8	yes	—
37	#1786	C₂²	1	8	yes	—
38	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	complemented
39	C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	complemented
40	C₂⁶	—	2	1	no	—
41	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
43	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
44	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
45	C₂³×D₄	—	4	8	no	—
46	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂×#125	C₂³	1	4	yes	complemented
51	C₂×#124	—	2	4	no	—
52	C₂×#124	—	4	8	no	—
53	C₂×#124	C₂³	1	8	yes	—
54	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
56	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
58	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
61	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
62	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
63	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
64	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
66	#488	—	4	16	no	—
67	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	complemented
68	C₂×#102	—	4	16	no	—
69	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
70	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
71	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
72	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	8	yes	complemented
75	#400	—	2	8	no	—
76	#398	—	2	8	no	—
77	#394	—	2	16	no	—
78	#390	—	2	4	no	—
79	#390	C₂³	1	8	yes	—
80	#389	C₂³	1	8	yes	complemented
81	#387	—	2	8	no	—
82	#385	—	2	8	no	—
83	#385	—	2	8	no	—
84	#382	C₂³	1	4	yes	complemented
85	#380	—	2	2	no	—
86	#380	—	2	2	no	—
87	#380	—	2	8	no	—
88	#380	C₂³	1	4	yes	—
89	#380	C₂³	1	4	yes	—
90	#379	—	2	8	no	—
91	#379	—	2	8	no	—
92	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
93	C₄×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂×#95	—	2	2	no	—
95	C₂×#95	D₄	1	2	yes	—
96	#340	C₂³	1	16	yes	complemented
97	#336	C₂³	1	8	yes	complemented
98	C₂⁵	—	2	2	no	—
99	C₂⁵	—	2	4	no	—
100	C₂⁵	—	4	8	no	—
101	C₂⁵	—	4	4	no	—
102	C₂⁵	—	4	8	no	—
103	C₂⁵	—	8	4	no	—
104	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
106	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
107	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
108	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
109	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
116	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
117	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
118	C₂²×D₄	—	4	64	no	—
119	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
120	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
121	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
122	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
123	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
124	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
125	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
126	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
127	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
128	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
135	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
136	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
137	#125	—	4	8	no	—
138	#124	—	2	16	no	—
139	#124	—	4	8	no	—
140	#124	—	4	16	no	—
141	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
142	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
143	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
153	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
166	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
167	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
169	#103	—	4	16	no	—
170	#102	—	2	32	no	—
171	#102	—	4	16	no	—
172	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
173	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
174	C₄×C₈	—	4	8	no	—
175	#95	—	2	4	no	—
176	#95	—	2	4	no	—
177	#95	—	2	8	no	—
178	#95	—	2	8	no	—
179	#95	C₂×D₄	1	8	yes	—
180	C₂⁴	—	2	8	no	—
181	C₂⁴	—	2	4	no	—
182	C₂⁴	—	4	2	no	—
183	C₂⁴	—	4	2	no	—
184	C₂⁴	—	4	16	no	—
185	C₂⁴	—	4	8	no	—
186	C₂⁴	—	4	4	no	—
187	C₂⁴	—	4	32	no	—
188	C₂⁴	—	4	8	no	—
189	C₂⁴	—	4	4	no	—
190	C₂⁴	—	4	8	no	—
191	C₂⁴	—	4	8	no	—
192	C₂⁴	—	4	8	no	—
193	C₂⁴	—	8	8	no	—
194	C₂⁴	—	8	64	no	—
195	C₂⁴	—	8	16	no	—
196	C₂⁴	—	8	16	no	—
197	C₂⁴	#124	1	4	yes	—
198	C₂⁴	#135	1	8	yes	—
199	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
200	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
202	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
203	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
204	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
205	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
206	C₂×D₄	—	2	32	no	—
207	C₂×D₄	—	2	8	no	—
208	C₂×D₄	—	2	8	no	—
209	C₂×D₄	—	2	8	no	—
210	C₂×D₄	—	2	4	no	—
211	C₂×D₄	—	4	32	no	—
212	C₂×D₄	—	4	32	no	—
213	C₂×D₄	—	4	16	no	—
214	C₂×D₄	—	4	4	no	—
215	C₂×D₄	—	4	16	no	—
216	C₂×D₄	—	4	64	no	—
217	C₂×D₄	—	4	32	no	—
218	C₂×D₄	—	4	8	no	—
219	C₂×D₄	—	4	4	no	—
220	C₂×D₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
237	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
239	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	#124	1	8	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₈	—	2	8	no	—
249	C₂×C₈	—	2	16	no	—
250	C₂×C₈	—	8	8	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
255	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
256	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
265	C₄²	—	2	8	no	—
266	C₄²	—	4	4	no	—
267	C₂³	—	2	2	no	—
268	C₂³	—	2	4	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	4	no	—
271	C₂³	—	2	8	no	—
272	C₂³	—	4	4	no	—
273	C₂³	—	4	4	no	—
274	C₂³	—	4	16	no	—
275	C₂³	—	4	32	no	—
276	C₂³	—	4	16	no	—
277	C₂³	—	4	32	no	—
278	C₂³	—	4	8	no	—
279	C₂³	—	4	4	no	—
280	C₂³	—	4	4	no	—
281	C₂³	—	4	8	no	—
282	C₂³	—	8	32	no	—
283	C₂³	—	8	32	no	—
284	C₂³	—	8	16	no	—
285	C₂³	—	8	8	no	—
286	C₂³	—	8	16	no	—
287	C₂³	—	8	128	no	—
288	C₂³	—	8	8	no	—
289	C₂³	—	8	16	no	—
290	C₂³	#488	1	16	yes	complemented
291	C₂³	C₂×#124	1	4	yes	—
292	C₂³	C₂×#124	1	2	yes	—
293	C₂³	C₂×#135	1	4	yes	—
294	C₂³	C₂×#135	1	4	yes	—
295	C₂³	C₂×#135	1	4	yes	—
296	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
297	Q₈	—	4	8	no	—
298	Q₈	—	8	4	no	—
299	D₄	—	2	16	no	—
300	D₄	—	4	32	no	—
301	D₄	—	4	16	no	—
302	D₄	—	4	8	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	8	no	—
306	C₂×C₄	—	2	8	no	—
307	C₂×C₄	—	2	8	no	—
308	C₂×C₄	—	2	8	no	—
309	C₂×C₄	—	2	8	no	—
310	C₂×C₄	—	2	8	no	—
311	C₂×C₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	4	8	no	—
313	C₂×C₄	—	4	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	8	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	2	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	8	no	—
319	C₂×C₄	—	4	8	no	—
320	C₂×C₄	—	8	8	no	—
321	C₂×C₄	—	8	4	no	—
322	C₂×C₄	—	8	4	no	—
323	C₂×C₄	—	16	8	no	—
324	C₂×C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
328	C₈	—	4	8	no	—
329	C₂²	—	2	2	no	—
330	C₂²	—	2	4	no	—
331	C₂²	—	2	8	no	—
332	C₂²	—	2	8	no	—
333	C₂²	—	2	8	no	—
334	C₂²	—	2	2	no	—
335	C₂²	—	2	4	no	—
336	C₂²	—	4	16	no	—
337	C₂²	—	4	8	no	—
338	C₂²	—	4	16	no	—
339	C₂²	—	8	32	no	—
340	C₂²	—	8	64	no	—
341	C₂²	—	8	8	no	—
342	C₂²	—	8	4	no	—
343	C₂²	—	8	4	no	—
344	C₂²	C₂×#488	1	8	yes	—
345	C₂²	C₂×#488	1	4	yes	—
346	C₂²	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	#3484	1	2	yes	—
348	C₂²	C₂²×#135	1	2	yes	—
349	C₂²	#3585	1	2	yes	—
350	C₄	—	2	4	no	—
351	C₄	—	2	2	no	—
352	C₄	—	4	8	no	—
353	C₄	—	8	2	no	—
354	C₄	—	8	8	no	—
355	C₄	—	8	2	no	—
356	C₄	#3490	1	4	yes	—
357	C₂	—	2	4	no	—
358	C₂	—	2	8	no	—
359	C₂	—	8	8	no	—
360	C₂	#35367	1	1	yes	characteristic
361	C₂	C₂²×#488	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#60619	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#61561	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂⁴×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×C₂²⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #35020	C₂	semidirect
3. #29104	C₂	semidirect
4. #27256	C₂	semidirect
5. #25859	C₂	semidirect
6. #21759	C₂	semidirect
8. #20523	C₂	semidirect
12. C₂×#488	C₂²	semidirect
15. #2851	C₂²	semidirect
18. #2442	C₂²	semidirect
27. #2073	C₂²	semidirect
28. #2042	C₂²	semidirect
29. #2025	C₂²	semidirect
30. #1958	C₂²	semidirect
31. #1934	C₂²	semidirect
32. #1892	C₂²	semidirect
33. #1872	C₂²	semidirect
34. #1824	C₂²	semidirect
35. #1787	C₂²	semidirect
38. C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
39. C₄×C₂²⋊C₈	C₂²	semidirect
50. C₂×#125	C₂³	semidirect
67. C₂×#103	C₂³	semidirect
74. C₂×C₄×C₈	C₂³	semidirect
80. #389	C₂³	semidirect
84. #382	C₂³	semidirect
96. #340	C₂³	semidirect
97. #336	C₂³	semidirect
290. C₂³	#488	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#35020	2
C₂×#2435	2
#29104	2
#27256	2
#25859	2
#21759	2
C₂×#1786	2
#20523	2