Subgroups — #6516901

Order 512.

3334 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 423 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3550	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#3215	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#35329	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#25766	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#25580	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#23928	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#23926	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#21791	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#21392	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#3550	—	2	16	no	—
11	C₂×#563	—	2	2	no	—
12	C₂×#559	—	2	1	no	—
13	C₂×Q₈²	—	2	1	no	—
14	C₂×#556	C₂²	1	4	yes	complemented
15	C₂×D₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
16	C₂×#542	—	2	4	no	—
17	C₂×#536	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#536	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#535	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#3215	—	2	16	no	—
24	C₂×#497	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#489	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#464	C₂²	1	8	yes	—
27	C₂×#451	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#451	C₂²	1	8	yes	complemented
29	C₂×#448	C₂²	1	8	yes	—
30	C₂×#450	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#432	C₂²	1	2	yes	—
32	#2858	—	2	2	no	—
33	#2658	—	2	1	no	—
34	#2657	—	2	1	no	—
35	#2540	C₂²	1	8	yes	—
36	#2539	—	2	4	no	—
37	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#2001	C₂²	1	16	yes	complemented
39	#2000	C₂²	1	16	yes	—
40	#1987	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#1981	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#1955	C₂²	1	8	yes	complemented
43	#1875	C₂²	1	8	yes	—
44	#1873	C₂²	1	8	yes	—
45	#1873	C₂²	1	8	yes	complemented
46	#1780	C₂²	1	4	yes	—
47	#1763	C₂²	1	8	yes	complemented
48	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	8	yes	—
53	C₂²×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
54	#563	—	2	32	no	—
55	#559	—	2	16	no	—
56	Q₈²	—	2	16	no	—
57	#556	—	2	16	no	—
58	#556	—	2	16	no	—
59	D₄×Q₈	—	2	16	no	—
60	D₄×Q₈	—	2	16	no	—
61	#542	—	2	64	no	—
62	#536	—	2	32	no	—
63	#536	—	4	8	no	—
64	#535	—	4	8	no	—
65	#533	—	2	8	no	—
66	#533	D₄	1	16	yes	complemented
67	#532	—	2	8	no	—
68	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
71	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×#127	—	2	2	no	—
75	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×#126	—	2	8	no	—
77	C₂×#125	—	2	2	no	—
78	C₂×#124	—	2	4	no	—
79	C₂×#124	—	2	4	no	—
80	C₂×#124	—	2	2	no	—
81	C₂×#124	—	2	2	no	—
82	C₂×#124	—	2	1	no	—
83	C₂×#124	—	2	1	no	—
84	C₂×#124	—	2	8	no	—
85	C₂×#124	D₄	1	2	yes	—
86	C₂×#124	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂×#123	—	2	4	no	—
88	C₂×#123	—	2	4	no	—
89	C₂×#123	—	2	4	no	—
90	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
91	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
92	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
93	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
94	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×#121	D₄	1	4	yes	—
96	C₂×#121	C₂³	1	8	yes	—
97	C₂×#120	—	2	4	no	—
98	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
99	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
100	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
102	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂×#117	—	2	2	no	—
104	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	#497	—	2	16	no	—
109	#489	—	2	16	no	—
110	#464	—	2	32	no	—
111	#451	—	2	16	no	—
112	#451	—	4	16	no	—
113	#450	—	2	16	no	—
114	#448	—	4	16	no	—
115	#432	—	2	8	no	—
116	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
117	C₂×#103	C₂³	1	8	yes	—
118	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
119	C₂×#102	C₂³	1	8	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
121	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
123	C₂×#97	C₂³	1	4	yes	—
124	#399	—	2	8	no	—
125	#392	—	2	8	no	—
126	#390	—	2	16	no	—
127	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
128	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
129	#376	—	2	1	no	—
130	C₄³	—	2	1	no	—
131	#340	C₂³	1	16	yes	—
132	C₂⁵	—	2	1	no	—
133	C₂×#41	—	2	8	no	—
134	C₂×#41	—	4	4	no	—
135	C₂×#41	—	4	4	no	—
136	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
137	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
138	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
139	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
140	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
141	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
142	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
143	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
144	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
146	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
147	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
148	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
149	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
150	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
151	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
153	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂²×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
155	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
156	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
157	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
159	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
160	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
161	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
162	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
163	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
164	C₂²×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
165	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
166	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
167	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
168	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
169	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
170	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
171	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
172	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
173	#127	—	2	4	no	—
174	#127	—	4	8	no	—
175	#126	—	2	64	no	—
176	#125	—	2	16	no	—
177	#124	—	2	32	no	—
178	#124	—	2	32	no	—
179	#124	—	2	8	no	—
180	#124	—	2	8	no	—
181	#124	—	2	8	no	—
182	#124	—	4	8	no	—
183	#124	—	4	8	no	—
184	#124	—	4	4	no	—
185	#124	—	4	4	no	—
186	#123	—	2	32	no	—
187	#123	—	2	32	no	—
188	#123	—	4	16	no	—
189	C₂²⋊Q₈	—	2	64	no	—
190	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
191	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
192	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
193	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
194	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
195	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
196	C₂²⋊Q₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
197	#121	—	2	16	no	—
198	#121	—	2	16	no	—
199	#121	—	4	8	no	—
200	#120	—	4	16	no	—
201	C₄×Q₈	—	2	32	no	—
202	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
203	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
204	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
205	C₄×D₄	—	2	32	no	—
206	C₄×D₄	—	2	8	no	—
207	C₄×D₄	—	2	8	no	—
208	#117	—	2	16	no	—
209	#117	—	2	16	no	—
210	#117	—	2	8	no	—
211	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
212	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
213	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
215	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
216	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
217	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
218	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
219	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
220	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
221	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
222	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
223	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
224	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
225	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
226	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
227	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
228	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
229	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
230	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
231	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
232	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
233	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
234	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
235	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
238	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
239	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
240	#103	—	2	16	no	—
241	#103	—	2	32	no	—
242	#102	—	2	16	no	—
243	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
244	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
245	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
246	#97	—	2	8	no	—
247	#95	—	2	4	no	—
248	C₂⁴	—	2	2	no	—
249	C₂⁴	—	4	4	no	—
250	C₂⁴	—	4	2	no	—
251	C₂⁴	—	8	4	no	—
252	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
253	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
254	#41	—	8	16	no	—
255	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
256	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
257	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
258	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
259	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
260	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
261	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
262	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
263	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
264	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
265	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
266	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
267	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
268	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
269	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
270	C₂×Q₈	—	8	32	no	—
271	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
272	C₂×D₄	—	2	8	no	—
273	C₂×D₄	—	2	8	no	—
274	C₂×D₄	—	2	4	no	—
275	C₂×D₄	—	2	4	no	—
276	C₂×D₄	—	2	8	no	—
277	C₂×D₄	—	4	8	no	—
278	C₂×D₄	—	4	4	no	—
279	C₂×D₄	—	4	4	no	—
280	C₂×D₄	—	4	2	no	—
281	C₂×D₄	—	4	2	no	—
282	C₂×D₄	—	4	4	no	—
283	C₂×D₄	—	4	16	no	—
284	C₂×D₄	—	4	2	no	—
285	C₂×D₄	—	8	8	no	—
286	C₂×D₄	—	8	16	no	—
287	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
292	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
293	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
294	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
295	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
298	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
299	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
300	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
301	C₂²×C₄	#120	1	8	yes	—
302	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
303	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
304	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
305	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
306	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
307	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
308	Q₁₆	—	8	16	no	—
309	SD₁₆	—	8	16	no	—
310	C₂×C₈	—	2	8	no	—
311	C₂×C₈	—	2	16	no	—
312	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
313	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
314	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
315	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
316	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
317	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
318	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
319	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
320	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
321	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
322	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
323	C₄⋊C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
324	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
325	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
326	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
327	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
328	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
329	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
330	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
331	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
332	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
333	C₄²	—	2	16	no	—
334	C₄²	—	2	8	no	—
335	C₄²	—	2	16	no	—
336	C₄²	—	8	4	no	—
337	C₄²	#120	1	4	yes	—
338	C₄²	#120	1	4	yes	—
339	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
340	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
341	C₂³	—	2	4	no	—
342	C₂³	—	2	2	no	—
343	C₂³	—	2	16	no	—
344	C₂³	—	2	4	no	—
345	C₂³	—	2	4	no	—
346	C₂³	—	2	4	no	—
347	C₂³	—	4	8	no	—
348	C₂³	—	4	2	no	—
349	C₂³	—	4	4	no	—
350	C₂³	—	8	4	no	—
351	C₂³	—	8	8	no	—
352	C₂³	—	16	8	no	—
353	C₂³	C₂×#120	1	2	yes	—
354	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
355	Q₈	—	2	16	no	—
356	Q₈	—	4	16	no	—
357	Q₈	—	4	8	no	—
358	Q₈	—	4	8	no	—
359	Q₈	—	8	4	no	—
360	Q₈	—	8	4	no	—
361	Q₈	—	8	16	no	—
362	D₄	—	4	16	no	—
363	D₄	—	4	8	no	—
364	D₄	—	8	4	no	—
365	D₄	—	8	4	no	—
366	D₄	—	8	8	no	—
367	D₄	—	16	16	no	—
368	C₂×C₄	—	2	4	no	—
369	C₂×C₄	—	2	4	no	—
370	C₂×C₄	—	2	2	no	—
371	C₂×C₄	—	2	8	no	—
372	C₂×C₄	—	2	8	no	—
373	C₂×C₄	—	2	4	no	—
374	C₂×C₄	—	2	8	no	—
375	C₂×C₄	—	2	8	no	—
376	C₂×C₄	—	2	4	no	—
377	C₂×C₄	—	2	4	no	—
378	C₂×C₄	—	4	8	no	—
379	C₂×C₄	—	4	8	no	—
380	C₂×C₄	—	4	8	no	—
381	C₂×C₄	—	4	8	no	—
382	C₂×C₄	—	4	16	no	—
383	C₂×C₄	—	4	2	no	—
384	C₂×C₄	—	4	4	no	—
385	C₂×C₄	—	8	16	no	—
386	C₂×C₄	—	8	4	no	—
387	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
388	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
389	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
390	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
392	C₈	—	4	8	no	—
393	C₂²	—	2	2	no	—
394	C₂²	—	2	4	no	—
395	C₂²	—	4	4	no	—
396	C₂²	—	4	4	no	—
397	C₂²	—	4	8	no	—
398	C₂²	—	4	8	no	—
399	C₂²	—	4	8	no	—
400	C₂²	—	8	2	no	—
401	C₂²	—	8	4	no	—
402	C₂²	—	8	8	no	—
403	C₂²	—	16	8	no	—
404	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
405	C₂²	#3484	1	2	yes	—
406	C₂²	#3586	1	4	yes	—
407	C₄	—	2	2	no	—
408	C₄	—	2	4	no	—
409	C₄	—	2	4	no	—
410	C₄	—	4	4	no	—
411	C₄	—	4	8	no	—
412	C₄	—	4	8	no	—
413	C₄	—	4	8	no	—
414	C₄	—	8	2	no	—
415	C₄	#3498	1	4	yes	—
416	C₂	—	4	2	no	—
417	C₂	—	8	4	no	—
418	C₂	—	16	2	no	—
419	C₂	#35527	1	1	yes	characteristic
420	C₂	#60368	1	2	yes	—
421	C₂	#61674	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	#35329	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#532 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#3550	C₂	semidirect
2. C₂×#3215	C₂	semidirect
4. #25766	C₂	semidirect
5. #25580	C₂	semidirect
6. #23928	C₂	semidirect
7. #23926	C₂	semidirect
8. #21791	C₂	semidirect
9. #21392	C₂	semidirect
14. C₂×#556	C₂²	semidirect
15. C₂×D₄×Q₈	C₂²	semidirect
28. C₂×#451	C₂²	semidirect
38. #2001	C₂²	semidirect
40. #1987	C₂²	semidirect
41. #1981	C₂²	semidirect
42. #1955	C₂²	semidirect
45. #1873	C₂²	semidirect
47. #1763	C₂²	semidirect
66. #533	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3550	2
C₂×#3215	2
#35329	2
#25766	2
#25580	2
#23928	2
#23926	2
#21791	2
#21392	2