Subgroups — #6519406

Order 512.

2028 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 423 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2542	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#34186	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#26233	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#26231	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#24010	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#21804	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#21804	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#21786	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#21359	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#21358	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#485	C₂²	1	16	yes	complemented
15	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2542	—	2	2	no	—
18	#2542	—	2	2	no	—
19	#2542	C₂²	1	4	yes	—
20	#2542	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#399	—	2	2	no	—
22	#2357	—	2	2	no	—
23	#2357	—	2	2	no	—
24	#2354	C₂²	1	4	yes	—
25	#2354	C₂²	1	4	yes	—
26	#2312	—	2	2	no	—
27	#2309	—	2	1	no	—
28	C₂×#390	—	2	1	no	—
29	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#384	—	2	1	no	—
32	#2280	C₂²	1	4	yes	—
33	#2274	—	2	1	no	—
34	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#2036	C₂²	1	16	yes	complemented
36	#2035	C₂²	1	16	yes	complemented
37	#1981	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#1981	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#1956	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#1956	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#1954	C₂²	1	4	yes	—
42	#1954	C₂²	1	4	yes	—
43	#1948	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#1947	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#1873	C₂²	1	16	yes	complemented
46	#1853	C₂²	1	4	yes	—
47	#1852	C₂²	1	4	yes	—
48	#1787	C₂²	1	4	yes	—
49	#1787	C₂²	1	4	yes	—
50	#1779	C₂²	1	4	yes	—
51	C₄×#107	C₂²	1	4	yes	complemented
52	C₄×#106	C₂²	1	4	yes	complemented
53	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂³×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
63	C₂×C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
64	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	16	yes	—
65	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
67	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#117	—	2	1	no	—
72	C₂×#117	—	2	1	no	—
73	C₂×#117	C₂³	1	8	yes	—
74	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
75	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
76	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
77	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
80	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
82	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	#485	—	4	32	no	—
84	#431	—	2	4	no	—
85	#431	—	2	4	no	—
86	C₂×#107	C₂³	1	8	yes	—
87	C₂×#106	C₂³	1	8	yes	—
88	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
91	C₂×#103	C₂³	1	16	yes	—
92	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	16	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
97	#399	—	2	8	no	—
98	#399	—	2	8	no	—
99	#390	—	2	4	no	—
100	#390	—	2	4	no	—
101	#390	—	2	4	no	—
102	#390	—	2	4	no	—
103	#388	—	2	8	no	—
104	#388	—	2	8	no	—
105	#384	—	2	4	no	—
106	#384	—	2	4	no	—
107	#384	C₂³	1	2	yes	—
108	#384	C₂³	1	2	yes	—
109	#382	—	2	1	no	—
110	#382	—	2	1	no	—
111	#381	—	2	4	no	—
112	#380	—	2	1	no	—
113	#380	—	2	1	no	—
114	#380	C₂³	1	8	yes	—
115	#380	C₂³	1	2	yes	—
116	#380	C₂³	1	2	yes	—
117	#379	—	2	4	no	—
118	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
119	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
120	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
121	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
122	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
123	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
124	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
125	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
126	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
127	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
128	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
129	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
130	C₂×#95	—	2	1	no	—
131	#340	C₂³	1	8	yes	—
132	#340	C₂³	1	8	yes	—
133	C₂⁵	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
135	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
136	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
137	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
138	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
139	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
140	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
141	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
142	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
145	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
146	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
147	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
148	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
149	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
154	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
156	C₂²×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
157	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
160	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
161	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
162	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
163	C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
164	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
165	C₂²⋊Q₈	—	4	32	no	—
166	C₄×D₄	—	2	8	no	—
167	C₄×D₄	—	2	8	no	—
168	C₄×D₄	—	2	4	no	—
169	C₄×D₄	—	2	4	no	—
170	C₄×D₄	—	2	4	no	—
171	C₄×D₄	—	2	4	no	—
172	#117	—	4	4	no	—
173	#117	—	4	4	no	—
174	#117	—	4	16	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
193	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
194	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
203	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
204	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
205	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
206	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
207	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
208	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
209	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
210	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
213	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
214	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
216	#107	—	2	16	no	—
217	#106	—	2	16	no	—
218	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
219	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
220	#103	—	4	16	no	—
221	#103	—	4	16	no	—
222	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
223	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
224	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
225	C₄×C₈	—	2	4	no	—
226	C₄×C₈	—	2	4	no	—
227	#95	—	2	2	no	—
228	#95	—	2	2	no	—
229	#95	—	2	2	no	—
230	#95	—	2	2	no	—
231	#95	—	2	8	no	—
232	#95	—	2	2	no	—
233	#95	—	2	2	no	—
234	C₂⁴	—	2	4	no	—
235	C₂⁴	—	2	4	no	—
236	C₂⁴	—	2	4	no	—
237	C₂⁴	—	4	4	no	—
238	C₂⁴	—	4	4	no	—
239	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
240	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
242	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
243	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
244	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
245	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
246	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
247	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
248	C₂×D₄	—	2	4	no	—
249	C₂×D₄	—	2	4	no	—
250	C₂×D₄	—	2	4	no	—
251	C₂×D₄	—	2	4	no	—
252	C₂×D₄	—	2	4	no	—
253	C₂×D₄	—	2	4	no	—
254	C₂×D₄	—	4	16	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
273	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
274	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
275	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
276	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
277	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
278	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₈	—	2	4	no	—
289	C₂×C₈	—	2	4	no	—
290	C₂×C₈	—	2	8	no	—
291	C₂×C₈	—	2	8	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
305	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
306	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
307	C₄⋊C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
308	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
315	C₄²	—	4	4	no	—
316	C₄²	—	4	4	no	—
317	C₄²	—	4	4	no	—
318	C₄²	—	4	4	no	—
319	C₄²	—	8	8	no	—
320	C₄²	#123	1	4	yes	—
321	C₄²	#123	1	4	yes	—
322	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
323	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
324	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
325	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
326	C₂³	—	2	2	no	—
327	C₂³	—	2	2	no	—
328	C₂³	—	2	8	no	—
329	C₂³	—	2	4	no	—
330	C₂³	—	2	8	no	—
331	C₂³	—	2	4	no	—
332	C₂³	—	2	4	no	—
333	C₂³	—	4	16	no	—
334	C₂³	—	4	8	no	—
335	C₂³	—	8	4	no	—
336	C₂³	—	8	4	no	—
337	C₂³	—	8	8	no	—
338	C₂³	C₂×#123	1	2	yes	—
339	C₂³	C₂×#135	1	2	yes	—
340	C₂³	C₂×#137	1	2	yes	—
341	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
342	Q₈	—	4	8	no	—
343	Q₈	—	4	8	no	—
344	Q₈	—	8	8	no	—
345	D₄	—	4	8	no	—
346	D₄	—	4	8	no	—
347	C₂×C₄	—	2	2	no	—
348	C₂×C₄	—	2	2	no	—
349	C₂×C₄	—	2	2	no	—
350	C₂×C₄	—	2	4	no	—
351	C₂×C₄	—	2	4	no	—
352	C₂×C₄	—	2	4	no	—
353	C₂×C₄	—	2	8	no	—
354	C₂×C₄	—	2	8	no	—
355	C₂×C₄	—	4	4	no	—
356	C₂×C₄	—	4	16	no	—
357	C₂×C₄	—	4	4	no	—
358	C₂×C₄	—	4	4	no	—
359	C₂×C₄	—	4	8	no	—
360	C₂×C₄	—	4	8	no	—
361	C₂×C₄	—	4	4	no	—
362	C₂×C₄	—	4	4	no	—
363	C₂×C₄	—	4	4	no	—
364	C₂×C₄	—	4	4	no	—
365	C₂×C₄	—	4	4	no	—
366	C₂×C₄	—	4	8	no	—
367	C₂×C₄	—	4	4	no	—
368	C₂×C₄	—	4	4	no	—
369	C₂×C₄	—	8	8	no	—
370	C₂×C₄	—	8	4	no	—
371	C₂×C₄	—	8	8	no	—
372	C₂×C₄	#485	1	16	yes	complemented
373	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
383	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
385	C₈	—	4	4	no	—
386	C₈	—	4	4	no	—
387	C₂²	—	2	2	no	—
388	C₂²	—	2	4	no	—
389	C₂²	—	2	4	no	—
390	C₂²	—	2	2	no	—
391	C₂²	—	4	4	no	—
392	C₂²	—	4	4	no	—
393	C₂²	—	4	8	no	—
394	C₂²	—	4	8	no	—
395	C₂²	—	4	4	no	—
396	C₂²	—	8	16	no	—
397	C₂²	C₂×#485	1	4	yes	—
398	C₂²	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
399	C₂²	#3484	1	2	yes	—
400	C₂²	C₂²×#135	1	1	yes	characteristic
401	C₂²	C₂²×#137	1	1	yes	characteristic
402	C₂²	#3586	1	2	yes	—
403	C₄	—	2	2	no	—
404	C₄	—	2	2	no	—
405	C₄	—	2	2	no	—
406	C₄	—	4	8	no	—
407	C₄	—	4	4	no	—
408	C₄	—	8	4	no	—
409	C₄	—	8	4	no	—
410	C₄	—	8	4	no	—
411	C₄	C₂×#485	1	4	yes	—
412	C₄	C₂×#485	1	4	yes	—
413	C₄	#3508	1	2	yes	—
414	C₄	#3508	1	2	yes	—
415	C₂	—	2	4	no	—
416	C₂	—	8	4	no	—
417	C₂	#35554	1	1	yes	characteristic
418	C₂	C₂²×#485	1	1	yes	characteristic
419	C₂	#60519	1	1	yes	characteristic
420	C₂	#61565	1	2	yes	—
421	C₂	#61584	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂³×D₄	D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #26233	C₂	semidirect
4. #26231	C₂	semidirect
5. #24010	C₂	semidirect
6. #21804	C₂	semidirect
7. #21804	C₂	semidirect
9. #21359	C₂	semidirect
10. #21358	C₂	semidirect
14. C₂×#485	C₂²	semidirect
35. #2036	C₂²	semidirect
36. #2035	C₂²	semidirect
37. #1981	C₂²	semidirect
38. #1981	C₂²	semidirect
39. #1956	C₂²	semidirect
40. #1956	C₂²	semidirect
43. #1948	C₂²	semidirect
44. #1947	C₂²	semidirect
45. #1873	C₂²	semidirect
51. C₄×#107	C₂²	semidirect
52. C₄×#106	C₂²	semidirect
372. C₂×C₄	#485	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2542	2
#34186	2
#26233	2
#26231	2
#24010	2
#21804	2
#21786	2
#21359	2
#21358	2