Subgroups — #6516852

Order 512.

3504 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 387 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3501	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#3209	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#2542	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#25760	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#25573	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#23921	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#21786	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#21385	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#3501	—	2	16	no	—
10	C₂×#554	—	2	4	no	—
11	C₂×#554	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×D₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#544	—	2	1	no	—
14	C₂×#543	—	2	2	no	—
15	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#518	—	2	1	no	—
20	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#3209	—	2	16	no	—
22	C₂×#494	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₂×#487	C₂²	1	4	yes	complemented
24	C₂×#462	C₂²	1	8	yes	complemented
25	C₂×#451	C₂²	1	8	yes	—
26	C₂×#451	C₂²	1	16	yes	complemented
27	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
28	#2542	—	2	4	no	—
29	#2542	C₂²	1	8	yes	—
30	C₂×#399	—	2	2	no	—
31	C₂×#390	—	2	1	no	—
32	C₂×#384	—	2	1	no	—
33	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#2001	C₂²	1	32	yes	complemented
35	#1987	C₂²	1	4	yes	complemented
36	#1981	C₂²	1	4	yes	complemented
37	#1954	C₂²	1	8	yes	—
38	#1872	C₂²	1	8	yes	—
39	#1872	C₂²	1	16	yes	complemented
40	#1779	C₂²	1	4	yes	—
41	C₄×#103	C₂²	1	8	yes	complemented
42	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂³×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂³×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	16	yes	—
47	#554	—	2	64	no	—
48	#554	—	2	16	no	—
49	#554	—	2	16	no	—
50	D₄×Q₈	—	2	16	no	—
51	D₄×Q₈	—	2	16	no	—
52	#544	—	2	16	no	—
53	#543	—	2	32	no	—
54	#533	—	2	8	no	—
55	#533	D₄	1	16	yes	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×#125	—	2	4	no	—
63	C₂×#125	—	2	2	no	—
64	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
65	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
66	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
68	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
69	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
70	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
71	C₂×C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
72	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
73	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	16	yes	—
74	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
75	#518	—	2	16	no	—
76	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
79	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
80	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
81	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
82	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂×#117	—	2	2	no	—
84	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
85	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
86	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
87	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
88	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
92	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
93	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
94	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
95	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	#494	—	2	16	no	—
97	#487	—	2	16	no	—
98	#462	—	2	32	no	—
99	#451	—	2	32	no	—
100	#451	—	4	32	no	—
101	#431	—	2	8	no	—
102	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
104	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
105	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	16	yes	—
107	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
108	#399	—	2	16	no	—
109	#390	—	2	8	no	—
110	#384	—	2	8	no	—
111	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
112	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
113	C₂×#95	—	2	1	no	—
114	#340	C₂³	1	16	yes	—
115	C₂⁵	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
117	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
119	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
121	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
122	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
123	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
124	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
125	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
127	C₂²×D₄	Q₁₆	1	8	yes	complemented
128	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
129	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
131	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
132	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
133	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
134	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
135	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
140	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
141	C₂×Q₁₆	—	2	32	no	—
142	C₂×Q₁₆	—	4	32	no	—
143	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
150	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
151	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
152	#125	—	2	32	no	—
153	#125	—	2	16	no	—
154	C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
155	C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
156	C₂²⋊Q₈	—	2	64	no	—
157	C₂²⋊Q₈	—	2	64	no	—
158	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
159	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
160	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
161	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
162	C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
163	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
164	C₂²⋊Q₈	—	4	32	no	—
165	C₂²⋊Q₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
166	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
167	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
168	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
169	C₄×D₄	—	2	32	no	—
170	C₄×D₄	—	2	32	no	—
171	C₄×D₄	—	2	16	no	—
172	C₄×D₄	—	2	8	no	—
173	C₄×D₄	—	2	8	no	—
174	#117	—	2	16	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
194	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
203	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
204	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
205	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
206	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
207	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
208	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
209	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
210	#103	—	2	32	no	—
211	#103	—	2	32	no	—
212	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
213	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
214	C₄×C₈	—	2	8	no	—
215	#95	—	2	4	no	—
216	C₂⁴	—	2	4	no	—
217	C₂⁴	—	2	4	no	—
218	C₂⁴	—	4	4	no	—
219	C₂⁴	—	4	4	no	—
220	C₂⁴	C₂×Q₁₆	1	8	yes	—
221	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
222	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
227	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
230	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
231	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
232	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
233	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
234	C₂×Q₈	—	8	32	no	—
235	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
236	C₂×D₄	—	2	8	no	—
237	C₂×D₄	—	2	8	no	—
238	C₂×D₄	—	2	32	no	—
239	C₂×D₄	C₂×Q₁₆	1	16	yes	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
260	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
261	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
262	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
263	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
265	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
272	Q₁₆	—	8	32	no	—
273	C₂×C₈	—	2	8	no	—
274	C₂×C₈	—	2	16	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
289	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
290	C₄⋊C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
291	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
295	C₄²	—	2	16	no	—
296	C₄²	—	4	8	no	—
297	C₄²	#120	1	8	yes	—
298	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
299	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
300	C₂³	—	2	2	no	—
301	C₂³	—	2	2	no	—
302	C₂³	—	2	8	no	—
303	C₂³	—	2	4	no	—
304	C₂³	—	2	8	no	—
305	C₂³	—	2	4	no	—
306	C₂³	—	2	16	no	—
307	C₂³	—	4	16	no	—
308	C₂³	—	8	4	no	—
309	C₂³	—	8	8	no	—
310	C₂³	—	8	4	no	—
311	C₂³	C₂×#120	1	2	yes	—
312	C₂³	C₂²×Q₁₆	1	8	yes	—
313	C₂³	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
314	C₂³	C₂×#137	1	2	yes	—
315	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
316	Q₈	—	2	16	no	—
317	Q₈	—	4	8	no	—
318	Q₈	—	4	16	no	—
319	Q₈	—	8	8	no	—
320	Q₈	—	8	8	no	—
321	Q₈	—	8	16	no	—
322	D₄	—	2	32	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	8	no	—
326	C₂×C₄	—	2	8	no	—
327	C₂×C₄	—	2	8	no	—
328	C₂×C₄	—	2	4	no	—
329	C₂×C₄	—	2	8	no	—
330	C₂×C₄	—	2	8	no	—
331	C₂×C₄	—	4	4	no	—
332	C₂×C₄	—	4	16	no	—
333	C₂×C₄	—	4	4	no	—
334	C₂×C₄	—	4	8	no	—
335	C₂×C₄	—	4	8	no	—
336	C₂×C₄	—	4	4	no	—
337	C₂×C₄	—	4	16	no	—
338	C₂×C₄	—	4	4	no	—
339	C₂×C₄	—	4	8	no	—
340	C₂×C₄	—	8	8	no	—
341	C₂×C₄	—	8	4	no	—
342	C₂×C₄	—	8	16	no	—
343	C₂×C₄	—	8	16	no	—
344	C₂×C₄	—	8	8	no	—
345	C₂×C₄	#451	1	16	yes	complemented
346	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
348	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
349	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	4	yes	—
350	C₂×C₄	C₂×#137	1	4	yes	—
351	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
353	C₈	—	4	8	no	—
354	C₂²	—	2	4	no	—
355	C₂²	—	2	4	no	—
356	C₂²	—	2	2	no	—
357	C₂²	—	2	2	no	—
358	C₂²	—	2	16	no	—
359	C₂²	—	2	8	no	—
360	C₂²	—	4	8	no	—
361	C₂²	—	4	4	no	—
362	C₂²	—	4	4	no	—
363	C₂²	—	8	16	no	—
364	C₂²	C₂×#451	1	4	yes	—
365	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	#3484	1	2	yes	—
367	C₂²	C₂³×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	C₂²×#137	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	#3586	1	2	yes	—
370	C₄	—	2	2	no	—
371	C₄	—	2	4	no	—
372	C₄	—	4	8	no	—
373	C₄	—	4	4	no	—
374	C₄	—	4	8	no	—
375	C₄	—	4	8	no	—
376	C₄	—	8	4	no	—
377	C₄	C₂×#451	1	8	yes	—
378	C₄	#3498	1	4	yes	—
379	C₂	—	2	4	no	—
380	C₂	—	4	8	no	—
381	C₂	#35527	1	1	yes	characteristic
382	C₂	C₂²×#451	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#60370	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#61563	1	2	yes	—
385	C₂	#61586	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂³×D₄	D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#3209	C₂	semidirect
4. #25760	C₂	semidirect
5. #25573	C₂	semidirect
6. #23921	C₂	semidirect
8. #21385	C₂	semidirect
22. C₂×#494	C₂²	semidirect
23. C₂×#487	C₂²	semidirect
24. C₂×#462	C₂²	semidirect
26. C₂×#451	C₂²	semidirect
34. #2001	C₂²	semidirect
35. #1987	C₂²	semidirect
36. #1981	C₂²	semidirect
39. #1872	C₂²	semidirect
41. C₄×#103	C₂²	semidirect
127. C₂²×D₄	Q₁₆	semidirect
345. C₂×C₄	#451	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3501	2
C₂×#3209	2
C₂×#2542	2
#25760	2
#25573	2
#23921	2
#21786	2
#21385	2