Subgroups — #6516891

Order 512.

3716 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 376 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3549	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#3206	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#35317	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#25753	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#25568	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#23926	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#21787	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#21390	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#3549	—	2	16	no	—
10	C₂×H(3,𝔽₄)	—	2	2	no	—
11	C₂×#555	—	2	1	no	—
12	C₂×#555	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×D₄²	—	2	1	no	—
14	C₂×D₄²	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#536	C₂²	1	4	yes	complemented
16	C₂×#535	—	2	4	no	—
17	C₂×#535	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
21	#3206	—	2	16	no	—
22	C₂×#492	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#487	C₂²	1	4	yes	complemented
24	C₂×#461	C₂²	1	8	yes	complemented
25	C₂×#448	C₂²	1	8	yes	complemented
26	C₂×#450	C₂²	1	16	yes	complemented
27	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	complemented
28	#2868	—	2	1	no	—
29	#2858	—	2	1	no	—
30	#2658	—	2	2	no	—
31	#2542	C₂²	1	8	yes	complemented
32	#2501	—	2	4	no	—
33	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
34	#2000	C₂²	1	32	yes	complemented
35	#1987	C₂²	1	4	yes	complemented
36	#1982	C₂²	1	4	yes	—
37	#1954	C₂²	1	8	yes	complemented
38	#1875	C₂²	1	8	yes	complemented
39	#1873	C₂²	1	16	yes	complemented
40	#1780	C₂²	1	4	yes	complemented
41	C₄×#102	C₂²	1	8	yes	complemented
42	C₂²×#41	—	2	2	no	—
43	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
46	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	16	yes	—
48	H(3,𝔽₄)	—	2	32	no	—
49	#555	—	2	16	no	—
50	#555	—	2	16	no	—
51	#555	—	2	16	no	—
52	D₄²	—	2	16	no	—
53	D₄²	—	2	16	no	—
54	D₄²	—	2	16	no	—
55	#536	—	4	16	no	—
56	#535	—	2	64	no	—
57	#535	—	2	32	no	—
58	#532	—	2	8	no	—
59	#532	—	2	8	no	—
60	#532	D₄	1	16	yes	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
63	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#127	—	2	4	no	—
69	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#124	—	2	4	no	—
72	C₂×#124	—	2	4	no	—
73	C₂×#124	—	2	8	no	—
74	C₂×#124	—	2	2	no	—
75	C₂×#124	D₄	1	2	yes	—
76	C₂×#123	—	2	8	no	—
77	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	16	yes	—
78	C₂×#121	—	2	4	no	—
79	C₂×#121	—	2	2	no	—
80	C₂×#121	—	2	4	no	—
81	C₂×#121	D₄	1	4	yes	—
82	C₂×#121	C₂³	1	8	yes	—
83	C₂×#121	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×#120	—	2	4	no	—
85	C₂×#120	—	2	4	no	—
86	C₂×#120	—	2	8	no	—
87	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
88	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂×#117	—	2	4	no	—
91	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
94	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	#492	—	2	16	no	—
96	#487	—	2	16	no	—
97	#461	—	2	32	no	—
98	#450	—	4	32	no	—
99	#448	—	2	32	no	—
100	#431	—	2	8	no	—
101	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
103	C₂×#102	C₂³	1	16	yes	—
104	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	16	yes	—
106	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
107	#399	—	2	16	no	—
108	#390	—	2	8	no	—
109	#384	—	2	8	no	—
110	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
111	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
112	#376	—	2	1	no	—
113	C₄³	—	2	1	no	—
114	#340	C₂³	1	16	yes	—
115	C₂⁵	—	2	4	no	—
116	C₂×#41	—	2	16	no	—
117	C₂×#41	—	2	8	no	—
118	C₂×#41	—	4	8	no	—
119	C₂×#41	—	8	8	no	—
120	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
123	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
124	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
126	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
129	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
130	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
133	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
134	C₂²×D₄	—	8	16	no	—
135	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
136	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
138	C₂²×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
139	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
140	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
141	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
143	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
144	C₂×SD₁₆	—	2	32	no	—
145	C₂×SD₁₆	—	4	32	no	—
146	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
152	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
153	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
154	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
155	#127	—	2	32	no	—
156	#127	—	2	4	no	—
157	#127	—	2	4	no	—
158	#127	C₂×D₄	1	8	yes	—
159	#124	—	2	32	no	—
160	#124	—	2	64	no	—
161	#124	—	2	16	no	—
162	#124	—	2	8	no	—
163	#124	—	4	16	no	—
164	#123	—	4	32	no	—
165	C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
166	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
167	#121	—	2	32	no	—
168	#121	—	2	32	no	—
169	#121	—	2	16	no	—
170	#121	—	2	16	no	—
171	#121	—	2	16	no	—
172	#121	—	2	8	no	—
173	#121	—	2	16	no	—
174	#121	C₂×D₄	1	16	yes	—
175	#120	—	2	32	no	—
176	#120	—	2	32	no	—
177	#120	—	2	64	no	—
178	C₄×D₄	—	2	16	no	—
179	C₄×D₄	—	2	8	no	—
180	C₄×D₄	—	2	8	no	—
181	C₄×D₄	—	2	8	no	—
182	C₄×D₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
183	#117	—	2	32	no	—
184	#117	—	2	16	no	—
185	#117	—	2	8	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
192	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
193	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
201	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
202	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
203	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
204	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
207	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
208	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
209	#103	—	2	32	no	—
210	#102	—	2	32	no	—
211	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
212	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
213	C₄×C₈	—	2	8	no	—
214	#95	—	2	4	no	—
215	C₂⁴	—	2	16	no	—
216	C₂⁴	—	2	4	no	—
217	C₂⁴	—	8	8	no	—
218	C₂⁴	—	8	16	no	—
219	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
220	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
221	#41	—	8	16	no	—
222	#41	—	8	32	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
230	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
231	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
232	C₂×D₄	—	2	16	no	—
233	C₂×D₄	—	2	32	no	—
234	C₂×D₄	—	2	8	no	—
235	C₂×D₄	—	2	16	no	—
236	C₂×D₄	—	2	8	no	—
237	C₂×D₄	—	2	8	no	—
238	C₂×D₄	—	2	4	no	—
239	C₂×D₄	—	2	8	no	—
240	C₂×D₄	—	2	16	no	—
241	C₂×D₄	—	2	4	no	—
242	C₂×D₄	—	2	16	no	—
243	C₂×D₄	—	4	8	no	—
244	C₂×D₄	—	4	4	no	—
245	C₂×D₄	—	4	8	no	—
246	C₂×D₄	—	8	8	no	—
247	C₂×D₄	—	8	4	no	—
248	C₂×D₄	—	8	32	no	—
249	C₂×D₄	—	8	64	no	—
250	C₂×D₄	—	8	16	no	—
251	C₂×D₄	—	8	8	no	—
252	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
253	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
264	C₂²×C₄	#120	1	8	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
271	SD₁₆	—	8	32	no	—
272	C₂×C₈	—	2	8	no	—
273	C₂×C₈	—	2	16	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
281	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
282	C₄⋊C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
283	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
290	C₄²	—	2	16	no	—
291	C₄²	—	2	8	no	—
292	C₄²	—	4	8	no	—
293	C₄²	#120	1	4	yes	—
294	C₄²	#120	1	4	yes	—
295	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
296	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
297	C₂³	—	2	2	no	—
298	C₂³	—	2	4	no	—
299	C₂³	—	2	4	no	—
300	C₂³	—	2	8	no	—
301	C₂³	—	2	8	no	—
302	C₂³	—	2	16	no	—
303	C₂³	—	4	8	no	—
304	C₂³	—	4	8	no	—
305	C₂³	—	4	8	no	—
306	C₂³	—	8	16	no	—
307	C₂³	—	8	32	no	—
308	C₂³	—	16	32	no	—
309	C₂³	C₂×#120	1	2	yes	—
310	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
311	Q₈	—	4	16	no	—
312	Q₈	—	8	4	no	—
313	Q₈	—	8	8	no	—
314	Q₈	—	8	8	no	—
315	D₄	—	2	16	no	—
316	D₄	—	4	8	no	—
317	D₄	—	4	16	no	—
318	D₄	—	4	16	no	—
319	D₄	—	8	4	no	—
320	D₄	—	8	8	no	—
321	D₄	—	8	8	no	—
322	D₄	—	8	16	no	—
323	D₄	—	8	16	no	—
324	D₄	—	8	32	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	4	no	—
327	C₂×C₄	—	2	8	no	—
328	C₂×C₄	—	2	16	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	2	8	no	—
331	C₂×C₄	—	2	8	no	—
332	C₂×C₄	—	2	8	no	—
333	C₂×C₄	—	4	8	no	—
334	C₂×C₄	—	4	8	no	—
335	C₂×C₄	—	4	16	no	—
336	C₂×C₄	—	4	32	no	—
337	C₂×C₄	—	4	4	no	—
338	C₂×C₄	—	4	8	no	—
339	C₂×C₄	—	8	8	no	—
340	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
343	C₂×C₄	#577	1	8	yes	—
344	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
346	C₈	—	4	8	no	—
347	C₂²	—	2	2	no	—
348	C₂²	—	2	4	no	—
349	C₂²	—	4	4	no	—
350	C₂²	—	4	4	no	—
351	C₂²	—	4	8	no	—
352	C₂²	—	4	8	no	—
353	C₂²	—	4	8	no	—
354	C₂²	—	4	8	no	—
355	C₂²	—	4	16	no	—
356	C₂²	—	8	16	no	—
357	C₂²	—	16	32	no	—
358	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	#3484	1	2	yes	—
360	C₂²	C₂×#577	1	4	yes	—
361	C₄	—	2	2	no	—
362	C₄	—	2	4	no	—
363	C₄	—	4	4	no	—
364	C₄	—	4	8	no	—
365	C₄	—	4	8	no	—
366	C₄	—	8	4	no	—
367	C₄	#3009	1	8	yes	—
368	C₄	#3498	1	4	yes	—
369	C₂	—	4	2	no	—
370	C₂	—	8	4	no	—
371	C₂	—	8	8	no	—
372	C₂	#35527	1	1	yes	characteristic
373	C₂	C₂×#3009	1	2	yes	—
374	C₂	#61664	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#3549	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#532 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#3206	C₂	semidirect
3. #35317	C₂	semidirect
4. #25753	C₂	semidirect
5. #25568	C₂	semidirect
6. #23926	C₂	semidirect
7. #21787	C₂	semidirect
8. #21390	C₂	semidirect
15. C₂×#536	C₂²	semidirect
20. C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
23. C₂×#487	C₂²	semidirect
24. C₂×#461	C₂²	semidirect
25. C₂×#448	C₂²	semidirect
26. C₂×#450	C₂²	semidirect
27. C₂×#431	C₂²	semidirect
31. #2542	C₂²	semidirect
33. C₄×#117	C₂²	semidirect
34. #2000	C₂²	semidirect
35. #1987	C₂²	semidirect
37. #1954	C₂²	semidirect
38. #1875	C₂²	semidirect
39. #1873	C₂²	semidirect
40. #1780	C₂²	semidirect
41. C₄×#102	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3549	2
C₂×#3206	2
#35317	2
#25753	2
#25568	2
#23926	2
#21787	2
#21390	2