Subgroups — #6516851

Order 512.

3968 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 421 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3501	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#3208	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#2541	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#25756	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#25569	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#23919	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#21786	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#21385	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#3501	—	2	16	no	—
10	C₂×#554	—	2	4	no	—
11	C₂×#554	C₂²	1	4	yes	complemented
12	C₂×D₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
13	C₂×#544	—	2	1	no	—
14	C₂×#543	—	2	2	no	—
15	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#127	—	2	1	no	—
17	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂²×#121	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#518	—	2	1	no	—
21	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#3208	—	2	16	no	—
23	C₂×#492	C₂²	1	4	yes	complemented
24	C₂×#486	C₂²	1	4	yes	complemented
25	C₂×#460	C₂²	1	8	yes	complemented
26	C₂×#448	C₂²	1	16	yes	complemented
27	C₂×#450	C₂²	1	8	yes	—
28	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
29	#2541	—	2	4	no	—
30	#2541	C₂²	1	8	yes	—
31	C₂×#392	—	2	2	no	—
32	C₂×#390	—	2	1	no	—
33	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#2000	C₂²	1	32	yes	complemented
35	#1987	C₂²	1	4	yes	complemented
36	#1981	C₂²	1	4	yes	complemented
37	#1954	C₂²	1	8	yes	complemented
38	#1874	C₂²	1	16	yes	complemented
39	#1872	C₂²	1	8	yes	—
40	#1779	C₂²	1	4	yes	—
41	C₄×#103	C₂²	1	8	yes	complemented
42	C₂³×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
44	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
45	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
46	C₂³×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	16	yes	—
50	#554	—	2	64	no	—
51	#554	—	2	16	no	—
52	#554	—	2	16	no	—
53	D₄×Q₈	—	2	16	no	—
54	D₄×Q₈	—	2	16	no	—
55	#544	—	2	16	no	—
56	#543	—	2	32	no	—
57	#533	—	2	8	no	—
58	#533	D₄	1	16	yes	complemented
59	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×#127	—	2	8	no	—
63	C₂×#127	—	2	8	no	—
64	C₂×#127	—	2	2	no	—
65	C₂×#127	—	4	8	no	—
66	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×#125	—	2	4	no	—
68	C₂×#125	—	2	2	no	—
69	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
70	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
71	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
72	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
73	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
74	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
75	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
76	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂×#121	—	2	8	no	—
78	C₂×#121	—	4	16	no	—
79	C₂×#121	C₂³	1	16	yes	—
80	#518	—	2	16	no	—
81	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
84	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
85	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
86	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
87	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂×#117	—	2	2	no	—
89	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
90	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
94	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
95	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
96	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
97	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	#492	—	2	16	no	—
99	#486	—	2	16	no	—
100	#460	—	2	32	no	—
101	#450	—	2	32	no	—
102	#448	—	4	32	no	—
103	#431	—	2	8	no	—
104	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
106	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
107	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	16	yes	—
109	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
110	#392	—	2	16	no	—
111	#390	—	2	8	no	—
112	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
113	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×#95	—	2	1	no	—
115	#340	C₂³	1	16	yes	—
116	C₂⁵	—	2	2	no	—
117	C₂⁵	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
119	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
121	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
122	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
123	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
129	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
130	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
131	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
132	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
133	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
134	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
135	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
136	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
137	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
138	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
139	C₂²×D₄	SD₁₆	1	8	yes	complemented
140	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
141	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
142	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
143	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
144	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
145	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
146	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
147	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
149	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
152	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
153	C₂×SD₁₆	—	2	32	no	—
154	C₂×SD₁₆	—	4	32	no	—
155	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
156	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
157	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
159	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
160	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
161	#127	—	2	8	no	—
162	#127	—	2	8	no	—
163	#127	—	4	32	no	—
164	#127	—	4	8	no	—
165	#125	—	2	32	no	—
166	#125	—	2	16	no	—
167	C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
168	C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
169	C₂²⋊Q₈	—	2	64	no	—
170	C₂²⋊Q₈	—	2	64	no	—
171	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
172	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
173	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
174	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
175	C₂²⋊Q₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
176	#121	—	2	32	no	—
177	#121	—	4	16	no	—
178	#121	—	4	32	no	—
179	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
180	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
181	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
182	C₄×D₄	—	2	32	no	—
183	C₄×D₄	—	2	32	no	—
184	C₄×D₄	—	2	16	no	—
185	C₄×D₄	—	2	8	no	—
186	C₄×D₄	—	2	8	no	—
187	#117	—	2	16	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
201	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
202	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
203	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
205	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
206	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
210	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
211	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
212	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
213	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
214	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
215	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
216	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
217	#103	—	2	32	no	—
218	#102	—	2	32	no	—
219	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
220	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
221	C₄×C₈	—	2	8	no	—
222	#95	—	2	4	no	—
223	C₂⁴	—	2	4	no	—
224	C₂⁴	—	2	4	no	—
225	C₂⁴	—	2	4	no	—
226	C₂⁴	—	4	4	no	—
227	C₂⁴	—	4	4	no	—
228	C₂⁴	—	4	8	no	—
229	C₂⁴	—	4	8	no	—
230	C₂⁴	—	4	4	no	—
231	C₂⁴	—	4	4	no	—
232	C₂⁴	—	4	4	no	—
233	C₂⁴	C₂×SD₁₆	1	8	yes	—
234	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
235	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
237	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
238	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
239	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
240	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
241	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
242	C₂×Q₈	—	8	32	no	—
243	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
244	C₂×D₄	—	2	8	no	—
245	C₂×D₄	—	2	8	no	—
246	C₂×D₄	—	2	8	no	—
247	C₂×D₄	—	2	16	no	—
248	C₂×D₄	—	2	32	no	—
249	C₂×D₄	—	4	32	no	—
250	C₂×D₄	—	4	8	no	—
251	C₂×D₄	—	4	32	no	—
252	C₂×D₄	—	4	8	no	—
253	C₂×D₄	—	4	8	no	—
254	C₂×D₄	—	4	4	no	—
255	C₂×D₄	—	4	8	no	—
256	C₂×D₄	—	4	8	no	—
257	C₂×D₄	—	8	16	no	—
258	C₂×D₄	—	8	8	no	—
259	C₂×D₄	—	8	16	no	—
260	C₂×D₄	—	8	64	no	—
261	C₂×D₄	—	8	16	no	—
262	C₂×D₄	—	8	16	no	—
263	C₂×D₄	C₂×SD₁₆	1	16	yes	—
264	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
273	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
278	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
279	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
280	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
281	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
282	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
283	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
284	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
285	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
286	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
288	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
289	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
290	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
291	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
292	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
293	SD₁₆	—	8	32	no	—
294	C₂×C₈	—	2	8	no	—
295	C₂×C₈	—	2	16	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
302	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
303	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
304	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
305	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
306	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
307	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
308	C₄⋊C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
309	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
313	C₄²	—	2	16	no	—
314	C₄²	—	4	8	no	—
315	C₄²	#120	1	8	yes	—
316	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
317	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
318	C₂³	—	2	2	no	—
319	C₂³	—	2	2	no	—
320	C₂³	—	2	8	no	—
321	C₂³	—	2	4	no	—
322	C₂³	—	2	8	no	—
323	C₂³	—	2	4	no	—
324	C₂³	—	2	16	no	—
325	C₂³	—	4	16	no	—
326	C₂³	—	4	8	no	—
327	C₂³	—	4	4	no	—
328	C₂³	—	4	8	no	—
329	C₂³	—	4	4	no	—
330	C₂³	—	4	4	no	—
331	C₂³	—	8	4	no	—
332	C₂³	—	8	8	no	—
333	C₂³	—	8	4	no	—
334	C₂³	—	8	16	no	—
335	C₂³	—	8	8	no	—
336	C₂³	—	8	8	no	—
337	C₂³	—	8	16	no	—
338	C₂³	—	8	8	no	—
339	C₂³	C₂×#120	1	2	yes	—
340	C₂³	C₂²×SD₁₆	1	8	yes	—
341	C₂³	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
342	C₂³	C₂×#137	1	2	yes	—
343	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
344	Q₈	—	2	16	no	—
345	Q₈	—	4	8	no	—
346	Q₈	—	8	8	no	—
347	Q₈	—	8	16	no	—
348	D₄	—	2	32	no	—
349	D₄	—	4	16	no	—
350	D₄	—	8	8	no	—
351	D₄	—	8	16	no	—
352	D₄	—	8	64	no	—
353	D₄	—	8	16	no	—
354	C₂×C₄	—	2	4	no	—
355	C₂×C₄	—	2	2	no	—
356	C₂×C₄	—	2	8	no	—
357	C₂×C₄	—	2	8	no	—
358	C₂×C₄	—	2	8	no	—
359	C₂×C₄	—	2	4	no	—
360	C₂×C₄	—	2	8	no	—
361	C₂×C₄	—	2	8	no	—
362	C₂×C₄	—	4	4	no	—
363	C₂×C₄	—	4	16	no	—
364	C₂×C₄	—	4	4	no	—
365	C₂×C₄	—	4	8	no	—
366	C₂×C₄	—	4	8	no	—
367	C₂×C₄	—	4	4	no	—
368	C₂×C₄	—	4	16	no	—
369	C₂×C₄	—	8	8	no	—
370	C₂×C₄	—	8	4	no	—
371	C₂×C₄	—	8	16	no	—
372	C₂×C₄	—	8	16	no	—
373	C₂×C₄	#448	1	16	yes	complemented
374	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
376	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
377	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	4	yes	—
378	C₂×C₄	C₂×#137	1	4	yes	—
379	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
381	C₈	—	4	8	no	—
382	C₂²	—	2	4	no	—
383	C₂²	—	2	4	no	—
384	C₂²	—	2	2	no	—
385	C₂²	—	2	2	no	—
386	C₂²	—	2	16	no	—
387	C₂²	—	2	8	no	—
388	C₂²	—	4	8	no	—
389	C₂²	—	4	4	no	—
390	C₂²	—	4	4	no	—
391	C₂²	—	8	16	no	—
392	C₂²	—	8	8	no	—
393	C₂²	—	8	8	no	—
394	C₂²	—	8	4	no	—
395	C₂²	—	8	4	no	—
396	C₂²	—	8	4	no	—
397	C₂²	—	16	16	no	—
398	C₂²	C₂×#448	1	4	yes	—
399	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
400	C₂²	#3484	1	2	yes	—
401	C₂²	C₂³×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
402	C₂²	C₂²×#137	1	1	yes	characteristic
403	C₂²	#3585	1	2	yes	—
404	C₄	—	2	2	no	—
405	C₄	—	2	4	no	—
406	C₄	—	4	8	no	—
407	C₄	—	4	4	no	—
408	C₄	—	4	8	no	—
409	C₄	—	4	8	no	—
410	C₄	C₂×#448	1	8	yes	—
411	C₄	#3498	1	4	yes	—
412	C₂	—	2	4	no	—
413	C₂	—	4	8	no	—
414	C₂	—	16	4	no	—
415	C₂	#35527	1	1	yes	characteristic
416	C₂	C₂²×#448	1	1	yes	characteristic
417	C₂	#60369	1	1	yes	characteristic
418	C₂	#61560	1	2	yes	—
419	C₂	#61588	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#2541	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3501	C₂	semidirect
2. C₂×#3208	C₂	semidirect
4. #25756	C₂	semidirect
5. #25569	C₂	semidirect
6. #23919	C₂	semidirect
7. #21786	C₂	semidirect
8. #21385	C₂	semidirect
11. C₂×#554	C₂²	semidirect
12. C₂×D₄×Q₈	C₂²	semidirect
23. C₂×#492	C₂²	semidirect
24. C₂×#486	C₂²	semidirect
25. C₂×#460	C₂²	semidirect
26. C₂×#448	C₂²	semidirect
34. #2000	C₂²	semidirect
35. #1987	C₂²	semidirect
36. #1981	C₂²	semidirect
37. #1954	C₂²	semidirect
38. #1874	C₂²	semidirect
41. C₄×#103	C₂²	semidirect
58. #533	D₄	semidirect
139. C₂²×D₄	SD₁₆	semidirect
159. C₄⋊Q₈	C₂×D₄	semidirect
160. C₄⋊Q₈	C₂×D₄	semidirect
181. C₄×Q₈	C₂×D₄	semidirect
373. C₂×C₄	#448	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3501	2
C₂×#3208	2
C₂×#2541	2
#25756	2
#25569	2
#23919	2
#21786	2
#21385	2